届北京市海淀区高三第二学期期中练习文科数学试题Word下载.docx

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则下列不等式恒成立的是（）

（8）某三棱锥的正视图如图所示，则在下列图①②③④中，所有可能成为这个三棱锥的俯视图的是（）

①

②

③

④

（A）①②③

（B）①②④

（C）②③④

（D）①②③④

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）已知单位向量

与向量

的夹角为

________.

（10）若复数

，且

则实数

=______．

（11）已知

为等差数列，

为其前

项和.若

，则公差

________；

的最小值为.

（12）对于

，以点

为中点的弦所在的直线方程是_____．

（13）设

对任意实数

，关于

的方程

总有实数根，则

的取值范围是.

（14）设全集

，用

的子集可表示由0，1组成的6位字符串，如：

表示的是第2个字符为1，第4个字符为1，其余均为0的6位字符串010100，并规定空集表示的字符串为000000.

①若

表示的6位字符串为；

②若

集合

表示的字符串为101001，则满足条件的集合

的个数是.

三、解答题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

（15）（本小题满分13分）

已知数列

的前

项和为

是

与

的等差中项.

（Ⅰ）求

的通项公式；

（Ⅱ）若数列

且对

恒成立,求实数

的最小值.

（16）（本小题满分13分）

某超市从甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：

箱）的数据中分别随机抽取100个，整理得到数据分组及频率分布表和频率分布直方图：

分组（日销售量）

频率（甲种酸奶）

[0，10]

0.10

（10，20]

0.20

（20，30]

0.30

（30，40]

0.25

（40，50]

0.15

（Ⅰ）写出频率分布直方图中的

的值，并作出甲种酸奶日销售量的频率分布直方图；

（Ⅱ）记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：

箱）的方差分别为

，试比较

的大小；

（只需写出结论）

（Ⅲ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替,试估计乙种酸奶在未来一个月（按30天计算）的销售总量.

（17）（本小题满分13分）

在

中，

.

（Ⅰ）若

，求

（Ⅱ）若

求

的面积的最大值.

（18）（本小题满分14分）

如图1，在梯形

，四边形

是矩形.将矩形

沿

折起到四边形

的位置，使平面

平面

为

的中点，如图2.

（Ⅰ）求证：

；

（Ⅱ）求证：

//平面

（Ⅲ）判断直线

的位置关系,并说明理由．

（19）（本小题满分13分）

已知椭圆

过点

，且离心率

（Ⅰ）求椭圆

的方程；

（Ⅱ）若椭圆

上存在点

关于直线

对称,求

的所有取值构成的集合

，并证明对于

的中点恒在一条定直线上.

（20）（本小题满分14分）

已知函数

.

（Ⅰ）求函数

的单调区间；

（Ⅱ）若存在两条直线

都是曲线

的切线，求实数

的取值范围；

（Ⅲ）若

，求实数

的取值范围.

数学（文）答案及评分参考4

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）

（1）A

（2）C（3）D（4）B

（5）C（6）B（7）D（8）D

二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分。

有两空的小题，第一空2分，第二空3分）

（9）

（10）0（11）12；

-54

（12）

（13）

（14）100110；

4

三、解答题（共6小题，共80分）

（15）（共13分）

解：

（Ⅰ）因为

所以

.………………1分

因为

的等差中项,

即

.………………3分

是以1为首项，2为公比的等比数列.

.………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：

所以

是以1为首项,

为公比的等比数列.………………9分

所以数列

项和

.………………11分

若

，当

所以若对

恒成立，则

所以实数

的最小值为2.………………13分

（16）（共13分）

（Ⅰ）

………………2分

………………6分

（Ⅱ）

.………………9分

（Ⅲ）乙种酸奶平均日销售量为：

（箱）.………………11分

乙种酸奶未来一个月的销售总量为：

（箱）.………………13分

（17）（共13分）

（Ⅰ）方法一：

且

.………………2分

又因为

，………………4分

为等边三角形.

.………………7分

方法二：

因为

.………………5分

，

，即

（Ⅱ）因为

所以

………………9分

（当且仅当

时，等号成立）.………………11分

所以当

是边长为1的等边三角形时，其面积取得最大值

………………13分

（18）（共14分）

证明：

（Ⅰ）因为四边形

为矩形，

因为平面

，且平面

（Ⅱ）证明：

因为四边形

所以平面

（Ⅲ）直线

相交，理由如下：

………………10分

取

的中点

，连接

在矩形

的中点，

所以四边形

为平行四边形.

.………………12分

为梯形，

为平行四边形.

是平行四边形.

因为

是以

为底边的梯形.

所以直线

相交.………………14分

（19）（共13分）

（Ⅰ）因为椭圆

所以椭圆

的方程为

………………3分

（Ⅱ）方法一：

依题意得

因为椭圆

对称，

与直线

垂直，且线段

的中点在直线

上.

设直线

由

得

.（*）

，………………7分

的中点坐标为

又线段

上，

代入（*），得

或

所以对于

，线段

中点的纵坐标恒为

，即线段

的中点总在直线

………………13分

因为点

在直线

上，且

设

（

），

的中点为

则

又

在椭圆

化简，得

又因为

可得

，或

………………13分

（20）（共14分）

当

，则函数

的单调递减区间是

时，令

，得

当

变化时，

的变化情况如下：

↘

极小值

↗

所以

，单调递增区间是

.………………4分

（Ⅱ）因为存在两条直线

的切线，

至少有两个不等的正实根.………………5分

令

，记其两个实根分别为

解得

当

时，曲线

在点

处的切线分别为

（不妨设

），且当

上是单调函数.

是曲线

的两条不同的切线.

的取值范围为

（Ⅲ）当

时，函数

内的减函数.

因为

而

，不符合题意.………………11分

时，由（Ⅰ）知：

的最小值是

（ⅰ）若

所以，

符合题意.

（ⅱ）若

（ⅲ）若

时，有

，函数

内是增函数，

又因为函数

的定义域为

综上所述，实数

.………………14分