九年级数学相似三角形同步练习4Word格式.docx
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3.相似三角形的识别
（1）如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似。
（2）如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
（3）如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。
【典型例题】
例1.如图，∠1＝∠2＝∠3，图中相似三角形有（）对。
答：
4对
例2.如图，已知：
△ABC、△DEF，其中∠A＝50°
，∠B＝60°
，∠C＝70°
，∠D＝40°
，∠E＝60°
，∠F＝80°
，能否分别将两个三角形分割成两个小三角形，使△ABC所分成的每个三角形与△DEF所分成的每个三角形分别对应相似？
如果可能，请设计一种分割方案；
若不能，说明理由。
解：
例3.（2004·
广东省）如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点F在BA的延长线上，连结CF交AD于点E。
（1）求证：
△CDE∽△FAE；
（2）当E是AD的中点，且BC＝2CD时，求证：
∠F＝∠BCF。
命题意图：
相似三角形的识别、特征在解题中的应用。
解析：
由AB∥DC得：
∠F＝∠DCE，∠EAF＝∠D
∴△CDE∽△FAE
，又E为AD中点
∴DE＝AE，从而CD＝FA，结合已知条件，易证
BF＝BC，∠F＝∠BCF
解：
（1）∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD
∴∠F＝∠DCE，∠EAF＝∠D
（2）∵E是AD中点，∴DE＝AE
由
（1）得：
∴CD＝AF
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB＝CD
∴AB＝CD＝AF
∴BF＝2CD，又BC＝2CD
∴BC＝BF
∴∠F＝∠BCF
思路探究：
平行往往是证两个三角形相似的重要条件，利用比例线段也可证明两线段相等。
例4.在梯形ABCD中，∠A＝90°
，AD∥BC，点P在线段AB上从A向B运动，
（1）是否存在一个时刻使△ADP∽△BCP；
（2）若AD＝4，BC＝6，AB＝10，使△ADP∽△BCP，则AP的长度为多少？
（1）存在
（2）若△ADP∽△BCP，则
设
或
或
∴AP长度为4或6
例5.如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE：
CE＝2：
3，连结AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则
（）
A.4：
10：
25B.4：
9：
25
C.2：
3：
5D.2：
5：
（2001年黑龙江省中考题）
思路点拨：
运用与面积相关知识，把面积比转化为线段比。
∴选A
例6.如图，有一批形状大小相同的不锈钢片，呈直角三角形，已知∠C＝90°
，AB＝5cm，BC＝3cm，试设计一种方案，用这批不锈钢片裁出面积达最大的正方形不锈钢片，并求出这种正方形不锈钢片的边长。
要在三角形内裁出面积最大的正方形，那么这正方形所有顶点应落在△ABC的边上，先画出不同方案，把每种方案中的正方形边长求出。
如图甲，设正方形EFGH边长为x，则AC＝4
而CD×
AB＝AC×
BC＝
，得
又△CEH∽△CAB，得
于是
，解得：
如图乙，设正方形CFGH的边长为ycm
由GH∥AC，得：
即
即应如图乙那样裁剪，这时正方形面积达最大，它的边长为
例7.如图，已知直角梯形ABCD中，∠A＝∠B＝90°
，设
，
，作DE⊥DC，DE交AB于点E，连结EC。
（1）试判断△DCE与△ADE、△DCE与△BCE是否分别一定相似？
若相似，请加以证明。
（2）如果不一定相似，请指出a、b满足什么关系时，它们就能相似？
（1）△DCE与△ADE一定相似，△DCE与△BCE不一定相似，分别延长BA、CD交于F点
由△FAD∽△FBC，得：
于是FD＝DC，从而可证△FED≌△CED
得∠AED＝∠DEC
所以△DEC∽△AED
（2）作CG⊥AD交AD延长线于G，
由△AED∽△GDC，有
要使△DCE与△BCE相似，那么
一定成立
也就是当
时，△DCE与△BCE一定相似。
【模拟试题】
（答题时间：
40分钟）
1.如图，已知DE∥BC，CD和BE相交于O，若
，则AD：
DB＝____________。
2.如图，△ABC中，CE：
EB＝1：
2，DE∥AC，若△ABC的面积为S，则△ADE的面积为____________。
3.若正方形的4个顶点分别在直角三角形的3条边上，直角三角形的两直角边的长分别为3cm和4cm，则此正方形的边长为____________。
（2000年武汉市中考题）
4.阅读下面的短文，并解答下列问题：
我们把相似形的概念推广到空间：
如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体。
如图，甲、乙是两个不同的正方体，正方体都是相似体，它们的一切对应线段之比都等于相似比：
分别表示这两个正方体的表面积，则
，又设
分别表示这两个正方体的体积，则
（1）下列几何体中，一定属于相似体的是（）
A.两个球体B.两个圆锥体
C.两个圆柱体D.两个长方体
（2）请归纳出相似体的3条主要性质：
①相似体的一切对应线段（或弧）长的比等于____________；
②相似体表面积的比等于____________；
③相似体体积的比等于____________。
（2001年江苏省泰州市中考题）
5.如图，铁道口的栏杆短臂长1m，长臂长16m，当短臂端点下降0.5m时，长臂端点升高（）
A.11.25mB.6.6mC.8mD.10.5m
6.如图，D为△ABC的边AC上的一点，∠DBC＝∠A，已知
，△BCD与△ABC的面积的比是2：
3，则CD的长是（）
A.
B.
C.
D.
7.如图，在正三角形ABC中，D、E分别在AC、AB上，且
，AE＝BE，则有（）
A.△AED∽△BEDB.△AED∽△CBD
C.△AED∽△ABDD.△BAD∽△BCD
（2001年杭州市中考题）
8.如图，已知△ABC中，DE∥FG∥BC，且AD：
FD：
FB＝1：
2：
3，则
等于（）
A.1：
36B.1：
4：
9
C.1：
8：
27D.1：
36
9.如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ACD＝∠B，求证：
10.如图，△ABC中，D是BC边上的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F。
△ABC∽△FCD；
（2）若
，求DE的长。
（2000年河北省中考题）
11.阅读并解答问题。
在给定的锐角△ABC中，求作一个正方形DEFG，使D、E落在BC上，F、G分别落在AC、AB边上，作法如下：
第一步：
画一个有3个顶点落在△ABC两边上的正方形D'
E'
F'
G'
第二步：
连结BF'
，并延长交AC于点F；
第三步：
过F点作FE⊥BC于E；
第四步：
过F点作FG∥BC交AB于点G；
第五步：
过G点作GD⊥BC于点D。
四边形DEFG即为所求作的四边形DEFG，为正方形。
问题：
（1）证明上述所求作的四边形DEFG为正方形；
（2）在△ABC中，如果
，∠BAC＝75°
，求上述正方形DEFG的边长。
（江苏省扬州市中考题）
12.如图，在△ABC中，
，在BC上有100个不同的点
，过这100个点分别作△ABC的内接矩形
…
，设每个内接矩形的周长分别为
，则
____________。
（安徽省竞赛题）
13.如图，在△ABC中，DE∥FG∥BC，GI∥EF∥AB，若△ADE、△EFG、△GIC的面积分别为
，则△ABC的面积为____________。
14.如图，一个边长为3、4、5厘米的直角三角形的一个顶点与正方形的顶点B重合，另两个顶点分别在正方形的两条边AD、DC上，那么这个正方形的面积是____________厘米2。
（第11届“希望杯”邀请赛试题）
15.如图，将一个矩形纸片ABCD沿AD和BC的中点连线对折，要使矩形AEFB与原矩形相似，则原矩形的长与宽的比为（）
A.2：
1B.
C.
D.1：
1
16.如图，梯形ABCD中，AB∥CD，且CD＝3AB，EF∥CD，EF将梯形ABCD分成面积相等的两部分，则AE：
ED等于（）
A.2B.
【试题答案】
1.3：
2.
3.
4.
（1）A；
（2）相似比；
相似比的平方；
相似比的立方
5.C6.C7.B8.C
9.由△ABC∽△DCA，得
10.
（1）略
（2）过A作AM⊥BC于M
由△ABC∽△FCD，得：
又
∵DE∥AM，
11.
（1）易证明四边形EFGD为矩形，由
，而
，得EF＝GF，故四边形EFGD为正方形。
（2）过A作AQ⊥BC于Q交GF于P，且AQ＝BQ，∠BCA＝60°
，∠QAC＝30°
，又
，解得
由
12.400
提示：
从内接一个矩形入手，探求内接△ABC中任一矩形的长与宽的关系。
13.
提示：
14.
设
由△BCE∽△EDF，得
，即
15.C
16.C
延长DA、CB相交于G，
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