全国百强校顶尖名校湖南师大附中届高三第二次月考试题 文科数学Word下载.docx

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任意x∈R，都有x2＋x＋1≥0

④若p且q为假命题，则p，q均为假命题

其中真命题个数为（C）

A．1B．2C．3D．4

【解析】由题可知，①正确，②正确，特称命题的否定为全称命题，所以③显然正确；

若p且q为假命题，则p，q至少有一个是假命题，所以④的推断不正确.故选C.

4．设正项等比数列的前n项的和为Sn，且<

1，若a3＋a5＝10，a1·

a7＝16，则S4＝（B）

A．60或B．60C.D．120

【解析】由等比数列是单调递减数列，得q＝，所以a1＝32，S4＝＝60，故选B.

5．如图所示，在三棱锥D－ABC中，已知AC＝BC＝CD＝2，CD⊥平面ABC，∠ACB＝90°

.若其正视图、俯视图如图所示，则其侧视图的面积为（D）

A.B．2

C.D.

【解析】由几何体的结构特征和正视图、俯视图，得该几何体的侧视图是一个直角三角形，其中一条直角边是CD，另一条直角边为△ABC的边AB上的中线，所以其侧视图面积为S＝×

2×

＝，故选答案D.

6．已知平面上不重合的四点P、A、B、C满足＋＋＝0，且＋＋x＝0，那么实数x的值为（B）

A．2B．－3C．4D．5

【解析】由题可知，根据向量的减法有，＝－，＝－，于是有（－）＋（－）＝x，故（－x－2）＋＋＝0，又因为＋＋＝0，所以－x－2＝1，即x＝－3.故选B.

7．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若<

cosA，则△ABC为（A）

A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形

【解析】根据定理：

＝<

cosA，那么sinC＝sinBcosA，根据A＋B＋C＝π，所以sinC＝sin（A＋B），所以sin（A＋B）<

sinBcosA，整理为：

sinAcosB<

0，三角形中sinA>

0，所以cosB<

0，那么<

B<

π.故选A.

8．某程序框图如图所示，该程序运行后若输出S的值是2，则判断框内可填写（B）

A．i≤2015B．i≤2016

C．i≤2017D．i≤2018

【解析】由程序框图，初始值S＝2，i＝1.

循环一次后，S＝－3，i＝2；

循环两次后，S＝－，i＝3；

循环三次后，S＝，i＝4；

循环四次后，S＝2，i＝5；

循环五次后，S＝－3，i＝6；

…

依次类推，S的值呈周期性变化，周期为4.

如果i≤2015，则循环结束S＝；

如果i≤2016，则循环结束S＝2.

因此条件判断框中的条件是“i≤2016”.故选B.

9．函数f＝cosx的图象的大致形状是（B）

【解析】由题意得，f＝cosx＝·

cosx，所以f＝·

cos（－x）＝·

cosx＝－f（x），所以函数f为奇函数，图象关于原点对称，排除选项A，C；

令x＝1，则f＝cos1＝cos1<

0，故选B.

10．椭圆＋＝1（a＞b＞0）的右焦点F，直线x＝与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是（D）

A.（0，]B.（0，）C.[－1，1）D.[，1）

【解析】由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，即F点到P点与A点的距离相等．而|FA|＝－c＝，因为|PF|∈[a－c，a＋c]，所以∈[a－c，a＋c]．

即ac－c2≤b2≤ac＋c2，∴

又e∈（0，1），故e∈[，1），故答案选D.

11．在体积为的三棱锥S－ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝90°

，SA＝SC，且平面SAC⊥平面ABC，若该三棱锥的四个顶点都在同一球面上，则该球的体积是（B）

A.πB.πC.πD．12π

【解析】△ABC外接圆圆心为AC中点D，连接SD，则由平面SAC⊥平面ABC及SA＝SC，知SD⊥平面ABC，且球心O在SD上，则S△ABC×

SD＝，解得SD＝2.设三棱锥S－ABC外接球半径为R，则R＝OS＝OB，所以在Rt△ODB中，OB2＝BD2＋OD2，即R2＝（）2＋（2－R）2，解得R＝，故所求球的体积为V＝πR3＝π，故选B.

12．某同学用“随机模拟方法”计算曲线y＝lnx与直线x＝e，y＝0所围成的曲边三角形的面积时，用计算机分别产生了10个在区间[1，e]上的均匀随机数xi和10个在区间[0，1]上的均匀随机数yi（i∈N*，1≤i≤10），其数据如下表的前两行.

x

2.50

1.01

1.90

1.22

2.52

2.17

1.89

1.96

1.36

2.22

y

0.84

0.25

0.98

0.15

0.01

0.60

0.59

0.88

0.10

lnx

0.90

0.64

0.20

0.92

0.77

0.67

0.31

0.80

由此可得这个曲边三角形面积的一个近似值为（A）

A.（e－1）B.（e－1）C.（e－1）D.（e－1）

【解析】由表可知，向矩形区域内随机抛掷10个点，其中有6个点在曲边三角形内，其频率为＝.因为矩形区域的面积为e－1，所以曲边三角形面积的近似值为（e－1），选A.

选择题答题卡

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

C

D

B

A

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．

二、填空题：

本题共4小题，每小题5分．

13．已知cos（α－）＝且α∈（，π），则tan（α－）＝__7__．

【解析】由已知得，sinα＝，cosα＝－，tanα＝－，tan（α－）＝＝＝7.

14．对于实数a和b，定义运算a*b＝则式子lne2*的值为__9__．

【解析】因为a*b＝而lne2＝2<

＝3，所以lne2*－＝3×

（2＋1）＝9.

15．已知函数f（x）＝xα的图象过点（4，2），令an＝，n∈N*.记数列{an}的前n项和为Sn，则S2019＝__－1__．

【解析】由函数f（x）＝xα的图象过点（4，2）得：

4α＝2，α＝，

从而f（x）＝；

∴an＝＝－，

从而S2019＝（－）＋（－）＋…＋－＝－1.

16．设函数f（x）＝ex（2x－1）－ax＋a，其中a<

1，若存在唯一的整数x0，使得f（x0）<

0，则a的取值范围是__[，1）__．

【解析】f（x）<

0ex（2x－1）<

ax－a，记g（x）＝ex（2x－1），则题意说明存在唯一的整数x0，使g（x）的图象在直线y＝ax－a下方，g′（x）＝ex（2x＋1），当x<

－时，g′（x）<

0，当x>

－时，g′（x）>

0，因此当x＝－时，g（x）取得极小值也是最小值g（－）＝－2e－，又g（0）＝－1，g

（1）＝e>

0，直线y＝ax－a过点（1，0）且斜率为a，故

解得≤a<

1.

三、解答题：

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

为增强市民的环保意识，某市政府向社会征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中挑选了100名，按年龄（单位：

岁）分为5组：

第1组[20，25），第2组[25，30），第3组[30，35），第4组[35，40），第5组[40，45]，其频率分布直方图如图所示．

（Ⅰ）根据频率分布直方图，估计这100名志愿者的平均年龄；

（Ⅱ）现指定第3组中某3人，第4组中某2人，第5组中某1人，共6名志愿者参加某项宣传活动．活动结束后，从这6人中随机抽取2人介绍经验，求第4组中至少有一名志愿者被抽中的概率．

【解析】

（Ⅰ）在频率分布直方图中，从左至右各小矩形的面积分别是0.05，0.35，0.3，0.2，0.1.（2分）

下底边中点值分别是22.5，27.5，32.5，37.5，42.5.（4分）

因为22.5×

0.05＋27.5×

0.35＋32.5×

0.3＋37.5×

0.2＋42.5×

0.1＝32.25.

由此估计，这100名志愿者的平均年龄为32.25岁．（6分）

（Ⅱ）设“第4组中至少有一名志愿者被抽中”为事件A，

记第3组的3名志愿者为A1，A2，A3，

第4组的2名志愿者为B1，B2，第5组的1名志愿者为C1.（7分）

则从6名志愿者中抽取2名志愿者的取法有：

（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，C1），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C1），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1）共有15种．（9分）

其中第4组的2名志愿者B1，B2至少有一名被抽中的取法有：

（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1）共有9种．（11分）

所以P（A）＝＝，故第4组中至少有一名志愿者被抽中的概率为.（12分）

18．（本小题满分12分）

如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝AD，若E、F分别为PC、BD的中点．

（Ⅰ）求三棱锥F－DEC的体积；

（Ⅱ）在线段CD上是否存在一点G，使得平面EFG⊥平面PDC？

若存在，请说明其位置，并加以证明；

若不存在，请说明理由．

（Ⅰ）过点P作AD的垂线PH，垂足为H.

又∵侧面PAD⊥底面ABCD，PH平面PAD，

侧面PAD∩底面ABCD＝AD，

∴PH⊥平面ABCD.连接HC，（2分）

∵E为PC中点，∴三棱锥E－FDC的高h＝PH，

又PA＝PD＝AD且AD＝2，∴PH＝1，∴h＝＝，（4分）

∴三棱锥F－DCE的体积是

VF－DCE＝VE－FDC＝S△DFC·

h＝×

×

＝.（6分）

（Ⅱ）在线段CD上存在一点G为CD的中点时，使得平面EFG⊥平面PDC，理由如下：

（7分）

∵底面ABCD是边长为2的正方形，∴CD⊥AD,

又侧面PAD⊥底面ABCD，CD平面ABCD，

∴CD⊥平面PAD，（9分）

又EF∥PA，∴CD⊥EF，

取CD中点G，连接FG，

∵F为AC中点，∴FG∥AD，

又CD⊥AD，∴FG