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当分析为主要的研究方法时，人类关注如何将系统“分析”、“分解”，揭开系统的细部，了解是什么元素或部件组成了系统；

忽视或破坏了这些元素是如何组合成系统的。

二十一世纪（二十世纪末），系统成为主要的研究对象，整合成为主要方法；

整合的方法在于了解细部以后，研究“如何组合”的问题，这导致复杂网络结构的研究；

如：

普列高津的耗散结构理论、哈肯的协同学、混沌和复杂系统理论、系统生物学、,复杂系统与复杂网络,复杂系统与复杂网络的概念系统：

集合（具体元素）+结构+功能系统的结构是什么？

一切系统的基础结构都是网络；

一切系统的核心结构都是逻辑网络；

复杂系统的结构就是复杂网络。

复杂网络是构成复杂系统的基本结构，每个复杂系统都可以看作是单元或个体之间的相互作用网络；

复杂网络在刻画复杂性方面的重要性是由于结构决定功能的；

复杂网络是研究复杂系统的一种角度和方法，它关注系统中因子相互关联作用的拓扑结构，是理解复杂系统性质和功能的基础。

具有自组织、自相似、吸引子、小世界、无标度中部分或全部性质的网络称为复杂网络。

钱学森,复杂系统与复杂网络的主要特性,1）开放性与环境和其它系统进行相互作用，交换物质、能量、信息，保持和发展系统内部的有序性与结构稳定性；

在这种交换中，系统经历着从低级向高级、从简单到复杂、从无序向有序的不断优化的动态发展过程；

虽然开放性是所有真实系统的基本属性，但这里的开放非指一般意义上的相互作用与交流，而开放的度量、性质、强度对复杂系统的性态、演化具有决定性的意义。

例：

人、城市网络簇。

2）涌现性即内部元素通过非线性相互作用，在宏观层次上产生出新的、元素不具有的整体属性；

虽然涌现同样是所有系统都具有的，但这里涌现意味着新的整体属性的产生。

“整体大于部分之和”，如：

大脑的神经网络系统3）演化性（不可逆性）即通过与所在环境中的其它系统的相互作用和内部的自组织，使系统发展到新的阶段，表现出阶段性、临界性，完成系统演化的生命周期。

社会网络中的人、生物群体的自组织系统（鸟群）,4）复杂性结构复杂性：

表现为多元性，非对称性，非均匀性，非线性分岔（Bifurcation）、混沌（Chaos）、分形Fractal；

行为复杂性：

表现为学习，自适应性，混沌同步，混沌边沿，随机性等等；

认识复杂性：

又称为主观复杂性，它表现为不确定性，描述复杂性与计算复杂性等等。

神经网络中的突触有强有弱，可抑制也可兴奋网络复杂性：

即系统内部和系统之间的相互作用可以看成由节点、边（连接）构成的体系，出现网络复杂性、小世界特征与无标度特征等。

网络系统的复杂性,

（1）结构复杂性网络连接结构错综复杂、极其混乱，同时又蕴含着丰富的结构：

社区、基序、聚集性、生成规律性等等，而且网络连接结构可能是随时间变化的。

包括：

静态结构的复杂性和结构动态演化的复杂性。

例如：

互联网上每天都不停地有页面和链接的产生和删除。

神经系统由神经元互连形成，连接以“突触连接结构”实现，突触有强弱、兴奋与抑制、不同的神经递质；

连接不断改变，形成连接结构变化。

（重边，加权等）,

（2）节点复杂性节点的独立或固有特性网络中的节点可能是具有分岔和混沌等复杂非线性行为的动力系统；

基因网络中每个节点都具有复杂的时间演化行为；

一个网络中可能存在多种不同类型的节点，比如控制哺乳动物中细胞分裂的生化网络就包含各种各样的基质和酶。

关联引发的节点特性当关联失去时这类特性会在节点处消失或改变；

耦合神经元重复地被同时激活，那么它们之间的连接就会加强，这被认为是记忆和学习的基础。

（3）复杂网络之间相互影响的复杂性实际的复杂网络会受到各种各样因素的影响和作用。

电力网络故障会导致Internet网速变慢，运输系统失控等一系列不同网络间的连锁反应。

（4）网络分层结构的复杂性行政管理网络是具有层结构的，多数网络都有节点的分层结构，只是在许多网络中没有意识到是一种造成复杂性的重要结构。

对复杂网络的理解,复杂网络是二十一世纪科学研究的思想和理念，它启发我们用什么观点理解这个世界：

整个世界以及组成世界的任何细部都是由网络及其变化形成的；

复杂网络也是研究复杂系统的一种技术和方法，它关注系统中个体相互作用的拓扑结构，是理解复杂系统性质和功能的基本方法。

复杂网络研究简史,格尼斯堡七桥问题,Euler（17071783），瑞士数学家，图论之父,一笔画问题,随机图理论,20世纪60年代，由两位匈牙利数学家Erds和Rnyi建立的随机图理论（randomgraphtheory）被公认为是在数学上开创了复杂网络理论的系统性研究。

Erds和Rnyi的最重要的发现：

ER随机图的许多重要性质都是突然涌现的。

即：

对于任一给定的概率p，要么几乎每一个图都具有某个性质Q（比如说，连通性），要么几乎每一个图都不具有该性质。

在20世纪的后40年中，随机图理论一直是研究复杂网络的基本理论,小世界实验,大多数人都过这样的经历：

碰到一个陌生人，同他聊了一会后发现你认识的某个人居然他也认识，然后一起发出“这个世界真小”的感叹；

那么对于世界上任意两个人来说，借助第三者、第四者这样的间接关系来建立起他们两人的联系平均来说最少要通过多少人呢？

哈佛大学美国社会心理学家斯坦利米尔格伦（StanleyMilgram）在1967年实验后得出结论：

中间的联系人平均只需要5个，他把这个结论称为“六度分离”（SixDegreesofSeparation）；

六度分离：

平均只要通过5个人，你就能与世界任何一个角落的任何一个人发生联系。

这个结论定量地说明了我们世界的”大小”，或者说人与人关系的紧密程度；

六度分离理论一直被作为社会心理学的经典范例之一。

小世界实验,米尔格伦的实验过程：

他计划通过人传人的送信方式来统计人与人之间的联系；

首先把信交给志愿者A，告诉他信最终要送给收信人S；

如果他不认识S，那么就送信到某个他认识的人B手里，理由是A认为在他的交集圈里B是最可能认识S的；

但是如果B也不认识S，那么B同样把信送到他的一个朋友C手中，就这样一步步最后信终于到达S那里；

这样就ABCS连成了一个链；

斯坦利米尔格伦通过对这个链做了统计后做出了六度分离的结论。

尽管如此，实际上这个理论并没有得到严格的证实；

美国心理学教授朱迪斯克兰菲尔德（JudithKleinfeld）对米尔格伦最初的实验提出不同意见，因为她发现实验的完成率极低（实际上只有三分之一的信送到了收信人那里）。

小世界实验-Bacon数,截止到最近，世界电影史上共产生了大约23万部电影，78多万名电影演员，KavinBacon在许多部电影中饰演小角色；

Virginia大学的计算机专家BrettTjaden设计了一个游戏，他声称电影演员KevinBacon是电影界的中心，定义了Bacon数：

一个演员如果和KavinBacon一起演过电影，那么他（她）的Bacon数就为1；

如果他（她）没有和Bacon演过电影，但是和Bacon数为1的演员一起演过电影，那么他的Bacon数就为2；

依此类推。

小世界实验-Bacon数,网站http:

/www.cs.virginia.edu/oracle/的数据库里总共存有有783,940个世界各地的演员的信息，以及231,088部电影信息；

通过简单地输入演员名字就可以知道这个演员的bacon数；

比如输入StephenChow（周星驰）就可以得到这样的结果：

周星驰在1991年的豪门夜宴（Haomenyeyan）中与洪金宝（SammoHungKam-Bo）合作；

而洪金宝又在李小龙的最后一部电影，即1978年的死亡的游戏（GameofDeath）中与ColleenCamp合作；

ColleenCamp在去年的电影Trapped中与KevinBacon合作；

这样周星驰的Bacon数为3。

对78万个演员所做的统计：

演员的最大Bacon数仅仅为8，平均Bacon数仅为2.948。

小世界实验-Erdos数,PaulErdos（1913-1996）：

出生于匈牙利的犹太籍数学家，被公认为20世纪最伟大的天才之一；

Erdos毕生发表的论文超过1500篇（在数学史上仅次于欧拉），超长的合作者名单，合作者超过450位，若加上别人所做但曾获他关键性提示之论文，则数万篇；

他的研究领域主要是数论和组合数学，但他的论文中涵盖的非常多的学科；

MathematicalReviews曾把数学划分为大约六十个分支，Erdos的论文涉及到了其中的40%.,小世界实验-Erdos数,定义Erdos数（Erdosnumber）的定义：

Erdos本人之Erdos数为0；

任何人若曾与Erdos合写过论文，则其Erdos数为1；

任何人若曾与一位Erdos数为l（且不曾与有更少的Erdos数）的人合写过论文，则他的Erdos数为2几乎每一个当代数学家都有一个有限的Erdos数，而且这个数往往非常小，小得出乎本人的预料；

证明Fermat大定理的AndrewWiles，他的研究方向与Erdos相去甚远，但他的Erdos数只有3，是通过这个途径实现的：

Erdos-AndrewOdlyzko-ChrisM.Skinner-AndrewWiles.,小世界实验-Erdos数,Fields奖得主的Erdos数都不超过5（只有Cohen和Grothendieck的Erdos数是5）；

Nevanlinna奖得主的Erdos数不超过3（只有Valiant的Erdos数是3）；

Wolf数学奖得主的Erdos数不超过6（只有V.I.Arnold是6，且只有Kolmogorov是5）；

Steele奖的终身成就奖得主的Erdos数不超过4；

其他领域的专家：

比尔盖兹（BillGates），他的Erdos数是4，通过如下途径实现：

Erdos-PavolHell-XiaoTieDeng-ChristosH.Papadimitriou-WilliamH.（Bill）Gates；

爱因斯坦的Erdos数是2。

复杂网络研究,两篇开创性的文章可以看作是复杂网络研究新纪元开始的标志：

美国康奈尔（Cornell）大学理论和应用力学系的博士生Watts及其导师、非线性动力学专家Strogatz教授于1998年6月在Nature杂志上发表的“小世界”网络的集体动力学（CollectiveDynamicsofSmall-WorldNetworks）；

美国NotreDame大学物理系的Barabsi教授及其博士生Albert于1999年10月在Science杂志上发表的随机网络中标度的涌现（EmergenceofScalinginRandomNetworks）。

这两篇文章分别揭示了复杂网络的小世界特征和无标度性质，并建立了相应的模型以阐述这些特性的产生机理。

1998，Watts和Strogatz：

WS小世界网络,D.J.Watts,andS.H.Strogatz,Nature,393,440-442（1998）.,60个节点组成的一个环每个节点与相邻的两个节点相连，计算网络的平均路径长度，即网络中所有节点对之间的路径长度的平均值。

规则网络的平均路径长度为15，面对面的两个点之间