高考数学考点归纳之 同角三角函数的基本关系与诱导公式Word文档格式.docx
《高考数学考点归纳之 同角三角函数的基本关系与诱导公式Word文档格式.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高考数学考点归纳之 同角三角函数的基本关系与诱导公式Word文档格式.docx(13页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
cos_α
-cosα
-cos_α
tanα
-tanα
-tan_α
诱导公式可简记为:
奇变偶不变,符号看象限.“奇”“偶”指的是“k·
+α(k∈Z)”中的k是奇数还是偶数.“变”与“不变”是指函数的名称的变化,若k是奇数,则正、余弦互变;
若k为偶数,则函数名称不变.“符号看象限”指的是在“k·
+α(k∈Z)”中,将α看成锐角时,“k·
+α(k∈Z)”的终边所在的象限.
二、常用结论
同角三角函数的基本关系式的几种变形
(1)sin2α=1-cos2α=(1+cosα)(1-cosα);
cos2α=1-sin2α=(1+sinα)(1-sinα);
(sinα±
cosα)2=1±
2sinαcosα.
(2)sinα=tanαcosα.
[典例]
(1)已知f(α)=,则f的值为________.
(2)已知cos=,则sin=________.
[解析]
(1)因为f(α)=
==cosα,
所以f=cos=cos=.
(2)sin=-sin=-sin=-sin=-sin=-cos=-.
[答案]
(1)
(2)-
[题组训练]
1.已知tanα=,且α∈,则cos=________.
解析:
法一:
cos=sinα,由α∈知α为第三象限角,
联立解得5sin2α=1,故sinα=-.
法二:
cos=sinα,由α∈知α为第三象限角,由tanα=,可知点(-2,-1)为α终边上一点,由任意角的三角函数公式可得sinα=-.
答案:
-
2.sin(-1200°
)·
cos1290°
+cos(-1020°
sin(-1050°
)+tan945°
=________.
原式=sin(-3×
360°
-120°
)cos(3×
+180°
+30°
)+cos(-3×
+60°
)sin(-3×
)+tan(2×
+45°
)=sin120°
cos30°
+cos60°
sin30°
+tan45°
=++1=2.
2
3.已知tan=,则tan=________.
tan=tan=tan=-tan=-.
考点二 同角三角函数的基本关系及应用
[典例]
(1)若tanα=2,则+cos2α=( )
A. B.-
C.D.-
(2)已知sinαcosα=,且<
α<
,则cosα-sinα的值为( )
A.B.±
C.-D.-
[解析]
(1)+cos2α
=+
=+,
将tanα=2代入上式,则原式=.
(2)因为sinαcosα=,所以(cosα-sinα)2=cos2α-2sinαcosα+sin2α=1-2sinαcosα=1-2×
=,因为<
,所以cosα<
sinα,即cosα-sinα<
0,
所以cosα-sinα=-.
[答案]
(1)A
(2)D
1.(2018·
甘肃诊断)已知tanφ=,且角φ的终边落在第三象限,则cosφ=( )
A.B.-
选D 因为角φ的终边落在第三象限,所以cosφ<
0,因为tanφ=,
所以解得cosφ=-.
2.已知tanθ=3,则sin2θ+sinθcosθ=________.
sin2θ+sinθcosθ====.
3.已知=5,则sin2α-sinαcosα=________.
由已知可得sinα+3cosα=5(3cosα-sinα),
即sinα=2cosα,所以tanα==2,
从而sin2α-sinαcosα====.
4.已知-π<
0,sin(π+α)-cosα=-,则cosα-sinα的值为________.
由已知,得sinα+cosα=,
sin2α+2sinαcosα+cos2α=,
整理得2sinαcosα=-.
因为(cosα-sinα)2=1-2sinαcosα=,
且-π<
0,所以sinα<
0,cosα>
所以cosα-sinα>
0,故cosα-sinα=.
A级
1.已知x∈,cosx=,则tanx的值为( )
A. B.-
选B 因为x∈,所以sinx=-=-,所以tanx==-.
2.(2019·
淮南十校联考)已知sin=,则cos的值为( )
A.-B.
选A ∵sin=,∴cos=cos=-sin=-.
3.计算:
sin+cos的值为( )
A.-1B.1
C.0D.-
选A 原式=sin+cos
=-sin-cos=--=-1.
4.若=,则tanθ的值为( )
A.1B.-1
C.3D.-3
选D 因为==,
所以2(sinθ+cosθ)=sinθ-cosθ,
所以sinθ=-3cosθ,所以tanθ=-3.
5.(2018·
大庆四地六校调研)若α是三角形的一个内角,且sin+cos=,则tanα的值为( )
A.-B.-
C.-或-D.不存在
选A 由sin+cos=,
得cosα+sinα=,∴2sinαcosα=-<
0.
∵α∈(0,π),∴sinα>
0,cosα<
∴sinα-cosα==,
∴sinα=,cosα=-,
∴tanα=-.
6.在△ABC中,sin=3sin(π-A),且cosA=-cos(π-B),则△ABC为( )
A.等腰三角形B.直角三角形
C.等腰直角三角形D.等边三角形
选B 将sin=3sin(π-A)化为cosA=3sinA,则tanA=,则A=,将cosA=-cos(π-B)化为cos=cosB,则cosB=,则B=,故△ABC为直角三角形.
7.化简:
==sin2θ.
sin2θ
8.化简:
·
sin(α-π)·
cos(2π-α)=________.
原式=·
(-sinα)·
=·
cosα=-sin2α.
-sin2α
9.sin·
cos·
tan的值为________.
原式=sin·
tan
=×
×
(-)=-.
10.(2019·
武昌调研)若tanα=cosα,则+cos4α=________.
tanα=cosα⇒=cosα⇒sinα=cos2α,故+cos4α=+cos4α=sinα++cos4α=sinα++sin2α=sin2α+sinα+1=sin2α+cos2α+1=1+1=2.
11.已知α为第三象限角,
f(α)=.
(1)化简f(α);
(2)若cos=,求f(α)的值.
解:
(1)f(α)=
==-cosα.
(2)∵cos=,
∴-sinα=,从而sinα=-.
又∵α为第三象限角,
∴cosα=-=-,
∴f(α)=-cosα=.
12.已知sinα=,求tan(α+π)+的值.
因为sinα=>
所以α为第一或第二象限角.
tan(α+π)+
=tanα+=+
=.
①当α为第一象限角时,cosα==,
原式==.
②当α为第二象限角时,cosα=-=-,
原式==-.
综合①②知,原式=或-.
B级
1.已知sinα+cosα=,α∈(0,π),则=( )
选A 因为sinα+cosα=,
所以(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα=,
所以sinαcosα=-,又因为α∈(0,π),
所以sinα>
0,所以cosα-sinα<
因为(cosα-sinα)2=1-2sinαcosα=1-2×
=,
所以cosα-sinα=-,
所以====-.
2.已知θ是第一象限角,若sinθ-2cosθ=-,则sinθ+cosθ=________.
∵sinθ-2cosθ=-,
∴sinθ=2cosθ-,
∴2+cos2θ=1,
∴5cos2θ-cosθ-=0,
即=0.
又∵θ为第一象限角,∴cosθ=,
∴sinθ=,∴sinθ+cosθ=.
3.已知关于x的方程2x2-(+1)x+m=0的两根分别是sinθ和cosθ,θ∈(0,2π),求:
(1)+的值;
(2)m的值;
(3)方程的两根及此时θ的值.
(1)原式=+
==sinθ+cosθ.
由条件知sinθ+cosθ=,
故+=.
(2)由已知,得sinθ+cosθ=,sinθcosθ=,
因为1+2sinθcosθ=(sinθ+cosθ)2,
所以1+2×
=2,解得m=.
(3)由
得或
又θ∈(0,2π),故θ=或θ=.
故当sinθ=,cosθ=时,θ=;
当sinθ=,cosθ=时,θ=.