二次函数存在性问题及解答Word格式文档下载.docx

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，，故符合条件的P点有三个：

．（10北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x2+x+m2-3m+2

与x轴的交点分别为原点O和点A，点B（2，n）在这条抛物线上。

（1）求点B的坐标；

（2）点P在线段OA上，从O点出发向点运动，过P点作x轴的

垂线，与直线OB交于点E。

延长PE到点D。

使得ED=PE。

以PD为斜边在PD右侧作等腰直角三角形PCD（当P点运动

时，C点、D点也随之运动）

①当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时，求

OP的长；

②若P点从O点出发向A点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA上另一点Q从A点出发向O点作匀速运动，速度为每秒2个单位（当Q点到达O点时停止运动，P点也同时停止运动）。

过Q点作x轴的垂线，与直线AB交于点F。

延长QF到点M，使得FM=QF，以QM为斜边，在QM的左侧作等腰直角三角形QMN（当Q点运动时，M点，N点也随之运动）。

若P点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条直角边恰好落在同一条直线上，求此刻t的值。

解：

（1）∵拋物线y=-x2+x+m2-3m+2经过原点，

∴m2-3m+2=0，解得m1=1，m2=2，

由题意知m≠1，∴m=2，

∴拋物线的解析式为y=-x2+x，

∵点B（2，n）在拋物线y=-x2+x上，

∴n=4，∴B点的坐标为（2，4）。

（2）①设直线OB的解析式为y=k1x，求得直线OB的解析式为y=2x，

∵A点是拋物线与x轴的一个交点，

可求得A点的坐标为（10，0），

设P点的坐标为（a，0），则E点的坐标为（a，2a），

根据题意作等腰直角三角形PCD，如图1。

可求得点C的坐标为（3a，2a），

由C点在拋物线上，得2a=-⨯（3a）2+⨯3a，

即a2-a=0，解得a1=，a2=0（舍去），

∴OP=。

②依题意作等腰直角三角形QMN，设直线AB的解析式为y=k2x+b，

由点A（10，0），点B（2，4），

求得直线AB的解析式为y=-x+5，

当P点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，

有以下三种情况：

第一种情况：

CD与NQ在同一条直线上。

如图2所示。

可证△DPQ为等腰直角三角形。

此时OP、DP、AQ的长可依次表示为t、4t、2t个单位。

∴PQ=DP=4t，∴t+4t+2t=10，∴t=。

第二种情况：

PC与MN在同一条直线上。

如图3所示。

可证△PQM为等腰直角三角形。

此时OP、AQ的长可依次表示为t、2t个单位。

∴OQ=10-2t，

∵F点在直线AB上，∴FQ=t，∴MQ=2t，∴PQ=MQ=CQ=2t，∴t+2t+2t=10，∴t=2。

第三种情况：

点P、Q重合时，PD、QM在同一条直线上，如图4所示。

∴t+2t=10，∴t=。

综上，符合题意的t值分别为，2，。

．（10贵州遵义）如图，已知抛物线的顶点坐

标为Q，且与轴交于点C，与轴交于A、B两

点（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上一动点，从点C

沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作PD∥轴，

交AC于点D．

（1）求该抛物线的函数关系式；

（2）当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标；

（3）在问题

（2）的结论下，若点E在轴上，点F在抛物线上，

问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？

若存在，

求点F的坐标；

若不存在，请说明理由．

（1）

∵抛物线的顶点为Q（2，-1）

∴设

将C（0，3）代入上式，得

∴，即

（2）分两种情况：

①当点P1为直角顶点时,点P1与点B重合（如图）

令=0,得

解之得,

∵点A在点B的右边,∴B（1,0）,A（3,0）

∴P1（1,0）

②解:

当点A为△APD2的直角顶点是（如图）

∵OA=OC,∠AOC=,∴∠OAD2=

当∠D2AP2=时,∠OAP2=,∴AO平分∠D2AP2

又∵P2D2∥轴,∴P2D2⊥AO,∴P2、D2关于轴对称.

设直线AC的函数关系式为

将A（3,0）,C（0,3）代入上式得

∴

∴

∵D2在上,P2在上,

∴设D2（,）,P2（,）

∴（）+（）=0

∴,（舍）

∴当=2时,

==-1

∴P2的坐标为P2（2,-1）（即为抛物线顶点）

∴P点坐标为P1（1,0）,P2（2,-1）

（3）解:

由题

（2）知,当点P的坐标为P1（1,0）时,不能构成平行四边形

当点P的坐标为P2（2,-1）（即顶点Q）时,

平移直线AP（如图）交轴于点E,交抛物线于点F.

当AP=FE时,四边形PAFE是平行四边形

∵P（2,-1）,∴可令F（,1）

解之得:

∴F点有两点,即F1（,1）,F2（,1）

．（10湖北黄冈）已知抛物线顶点为C（1，1）且过原点O.过抛物线上一点P（x，y）向直线作垂线，垂足为M，连FM（如图）.

（1）求字母a，b，c的值；

（2）在直线x＝1上有一点，求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标，并证明此时△PFM为正三角形；

（3）对抛物线上任意一点P，是否总存在一点N（1，t），使PM＝PN恒成立，若存在请求出t值，若不存在请说明理由.

（1）a＝－1，b＝2，c＝0

（2）过P作直线x=1的垂线，可求P的纵坐标为，横坐标为.此时，MP＝MF＝PF＝1，故△MPF为正三角形.

（3）不存在.因为当t＜，x＜1时，PM与PN不可能相等，同理，当t＞，x＞1时，PM与PN不可能相等.

．（10辽宁丹东）如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH，点H的坐标为（－8，0），点N的坐标为（－6，－4）．

（1）画出直角梯形OMNH绕点O旋转180°

的图形OABC，并写出顶点A，B，C的坐标（点M的对应点为A，点N的对应点为B，点H的对应点为C）；

（2）求出过A，B，C三点的抛物线的表达式；

（3）截取CE=OF=AG=m，且E，F，G分别在线段CO，OA，AB上，求四边形BEFG的面积S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；

面积S是否存在最小值?

若存在，请求出这个最小值；

若不存在，请说明理由；

（4）在（3）的情况下，四边形BEFG是否存在邻边相等的情况，若存在，请直接写出此时m的值，并指出相等的邻边；

若不存在，说明理由．

（1）利用中心对称性质，画出梯形OABC．

∵A，B，C三点与M，N，H分别关于点O中心对称，

∴A（0，4），B（6，4），C（8，0）

（写错一个点的坐标扣1分）

（2）设过A，B，C三点的抛物线关系式为，

∵抛物线过点A（0，4），

∴．则抛物线关系式为．

将B（6，4），C（8，0）两点坐标代入关系式，得

解得

所求抛物线关系式为：

．

（3）∵OA=4，OC=8，∴AF=4－m，OE=8－m．

∴

OA（AB+OC）AF·

AGOE·

OFCE·

OA

（0＜＜4）

∵．∴当时，S的取最小值．

又∵0＜m＜4，∴不存在m值，使S的取得最小值．

（4）当时，GB=GF，当时，BE=BG．

．已知：

函数y=ax2+x+1的图象与x轴只有一个公共点．

（1）求这个函数关系式；

（2）如图所示，设二次函数y=ax2+x+1图象的顶点为B，与y轴的交点为A，P为图象上的一点，若以线段PB为直径的圆与直线AB相切于点B，求P点的坐标；

（3）在

（2）中，若圆与x轴另一交点关于直线PB的对称点为M，试探索点M是否在抛物线y=ax2+x+1上，若在抛物线上，求出M点的坐标；

若不在，请说明理由．

（1）当a=0时，y=x+1，图象与x轴只有一个公共点………

当a≠0时，△=1-4a=0，a=，此时，图象与x轴只有一个公共点．

∴函数的解析式为：

y=x+1或`y=x2+x+1……

（2）设P为二次函数图象上的一点，过点P作PC⊥x

轴于点C．

∵是二次函数，由

（1）知该函数关系式为：

y=x2+x+1，则顶点为B（-2，0），图象与y轴的交点

坐标为A（0，1）∵以PB为直径的圆与直线AB相切于点B∴PB⊥AB则∠PBC=∠BAO

∴Rt△PCB∽Rt△BOA

∴，故PC=2BC，设P点的坐标为（x，y），∵∠ABO是锐角，∠PBA是直角，∴∠PBO是钝角，∴x<

-2

∴BC=-2-x，PC=-4-2x，即y=-4-2x，P点的坐标为（x，-4-2x）

∵点P在二次函数y=x2+x+1的图象上，∴-4-2x=x2+x+1解之得：

x1=-2，x2=-10

∵x<

-2∴x=-10，∴P点的坐标为：

（-10，16）（3）点M不在抛物线上由

（2）知：

C为圆与x轴的另一交点，连接CM，CM与直线PB的交点为Q，过点M作x轴的垂线，垂足为D，取CD的中点E，连接QE，则CM⊥PB，且CQ=MQ

∴QE∥MD，QE=MD，QE⊥CE

∵CM⊥PB，QE⊥CEPC⊥x轴∴∠QCE=∠EQB=∠CPB

∴tan∠QCE=tan∠EQB=tan∠CPB=

CE=2QE=2×

2BE=4BE，又CB=8，故BE=，QE=

∴Q点的坐标为（-，）

可求得M点的坐标为（，）

∵=≠

∴C点关于直线PB的对称点M不在抛物线上

．（10重庆潼南）如图,已知抛物线与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，-1）.

（1）求抛物线的解析式；

（2）点E是线段AC上一动点，过点E作DE⊥x轴于点D，连结DC，当△DCE的面积最大时，求点D的坐标；

（3）在直线BC上是否存在一点P，使△ACP为等腰三角形，若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由.

（1）∵二次函数的图像经过点A（2，0）C（0,－1）

解得：

b=－c=－1

∴二次函数的解析式为

（2）设点D的坐标为（m，0）（0＜m＜2）

∴OD=m∴AD=2-m

由△ADE∽△AOC得，

∴DE=

∴△CDE的面积=×

×

m

==

当m=1时，△CDE的面积最大

∴点D的坐标为（1，0）

（3）存在由

（1）知：

二次函数的解析式为

设y=0则解得：

x1=2x2=－1

∴点B的坐标为（－1，0）C（0，－1）

设直线BC的解析式为：

y=kx＋b

∴解得：

k=-1b=-1

∴直线BC的解析式为:

y=－x－1

在Rt△AOC中，∠AOC=900OA=2OC=1

由勾股定理得：