因式分解专题复习及讲解很详细Word文档格式.docx
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（一）分组后能直接提公因式
例1、分解因式：
分析：
从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
原式=
=
每组之间还有公因式！
例2、分解因式：
解法一：
第一、二项为一组；
解法二：
第一、四项为一组；
第三、四项为一组。
第二、三项为一组。
原式=
练习：
分解因式1、
2、
（二）分组后能直接运用公式
例3、分解因式：
若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。
解：
例4、分解因式：
分解因式3、
4、
综合练习：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
（11）
（12）
四、十字相乘法.
（一）二次项系数为1的二次三项式
直接利用公式——
进行分解。
特点：
（1）二次项系数是1；
（2）常数项是两个数的乘积；
（3）一次项系数是常数项的两因数的和。
思考：
十字相乘有什么基本规律？
例.已知0＜
≤5，且
为整数，若
能用十字相乘法分解因式，求符合条件的
.
解析：
凡是能十字相乘的二次三项式ax2+bx+c，都要求
>
0而且是一个完全平方数。
于是
为完全平方数，
例5、分解因式：
将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。
由于6=2×
3=（-2）×
（-3）=1×
6=（-1）×
（-6），从中可以发现只有2×
3的分解适合，即2+3=5。
12
=
13
1×
2+1×
3=5
用此方法进行分解的关键：
将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。
例6、分解因式：
1-1
1-6
（-1）+（-6）=-7
练习5、分解因式
（1）
（3）
练习6、分解因式
（1）
（二）二次项系数不为1的二次三项式——
条件：
（2）
分解结果：
例7、分解因式：
1-2
3-5
（-6）+（-5）=-11
练习7、分解因式：
（三）二次项系数为1的齐次多项式
例8、分解因式：
将
看成常数，把原多项式看成关于
的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。
18b
1-16b
8b+（-16b）=-8b
练习8、分解因式
（1）
（四）二次项系数不为1的齐次多项式
例9、
例10、
1-2y把
看作一个整体1-1
2-3y1-2
（-3y）+（-4y）=-7y（-1）+（-2）=-3
练习9、分解因式：
综合练习10、
（1）
（8）
（10）
分解因式：
五、换元法。
例13、分解因式
（1）
（1）设2005=
，则原式=
（2）型如
的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。
设
，则
∴原式=
练习13、分解因式
（1）
例14、分解因式
（1）
观察：
此多项式的特点——是关于
的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称”。
这种多项式属于“等距离多项式”。
方法：
提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。
设
∴原式=
练习14、
（1）
六、添项、拆项、配方法。
例15、分解因式
（1）
解法1——拆项。
解法2——添项。
原式=
=
=
练习15、分解因式
（2）
（4）
七、待定系数法。
例16、分解因式
原式的前3项
可以分为
，则原多项式必定可分为
∵
∴
对比左右两边相同项的系数可得
，解得
例17、
（1）当
为何值时，多项式
能分解因式，并分解此多项式。
（2）如果
有两个因式为
和
，求
的值。
（1）分析：
前两项可以分解为
，故此多项式分解的形式必为
则
比较对应的系数可得：
，解得：
或
∴当
时，原多项式可以分解；
当
时，原式=
；
（2）分析：
是一个三次式，所以它应该分成三个一次式相乘，因此第三个因式必为形如
的一次二项式。
则
解得
=21
练习17、
（1）分解因式
（2）分解因式
（3）已知：
能分解成两个一次因式之积，求常数
并且分解因式。
（4）
为何值时，
能分解成两个一次因式的乘积，并分解此多项式。
第二部分：
习题大全
经典一：
一、填空题
1.把一个多项式化成几个整式的_______的形式，叫做把这个多项式分解因式。
2分解因式：
m3-4m=.
3.分解因式：
x2-4y2=_______.
4、分解因式：
=_________________。
5.将xn-yn分解因式的结果为（x2+y2）（x+y）（x-y），则n的值为.
6、若
=_________，
=__________。
二、选择题
7、多项式
的公因式是（）
A、
B、
C、
D、
8、下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（）
C、
10.下列多项式能分解因式的是（）
（A）x2-y（B）x2+1（C）x2+y+y2（D）x2-4x+4
11．把（x－y）2－（y－x）分解因式为（）
A．（x－y）（x－y－1）B．（y－x）（x－y－1）
C．（y－x）（y－x－1）D．（y－x）（y－x＋1）
12．下列各个分解因式中正确的是（）
A．10ab2c＋6ac2＋2ac＝2ac（5b2＋3c）
B．（a－b）2－（b－a）2＝（a－b）2（a－b＋1）
C．x（b＋c－a）－y（a－b－c）－a＋b－c＝（b＋c－a）（x＋y－1）
D．（a－2b）（3a＋b）－5（2b－a）2＝（a－2b）（11b－2a）
13.若k-12xy+9x2是一个完全平方式，那么k应为（）
A.2B.4C.2y2D.4y2
三、把下列各式分解因式：
14、
15、
16、
17、
18、
19、
五、解答题
20、如图，在一块边长
=6.67cm的正方形纸片中，挖去一个边长
=3.33cm的正方形。
求纸片剩余部分的面积。
21、如图，某环保工程需要一种空心混凝土管道，它的规格是径
，外径
长
。
利用分解因式计算浇制一节这样的管道需要多少立方米的混凝土？
（
取3.14，结果保留2位有效数字）
22、观察下列等式的规律，并根据这种规律写出第（5）个等式。
经典二：
爱特教育
因式分解小结
知识总结归纳
因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要的地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点。
1.因式分解的对象是多项式；
2.因式分解的结果一定是整式乘积的形式；
3.分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；
4.公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；
5.结果如有相同因式，应写成幂的形式；
6.题目中没有指定数的围，一般指在有理数围分解；
7.因式分解的一般步骤是：
（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。
即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；
如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；
（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；
下面我们一起来回顾本章所学的容。
1.通过基本思路达到分解多项式的目的
例1.分解因式
分析：
这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把
分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；
也可把
分别看成一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。
解一：
原式
解二：
2.通过变形达到分解的目的
拆成
，则有
将常数
，则有
3.在证明题中的应用
例：
求证：
多项式
的值一定是非负数
现阶段我们学习了两个非负数，它们是完全平方数、绝对值。
本题要证明这个多项式是非负数，需要变形成完全平方数。
证明：
4.因式分解中的转化思想
例：
本题若直接
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