学年高中数学 232 平面与平面垂直的判定能力强化提升 新人教A版必修2docWord格式文档下载.docx
《学年高中数学 232 平面与平面垂直的判定能力强化提升 新人教A版必修2docWord格式文档下载.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《学年高中数学 232 平面与平面垂直的判定能力强化提升 新人教A版必修2docWord格式文档下载.docx(12页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
A.0个B.1个
C.2个D.3个
[解析] 仅②正确.
3.正方体ABCD-A1B1C1D1的六个面中,与平面BC1垂直的面的个数是( )
A.1B.2
C.3D.4
[答案] D
[解析] 与平面BC1垂直的面有:
平面AC,平面A1C1,平面AB1,平面CD1.
4.自二面角内任意一点分别向两个面引垂线,则两垂线的夹角与二面角的平面角的关系是( )
A.相等B.互补
C.互余D.无法确定
[解析] 如图,BD、CD为AB、AC所在平面与α、β的交线,则∠BDC为二面角α-l-β的平面角.且∠ABD=∠ACD=90°
,∴∠A+∠BDC=180°
.
5.已知α,β是平面,m、n是直线,给出下列表述:
①若m⊥α,m⊂β,则α⊥β;
②若m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β,则α∥β;
③如果m⊂α,n⊄α,m,n是异面直线,那么n与α相交;
④若α∩β=m,n∥m,且n⊄α,n⊄β,则n∥α且n∥β.
其中表述正确的个数是( )
[解析] ①是平面与平面垂直的判定定理,所以①正确;
②中,m,n不一定是相交直线,不符合两个平面平行的判定定理,所以②不正确;
③中,还可能n∥α,所以③不正确;
④中,由于n∥m,n⊄α,m⊂α,则n∥α,同理n∥β,所以④正确.
6.正方体A1B1C1D1-ABCD中,截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1-BD-A的正切值等于( )
A.
B.
C.
D.
[答案] C
[解析] 设AC、BD交于O,连A1O,∵BD⊥AC,BD⊥AA1,∴BD⊥平面AA1O,∴BD⊥A1O,
∴∠A1OA为二面角的平面角.
tan∠A1OA=
=
,∴选C.
7.在二面角α-l-β中,A∈α,AB⊥平面β于B,BC⊥平面α于C,若AB=6,BC=3,则二面角α-l-β的平面角的大小为( )
A.30°
B.60°
C.30°
或150°
D.60°
或120°
[解析] 如图,∵AB⊥β,∴AB⊥l,∵BC⊥α,∴BC⊥l,∴l⊥平面ABC,
设平面ABC∩l=D,
则∠ADB为二面角α-l-β的平面角或补角,
∵AB=6,BC=3,
∴∠BAC=30°
,∴∠ADB=60°
,
∴二面角大小为60°
8.四边形ABCD是正方形,以BD为棱把它折成直二面角A-BD-C,E为CD的中点,则∠AED的大小为( )
A.45°
B.30°
C.60°
D.90°
[解析] 设BD中点为F,则AF⊥BD,CF⊥BD,
∴∠AFC=90°
,∴AF⊥面BCD.
∵E、F分别为CD、BD的中点,
∴EF∥BC,
∵BC⊥CD,∴CD⊥EF,
又AF⊥CD,∴CD⊥平面AEF,∴CD⊥AE.故选D.
二、填空题
9.下列四个命题中,正确的命题为________(填序号).
①α∥β,β⊥γ,则α⊥γ
②α∥β,β∥γ,则α∥γ
③α⊥β,γ⊥β,则α⊥γ
④α⊥β,γ⊥β,则α∥γ
[答案] ①②
10.在三棱锥P-ABC中,已知PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,如右图所示,则在三棱锥P-ABC的四个面中,互相垂直的面有________对.
[答案] 3
[解析] ∵PA⊥PB,PA⊥PC,PB∩PC=P,
∴PA⊥平面PBC,
∵PA⊂平面PAB,PA⊂平面PAC,
∴平面PAB⊥平面PBC,平面PAC⊥平面PBC.同理可证:
平面PAB⊥平面PAC.
11.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,BC=2,AA1=1,E,F分别在AD和BC上,且EF∥AB,若二面角C1-EF-C等于45°
,则BF=________.
[答案] 1
[解析] ∵AB⊥平面BC1,C1F⊂平面BC1,CF⊂平面BC1,∴AB⊥C1F,AB⊥CF,又EF∥AB,
∴C1F⊥EF,CF⊥EF,
∴∠C1FC是二面角C1-EF-C的平面角,
∴∠C1FC=45°
∴△FCC1是等腰直角三角形,
∴CF=CC1=AA1=1.
又BC=2,∴BF=BC-CF=2-1=1.
12.如图,四边形ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD,且PA=AB=a.
(1)二面角A-PD-C的度数为________;
(2)二面角B-PA-D的度数为________;
(3)二面角B-PA-C的度数为________;
(4)二面角B-PC-D的度数为________.
[答案] 90°
;
90°
45°
120°
[解析]
(1)PA⊥平面ABCD,∴PA⊥CD.
又四边形ABCD为正方形,∴CD⊥AD,∴CD⊥平面PAD,
又CD⊂平面PCD,∴平面PAD⊥平面PCD,
∴二面角A-PD-C为90°
(2)∵PA⊥平面ABCD,∴AB⊥PA,AD⊥PA,
∴∠BAD为二面角B-AP-D的平面角.
又∠BAD=90°
,∴二面角B-AP-D为90°
(3)PA⊥平面ABCD,∴AB⊥PA,AC⊥PA,
∴∠BAC为二面角B-PA-C的平面角,
又四边形ABCD为正方形,∴∠BAC=45°
即二面角B-PA-C为45°
(4)作BE⊥PC于E,连DE,
则由△PBC≌△PDC知∠BPE=∠DPE,
从而△PBE≌△PDE,
∴∠DEP=∠BEP=90°
,且BE=DE,
∴∠BED为二面角B-PC-D的平面角.
∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BC,又AB⊥BC,
∴BC⊥平面PAB,∴BC⊥PB,
∴BE=
a,BD=
a,
∴取BD中点O,则sin∠BEO=
∴∠BEO=60°
,∴∠BED=120°
∴二面角B-PC-D的度数为120°
三、解答题
13.(2012·
江西卷)如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,E,F是线段AB上的两点,且DE⊥AB,CF⊥AB,AB=12,AD=5,BC=4
,DE=4.现将△ADE,△CFB分别沿DE,CF折起,使A,B两点重合与点G,得到多面体CDEFG.
(1)求证:
平面DEG⊥平面CFG;
(2)求多面体CDEFG的体积.
[解析]
(1)由已知可得AE=3,BF=4,则折叠完后EG=3,GF=4,又因为EF=5,所以可得EG⊥GF,又因为CF⊥底面EGF,可得CF⊥EG,即EG⊥面CFG所以平面DEG⊥平面CFG.
(2)过G作GO垂直于EF,GO即为四棱锥G-EFCD的高,所以所求体积为
S矩DECF·
GO=
×
5×
4×
=16.
14.在如下图所示的四面体ABCD中,AB,BC,CD两两互相垂直,且BC=CD.
平面ACD⊥平面ABC;
(2)求二面角C-AB-D的大小.
[分析]
(1)转化为证明CD⊥平面ABC;
(2)∠CBD是二面角C-AB-D的平面角.
[解析]
(1)证明:
∵CD⊥AB,CD⊥BC,AB∩BC=B,
∴CD⊥平面ABC.
又∵CD⊂平面ACD,∴平面ACD⊥平面ABC.
(2)∵AB⊥BC,AB⊥CD,且BC∩CD=C,
∴AB⊥平面BCD.∴AB⊥BD.
∴∠CBD是二面角C-AB-D的平面角.
∵在Rt△BCD中,BC=CD,∴∠CBD=45°
∴二面角C-AB-D的大小为45°
15.已知PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为矩形,PA=AD,M、N分别是AB、PC的中点,求证:
(1)MN∥平面PAD;
(2)平面PMC⊥平面PDC.
[解析]
(1)取PD的中点Q,连接AQ、QN,
∵PN=NC,∴QN綊
DC.
∵四边形ABCD为矩形,
∴QN綊AM,
∴MN∥AQ,
又∵AQ⊂平面PAD,MN⊄平面PAD,
∴MN∥平面PAD.
(2)∵PA⊥平面ABCD,∴∠PAD=90°
∴△PAD为等腰直角三角形,
∵Q为PD中点,∴AQ⊥PD,
∵CD⊥AD,CD⊥PA,∴CD⊥平面PAD,
∵AQ⊂平面PAD,∴CD⊥AQ,∴AQ⊥平面PDC
由
(1)MN∥AQ,∴MN⊥平面PDC,
又∵MN⊂平面PMC,∴平面PMC⊥平面PDC.
16.如图所示,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形,∠BCD=60°
,E是CD的中点,PA⊥底面ABCD,PA=
(1)证明:
平面PBE⊥平面PAB;
(2)求二面角A-BE-P的大小.
如图所示,连接BD,由ABCD是菱形且∠BCD=60°
知,△BCD是等边三角形.
因为E是CD的中点,所以BE⊥CD,
又AB∥CD,所以BE⊥AB,
又因为PA⊥平面ABCD,BE⊂平面ABCD,所以PA⊥BE.
而PA∩AB=A,因此BE⊥平面PAB.
又BE⊂平面PBE,所以平面PBE⊥平面PAB.
(2)由
(1)知,BE⊥平面PAB,PB⊂平面PAB,所以PB⊥BE.又AB⊥BE,所以∠PBA是二面角A-BE-P的平面角.
在Rt△PAB中,tan∠PBA=
,∠PBA=60°
故二面角A-BE-P的大小是60°