再回顾抽象代数的基本内容Word格式文档下载.docx

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注意，这里说的是存在，也就是说，不一定只有一个。

3该集合中存在一个元素d,使得对于集合中的一个元素a，都有：

a%d=e,这里的e就是第三条中的e

4刚才定义的运算法则满足结合律：

对于任意的几个中的元素a,b和c,都有如下等式成立：

a%（b%c）=（a%b）%c

如果一个集合满足上述四个条件的话，就成一个群。

举个例子：

全体整数集，在加法这个定义的法则下，它是成一个群的。

所以，说一个集合是不是群，它实现定义的运算法则是前提条件。

比如整数集在除法这个运算法则下就不成群，因为最起码的条件：

封闭型它都不满足，比如3除以6所得的结果就不属于这个集合了。

抽象代数中什么是环

我尽量说的直白一点吧：

环是这样一个集合：

在这个集合里定义了两种运算，一种叫做“加法+”，一种叫做“乘法*”。

（和你熟悉的四则运算不一定一样，只是借用这两个名字而已）

注意这两种运算必须封闭，也就是说A+B或者A*B的结果必须依然是这个集合里的元素。

其中“加法”运算满足交换律和结合律，并且存在一个“0”元素，即这个元素和任何元素A“加”都等于A

而“乘法”运算满足结合律和对“加法”的分配律，并且存在一个“1”元素，即这个元素和任何不是“0”的元素B“相乘”都等于B

举例来说，整数集合Z就是一个环

一个个字打的...不知道说明白没有...

域是环的一种特例：

域是1）关于乘法交换;

2）存在乘法单位元1（1≠加法单位元0）;

3）所有非零元有乘法逆元的环.

或者这样解释，环（R,+,*）如果是一个域，那么（R\{0},*）构成一个交换群,（R,*）构成一个含幺半群；

或者这样解释，环（R,+,*）如果是一个域，（R,*）构成一个含幺半群（可推出1≠0，所以幺元1∈R\{0}），且R\{0}中每个元素关于*在R\{0}中存在逆元

或者一言蔽之：

域是交换性除环.

具体为什么不妨比照环与域的定义~

模：

一个代数系，向量空间的推广。

一般来说，只要将向量空间中系数所在的数域F推广为任意环，就得到模的概念。

在历史上，模是由L.克罗内克在19世纪末提出来的，用于研究矩阵的标准形和处理微分方程组的一些问题，20世纪40年代以后，模在环论、群论、李代数、交换代数中占有非常重要的地位。

研究模的一个重要工具是同调代数。

另外，代数的表示理论也是关于模的理论。

因此，模的理论对代数的结构如李代数、结合代数、群等的研究起着极为重要的作用。

初学者应该如何学习抽象代数

曾经看到一些抽象代数（近世代数）的初学者有这样的疑问：

我们为什么要研究像群这样的抽象结构呢？

有人解释说这是刻画对称性，也有人解释说是现代数学的一种语言，有点道理却又语焉不详。

为什么要研究群呢？

提出这类问题的人困惑的并不是群的本质，而是需要一个合理的过渡，我觉得从具体的代数到抽象代数之间的过渡可以类比于从算术到普通代数的过渡。

记得我第一次遇到代数时感到很奇怪，为什么一眼就能看出答案的问题，非要设个未知量x来解方程。

直到后来发现几个x可以抵消，我才算领会了方程的方便，再后来遇到二次的情形就非要列方程不可了。

如果说方程中字母x代表某个数的话，那么群中的字母g又代表什么呢？

它不仅代表处在某个地位上的数，更是代表一个特殊的位置，这样的位置是与整个群的结构相互联系的。

比如在三阶循环群中，两个生成元尽管作为数是不同的，但它们在群的地位却是一致的。

正如普通代数中忽略了数的已知与未知那样，抽象代数中忽略的则是具体数的差异，而集中考虑相应的位置与结构。

有的人总是想借助直观来理解抽象，但这对抽象代数的入门却是一个妨碍。

还有回忆学习普通代数的情形，如果在学习普通代数的时候固执于用数值检验未知数x，并不能让你真正领会x的精神，只有直接用x来进行运算，才能在此基础上领会高级的直观。

抽象代数的学习也需要领会相应的高级直观，这里的直观重在代数的结构，因此初学者就应该特别注意那些关于结构的定理。

第一个结构定理大概就是同态基本定理，由此可以更加深刻的理解商群。

此后，一个非常自然的结构定理就是有限Abel结构定理，如果你能够依据此定理确定任意Abel群的结构，那么可以说你基本上已经算是入门了。

此后，就可以考虑对付非Abel群的武器，最初级的武器共轭类，由此衍生出正规子群的概念，而更加深刻的武器则是Sylow定理。

仅仅作为入门的话，能理解Sylow定理也应该算是足够了。

群的上面还有环、域、模等代数结构，这里只是简单提一下它们之间的关系。

如果说群是青少年的话（半群就是儿童了）；

那么环与域就是中年人，除了加法之外还增加了一个乘法；

而模与向量空间则是老年人，它把环或域作为系数，自身还保留有类似群的加法。

这里我要提醒一下，Abei群其实有着双重身份，它作为群的同时又是一个整数环Z上的模，不妨就管他叫老顽童吧。

如果像群变环那样，在模上面再引入一个乘法会怎么样呢？

也不知为什么，得到的东西就干脆的称为代数。

其实，只要能把注意把握结构，抽象代数的入门应该不是太困难，我甚至提议数学专业课是不是可以一开始就群论讲起，这可以促使学生尽早完成代数思维的转变。

只要走过了这道门槛，后面还有更加丰富多彩的内容等着你们呢！

初学者最好先别考虑非交换环，其中有很多诡异的东西

除环上多项式的根很有趣啊

最近读Lam的AFirstCourseinNoncommutativeRings（非交换环初级教程），其中第16节讲（非交换）除环上的多项式，顿时让我眼前一亮，原来去掉交换条件之后，多项式根的分布会变得如此有趣。

下面我就以实数域R上四元数除环D（由1，i，j，k生成）为例，简单说明一下多项式根分布的几种情形。

选这样的除环主要的考虑它是（右）代数闭的，不会因为自身的（代数）封闭性而使得应有的根漏掉。

当然，更一般的情形是实数闭域上的四元数除环，书中Niven与Jacobson的一个定理证明了它是代数闭的。

先看一个简单的例子1，i，j，k显然都满足方程f（t）=t^2+1，这已经说明了在除环中代数基本定理失效！

更值得注意的是，满足此方程的根有无穷多个。

事实上，对任何i的共轭元都是方程的根：

对任何a∈D，（aia^（-1））^2=ai^2a^（-1）=-1.

如果认为非交换性会使得根变多的话，不妨看看下面的例子：

g（t）=（t-j）（t-i）.千万认为它有两个根j与i，其实只有i才是它的根，我们可以展开g（t）=t^2-（j+i）t+ji=0，得到g（j）=-1-（j+i）j+ji=-2k≠0！

问题出在什么地方呢？

请注意，作为除环上的多项式，未定元t与除环元素是可交换的，但t=j时，却有ti≠it.也就是说，涉及多项式的乘法运算时，我们不能像交换环那样直接代入。

书中给出了一个代入法则，若p（t）=q（t）r（t）∈D（t）,则r（d）≠0时，有p（d）=q（h（d）d（h（d））^（-1））r（d）.由此可以看出，尽管q的根未必是p的根，但它却是与p的某个根共轭的。

具体回到这个问题上，若多项式g有除i之外的根a，则a必与j共轭，重复上面的论证可得，a^2=-1,代回原方程消去二次项之后，只能有a=（j+i）^（-1）（ji-1）=i，因此多项式g（t）就只有一个根i！

那么，是不是也可能恰好出现两个根呢？

请看多项式h（t）=（t-（j-i））（t-i），读者容易验证它的两个根是i与j+i（不是j-i，而是它的共轭元j+i！

）.这里恰好出现两个根的关键依然在于共轭，由于（j-i）^2≠-1，j-i并不与i共轭。

书中给出Bray-Whaples的定理说明，如果n次多项式有n个两两不共轭的根，那么它们就是这个多项式的所有根。

这样一来，多项式h（t）就只有这两个根。

作为代数闭除环上的多项式，它至少应该存在一个根。

书中给出的Gordon-Motzkin的定理，又说明了若除环上一个共轭类中若包含某多项式的两个根，则一定包含无数个根。

这样的一来，上述的例子就穷尽了二次多项式F（t）=（t-a）（t-b）的所有可能根的情形：

若a与b不共轭，则它有一个根b与另一个共轭于a的根；

若a与b共轭，则它只有一个根或者有无数多个根。

按照上面f（t）与g（t）的分析可以知道，在a^2∈R的条件下，若a+b=0，则方程有无数根；

若a+b≠0，则方程只有一根。

而a^2不属于R的情况，还需要进一步的研究。

高中以后学什么数学

如果你喜欢数学，那么上大学就一定要报数学专业，其他专业即使是理工科的，学的高等数学之类也仅仅是一层皮毛。

除非你能够顽强的自学，否则你的数学生涯就GAMEOVER了。

当然，即使你报了数学专业，到最后还是要依靠自学。

从这个意义上来说，报什么专业就真的无所谓了，只要负担轻就OK了。

下面的图表简单罗列了高中以后的数学到底可以走到哪里（并未涉及数论、集合论之类的另类领域）,也许你会感到有点恐怖，其实我大学时数学大致就学了这些：

因为那时候没有人交流，也不是太懂得节约时间。

可遗憾的是有些不怎么认真数学专业研究生，也无非是在一两个方向入门罢了：

高中以后的数学（当然是专业的）课程要大致由三个部分组成，分析、代数和几何，但我认为现行的教育安排是非常失衡的。

大致说来是，数学分析太臃肿，高等代数没前途，解析几何又太狭隘。

下面我就结合自己的经历来谈谈这个问题：

先来看分析，很多同学都认为数学分析难学，因为它涉及的东西太多太琐碎了。

既有各种初级计算技巧，甚至包括近似估计；

又有深刻的理论推导，有时还一些先进的思想压缩到初步的理论中，却不能充分展开。

我那时就是疲于应付，最后还是不得不退化为微积分，却又往往有所顾及，不像头脑简单的时候可以肆无忌惮的享受着计算的快乐。

其实实数公理部分的不少证明细节得到平面点集拓扑才能充分展开（毕竟圆盘的覆盖要比区间的覆盖更加直观一些），又如像一致收敛这样的概念到函数空间中用确界范数才能自然理解的，而这一切都被压缩到数学分析之中。

要解决这个困难，比较方便的办法的把数学分析分成两个部分，初等的部分相当于稍微严格的微积分，还可以把初步的微分方程与曲线曲面理论放入其中，重在对具体问题的解决与计算技术的熟练化（以后就用不着再害怕计算了）。

我想，在彻底严格化之前先做一番计算练习，这应该是非常有趣的。

等有了这样的微积分基础之后，同时严格抽象的思想也已经从代数学中建立起来，这是就可以把它们汇合起来，向分析的主干挺进。

此时的自由度也相应提高，再介绍一点初等拓扑、范数内积、Lebesgue积分、外微分什么的也都是不错的课题，对多变量的情形也可以用向量来统一处理，甚至还可以把关于复函数的初步理论吸收进来。

然后看代数，高等仿佛没有什么后续课程的支持，矩阵论似乎往往与近似计算结合起来，从而更侧重应用。

所以如果说到基础的话，无无疑应该是抽象代数才对。

如果四年学下来，就大致了解一些群、环、域，没看到后面更加精彩的内容，恐怕就非常可惜了。

我认为为高等代数应该被吸收到抽象代数里，数学专业的代数学一开始就应该讲群，让学生看到数学结构是怎样抽象出来的，也能熟悉如何在抽象的基础上分析问题。

这里选代数作为培养抽象思想的突破口是因为它比较纯洁