数系的扩充历史和复数的概念数的发展历程PPT格式课件下载.ppt
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自然地,分数就出现了。
等额分配问题,正整数,分数,主要用于处理等额分配的问题,无理数的发现重大突破,现在假设一个直角三角形的两条直角边的长度都是1,那么斜边的长度是多少呢?
无理数的发现重大突破,设斜边长是x,根据勾股定理可得,,因此斜边长度x必定是其平方等于2的一个数。
这个数能否写成两个整数比的形式呢?
答案是否定的,即没有任何一个分数的平方等于2,也就是说不是有理数。
x2=12+12=2,无理数的发现重大突破,不可公度量的发现,大约是在公元前470年左右,当时毕达哥拉斯早已不在人世。
传说学派成员希帕苏斯发现了不可公度性,他认为边长为1的正方形的对角线的长不能用有理数来表示。
当时他们正在海上泛舟集会,希帕苏斯说出他的发现后,惊恐不已的其他成员将他抛进了大海。
还有一种说法是希帕苏斯因泄露了不可公度的秘密而遭此厄运。
无理数的发现对毕达哥拉斯学派“万物皆数”的信条造成了强烈的震撼。
后来,人们又陆续发现了以外的许多无理数。
这些“怪物”深深地困扰着古希腊的数学家们,这就是数学史上的“第一次数学危机”。
正整数,分数,无理数,正整数,在古希腊引发了第一次数学危机,分数,无理数,班级信息栏,负数的引入,重大进步,我国公元3世纪的刘徽已经对负数有了深刻的认识。
在九章算术注中,他认为“今两算得失相反,要令正负以名之。
”他还认为“言负者未必负于少,言正者未必正于多。
”这两句话都是关于正负数的绝对值而言的,即负数的绝对值未必小,正数的绝对值未必大。
这种思想与现代的数学思想是完全一致的。
中国是世界上对负数认识最早的国家,负数是在九章算术里首先发现的。
但欧洲人承认负数却在16世纪,比中国晚了一千多年。
在生产实践中,人们往往需要测量相反意义的量,例如海拔,高度等等,因此负数也就应运而生了。
负数的引入,重大进步,在7世纪,印度学家也开始使用负数。
负数通过阿拉伯人的著作传入欧洲,但是,到了16,17世纪,欧洲的大多数数学家并不承认它是数,也不认为它是方程的根。
一些数学家们甚至把负数称为荒谬的数,例如著名数学家巴斯卡认为,从0减去4纯粹是胡说。
1629年,吉拉尔出版了它的著作代数新发现。
在这本书中,他明确主张:
负数与正数具有相同的地位;
负数可以作为方程的根,他还指出,负数是正数的相反数,直到这个时期,在欧洲的数学舞台上,负数终于有了一席之地。
正整数,分数,无理数,正整数,分数,无理数,负数,零的发现,人类很早就发现了正整数、无理数、负数,但是“0”的发现却晚得多。
“0”最早源自于人们表示的“没有”,用一个空位来表示它,后来才逐渐地把它当成一个数来认识,这是一个漫长的过程。
在我国,战国时期人们就用“空”表示“0”了,但没有把“空”看做是一个单独的数。
印度人起初也用空位表示“0”,后记成“点”,最后发展成“圆”。
直到公元11世纪,包括有“0”的印度数码和十进制计数法臻于成熟。
特别是印度人不仅把“0”看作是记数法中的空位,而且也把它看作可施行运算的一个特殊的数。
“0”的发明是印度人对世界文明的杰出贡献。
分数,负数,正整数,零,无理数,“0”的发明是印度对世界文明的杰出贡献,正整数,分数,零,负数,无理数,数还够用吗,小结,数集因生产和科学发展的需要而逐步扩充,数集的每一次扩充,对数学学科本身来说,也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾,分数解决了在整数集中不能整除的矛盾,负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾,无理数解决了开方开不尽的矛盾。
但是,数集扩充到实数集R以后,像+1=0这样的方程还是无解的,因为没有一个实数的平方等于-1.如何解决这个问题?
这就是我们今天要探讨的课题。
3.1.1,数系的扩充和复数的概念,为了解决负数开平方问题,数学家大胆引入一个新数i,把i叫做虚数单位,并且规定:
(1)i21;
(2)实数可以与i进行四则运算,在进行四则运算时,原有的加法与乘法的运算律(包括交换律、结合律和分配律)仍然成立.,问题解决,一.复数的定义,复数的定义:
形如a+bi(a,bR)的数叫复数,a叫复数的实部,b叫复数的虚部.全体复数所成的集合叫做复数集,用字母C表示.,其中a叫做实部,b叫做虚部,二.复数的代数形式,通常用字母z表示,即,称为虚数单位.,问:
复数集C和实数集R之间有什么关系?
三复数的分类,两个复数相等的定义:
如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个复数相等。
这就是说,如果a,b,c,dR,那么a+bi=c+dia=c,b=d,需要掌握的一个充要条件,一般地,两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小.如3+5i与4+3i不能比较大小.,需要掌握的一个结论,现有一个命题:
“任何两个复数都不能比较大小”对吗?
不对如果两个复数都是实数,就可以比较大小只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小,虚数这种假设,是需要勇气的,人们在当时是无法接受的,认为她是想象的,不存在的,但这丝毫不影响数学家对虚数单位的假设研究:
第一次认真讨论这种数的是文艺复兴时期意大利有名的数学家“怪杰”卡丹,他是1545年开始讨论这种数的,当时复数被他称作“诡辩量”.几乎过了100年,笛卡尔才给这种“虚幻之数”取了一个名字虚数但是又过了140年,欧拉还是说这种数只是存在于“幻想之中”,并用(imaginary,即虚幻的缩写)来表示它的单位.,复数的发展史,后来德国数学家高斯给出了复数的定义,但他们仍感到这种数有点虚无缥缈,尽管他们也感到它的作用1830年,高斯详细论述了用直角坐标系的复平面上的点表示复数,使复数有了立足之地,人们才最终承认了复数.到今天复数已经成为现代科技中普遍运用的数学工具之一.,例1.请说出下列复数的实部和虚部,并指出有没有纯虚数?
例2复数-2i+3.14的实部和虚部是什么?
例3实数m取什么值时,复数是
(1)实数?
(2)虚数?
(3)纯虚数?
解:
(1)当,即时,复数z是实数,
(2)当,即时,复数z是虚数,(3)当,即时,复数z是纯虚数,练习1:
当m为何实数时,复数是
(1)实数
(2)虚数(3)纯虚数,
(1),
(2),(3),如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个复数相等,例4已知,其中求,解:
根据复数相等的定义,得方程组,解得,如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个复数相等,1.虚数单位i的引入;
3.复数的分类,2.复数有关概念:
学习小结,复数相等,复数的代数形式:
复数的实部、虚部,虚数、纯虚数,课后作业,1.,求实数,1.,谢谢合作,