因式分解的常用方法目前最牛最全的教案解析Word格式.docx
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=每组之间还有公因式!
=
例2、分解因式:
解法一:
第一、二项为一组;
解法二:
第一、四项为一组;
第三、四项为一组。
第二、三项为一组。
原式=原式=
==
==
练习:
分解因式1、2、
(二)分组后能直接运用公式
例3、分解因式:
若将第一、三项分为一组,第二、四项分为一组,虽然可以提公因式,但提完后就能继续分解,所以只能另外分组。
例4、分解因式:
解:
原式=解:
分解因式3、4、
综合练习:
(1)
(2)
(3)(4)
(5)(6)
(7)(8)
(9)(10)
四、十字相乘法.
(一)二次项系数为1的二次三项式
直接利用公式——进行分解。
特点:
(1)二次项系数是1;
(2)常数项是两个数的乘积;
(3)一次项系数是常数项的两因数的和。
思考:
十字相乘有什么基本规律?
例.已知0<≤5,且为整数,若能用十字相乘法分解因式,求符合条件的.
解析:
凡是能十字相乘的二次三项式ax2+bx+c,都要求>
0而且是一个完全平方数。
于是为完全平方数,
例5、分解因式:
将6分成两个数相乘,且这两个数的和要等于5。
由于6=2×
3=(-2)×
(-3)=1×
6=(-1)×
(-6),从中可以发现只有2×
3的分解适合,即2+3=5。
12
=13
=1×
2+1×
3=5
用此方法进行分解的关键:
将常数项分解成两个因数的积,且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。
例6、分解因式:
原式=1-1
=1-6
(-1)+(-6)=-7
练习5、分解因式
(1)
(2)(3)
练习6、分解因式
(1)
(2)(3)
(二)二次项系数不为1的二次三项式——
条件:
(1)
(2)
(3)
分解结果:
=
例7、分解因式:
1-2
3-5
(-6)+(-5)=-11
练习7、分解因式:
(1)
(2)
(3)(4)
(三)二次项系数为1的齐次多项式
例8、分解因式:
将看成常数,把原多项式看成关于的二次三项式,利用十字相乘法进行分解。
18b
1-16b
8b+(-16b)=-8b
解:
=
练习8、分解因式
(1)
(2)(3)
(四)二次项系数不为1的齐次多项式
例9、例10、
1-2y把看作一个整体1-1
2-3y1-2
(-3y)+(-4y)=-7y(-1)+(-2)=-3
原式=解:
练习9、分解因式:
综合练习10、
(1)
(2)
(3)(4)
(5)(6)
(9)(10)
五、换元法。
例13、分解因式
(1)
(2)
(1)设2005=,则原式=
(2)型如的多项式,分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。
原式=
设,则
∴原式==
==
练习13、分解因式
(1)
(2)
六、添项、拆项、配方法。
例15、分解因式
(1)
解法1——拆项。
解法2——添项。
原式=原式=
======
==
练习15、分解因式
(2)(3)4)
第二部分:
习题大全
经典一:
一、填空题
1.把一个多项式化成几个整式的_______的形式,叫做把这个多项式分解因式。
2分解因式:
m3-4m=.
3.分解因式:
x2-4y2=_______.
4、分解因式:
=_________________。
5.将xn-yn分解因式的结果为(x2+y2)(x+y)(x-y),则n的值为.
6、若,则=_________,=__________。
二、选择题
7、多项式的公因式是()
A、B、C、D、
8、下列各式从左到右的变形中,是因式分解的是()
A、B、
C、D、
10.下列多项式能分解因式的是()
(A)x2-y(B)x2+1(C)x2+y+y2(D)x2-4x+4
11.把(x-y)2-(y-x)分解因式为()
A.(x-y)(x-y-1)B.(y-x)(x-y-1)
C.(y-x)(y-x-1)D.(y-x)(y-x+1)
12.下列各个分解因式中正确的是()
A.10ab2c+6ac2+2ac=2ac(5b2+3c)
B.(a-b)2-(b-a)2=(a-b)2(a-b+1)
C.x(b+c-a)-y(a-b-c)-a+b-c=(b+c-a)(x+y-1)
D.(a-2b)(3a+b)-5(2b-a)2=(a-2b)(11b-2a)
13.若k-12xy+9x2是一个完全平方式,那么k应为()
A.2B.4C.2y2D.4y2
三、把下列各式分解因式:
14、15、
16、17、
18、19、;
五、解答题
20、如图,在一块边长=6.67cm的正方形纸片中,挖去一个边长=3.33cm的正方形。
求纸片剩余部分的面积。
21、如图,某环保工程需要一种空心混凝土管道,它的规格是内径,外径长。
利用分解因式计算浇制一节这样的管道需要多少立方米的混凝土?
(取3.14,结果保留2位有效数字)
22、观察下列等式的规律,并根据这种规律写出第(5)个等式。
经典二:
因式分解小结
知识总结归纳
因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式,它和整式乘法互为逆运算,在初中代数中占有重要的地位和作用,在其它学科中也有广泛应用,学习本章知识时,应注意以下几点。
1.因式分解的对象是多项式;
2.因式分解的结果一定是整式乘积的形式;
3.分解因式,必须进行到每一个因式都不能再分解为止;
4.公式中的字母可以表示单项式,也可以表示多项式;
5.结果如有相同因式,应写成幂的形式;
6.题目中没有指定数的范围,一般指在有理数范围内分解;
7.因式分解的一般步骤是:
(1)通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。
即首先看有无公因式可提,其次看能否直接利用乘法公式;
如前两个步骤都不能实施,可用分组分解法,分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解;
(2)若上述方法都行不通,可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项(添项)等方法;
下面我们一起来回顾本章所学的内容。
1.通过基本思路达到分解多项式的目的
例1.分解因式
分析:
这是一个六项式,很显然要先进行分组,此题可把分别看成一组,此时六项式变成二项式,提取公因式后,再进一步分解;
也可把,,分别看成一组,此时的六项式变成三项式,提取公因式后再进行分解。
解一:
原式
解二:
2.通过变形达到分解的目的
将拆成,则有
将常数拆成,则有
3.在证明题中的应用
例:
求证:
多项式的值一定是非负数
现阶段我们学习了两个非负数,它们是完全平方数、绝对值。
本题要证明这个多项式是非负数,需要变形成完全平方数。
证明:
设,则
4.因式分解中的转化思想
例:
分解因式:
本题若直接用公式法分解,过程很复杂,观察a+b,b+c与a+2b+c的关系,努力寻找一种代换的方法。
设a+b=A,b+c=B,a+2b+c=A+B
说明:
在分解因式时,灵活运用公式,对原式进行“代换”是很重要的。
中考点拨
在中,三边a,b,c满足求证:
1.若x为任意整数,求证:
的值不大于100。
2.将
一、填空:
(30分)
1、若是完全平方式,则的值等于_____。
2、则=____=____3、与的公因式是_
4、若=,则m=_______,n=_________。
5、在多项式中,可以用平方差公式分解因式的
有________________________,其结果是_____________________。
6、若是完全平方式,则m=_______。
7、
8、已知则
9、若是完全平方式M=________。
10、,
11、若是完全平方式,则k=_______。
14、若则___。
12、若的值为0,则的值是________。
13、若则=_____。
15、方程,的解是________。
二、选择题:
(10分)
1、多项式的公因式是()
A、-a、B、C、D、
2、若,则m,k的值分别是()
A、m=—2,k=6,B、m=2,k=12,C、m=—4,k=—12、Dm=4,k=12、
3、下列名式:
中能用平方差公
式分解因式的有()
A、1个,B、2个,C、3个,D、4个
4、计算的值是()
A、B、
三、分解因式:
1、2、3、4、
5、6、7、8、
四、代数式求值(15分)
1、已知,,求的值。
2、若x、y互为相反数,且,求x、y的值
3、已知,求的值
五、计算:
(15)
(1)0.75
(2) (3)
六、试说明:
(8分)
1、对于任意自然数n,都能被动24整除。
2、两个连续奇数的积加上其中较大