高三数学试题精选高考数学好题速递400题第151200题带答案和解释文档格式.docx

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解得，且

故的最大值为

好题速递153

（2018湖北理科第9题）已知集合，

，

定义集合，则中元素的个数为

A．77B．49c．45D．30

解因为集合，所以集合中有5个元素（即5个点），即图中圆中的整点，集合中有25个元素（即25个点），即图中正方形中的整点，集合中的元素表示中的点向左、右、上、下方向移动一个单位，即的元素可看作正方形中的整点（除去四个顶点），即个

好题速递154

（2018浙江理科第7题）存在函数满足，对任意都有（）

AB

cD

解对A选项，取，可知，再取，可知，矛盾

对B选项，取，可知，再取，可知，矛盾

对c选项，取，可知，再取，可知，矛盾

对D选项，令，所以，符合题意，故选D

本题与浙江科第8题异曲同工，都是考查函数概念的问题。

（2018浙江科第8题）设实数满足，则（）

A．若确定，则唯一确定B．若确定，则唯一确定

c．若确定，则唯一确定D．若确定，则唯一确定

解因为，所以，所以，故当确定时，确定，所以唯一确定，故选B。

好题速递155

（2018广东理科第8题）若空间中有个不同的点两两距离都相等，则正整数的取值

A．至多等于3B．至多等于4c．至多等于5D．可以大于5

解析显然正四面体的四个顶点之间的距离两两相等，因此至少有4个点．下面证明不会大于4．若已有正四面体，则第5个点与其中三点也可以构成正四面体，相当于两个正四面体共底面，但正四面体边长，故不可能存在第5个点．

好题速递156

（2018全国科第16题）已知是双曲线的右焦点，是左支上一点，，当周长最小时，该三角形的面积为．

解设双曲线的左焦点为，由双曲线定义知

所以周长为

由于是定值，要使周长最小，则最小，即三点共线

因为，，所以直线的方程为

代入整理得，解得或（舍去）

所以

好题速递157

（2018全国理科第16题）在平面四边形中，，，则的取值范围是．

解如图所示，延长BA，cD交于E，平移AD，当A与D重合于E点时，AB最长，在中，，，，

由正弦定理可得，即，解得，

平移AD，当D与c重合时，AB最短，此时与AB交于F，在中，，，

由正弦定理知，，即，解得

所以AB的取值范围为

好题速递158

（2018天津理科第8题）已知函数，函数，其中，若函数恰有4个零点，则的取值范围是

（A）（B）（c）（D）

解由得，

所以，

所以恰有4个零点等价于方程

有4个不同的解，即函数与函数的图象的4个共点，由图象可知

（2018天津科第8题）已知函数，函数，则函数的零点的个数为．

解当时，，此时方程的小于0的零点为

当时，，方程无零点

当时，，

方程有一个大于2的根

故共有2个零点．

好题速递159

（2018上海理科第13题）已知函数，若存在满足，且（），则的最小值为．

解因为对任意和任意都有

由知

但当时，必须使

则依次取，不合题意

当时，依次取可满足题意，所以的最小值为8

好题速递160

（2018江苏第13题）已知函数，，则方程的实根个数为．

解

作出函数与的图象，观察共有4个交点。

好题速递161

（2018湖北理科第8题）将离心率为的双曲线的实半轴长和虚半轴长同时增加个单位长度，得到离心率为的双曲线，则

A．对任意的，B．当时，；

当时，

c．对任意的，D．当时，；

解不妨设双曲线的焦点在轴上，即其方程为，

双曲线

，

所以，即

故选D

评注这是糖水不等式的应用。

好题速递162

（2018上海理科第14题）在锐角中，，为边上的点，与的面积分别为2和4，过分别作于，于，则．

解如图，由得①

由得②

由得

而，得③

由①②③可得，

好题速递163

（2018上海科第13题）已知平面向量满足，且，则的最大值是．

解，当且仅当同向时取等号。

当分别为1，2，3时，分别为

故

好题速递164

函数模块1．设二次函数，已知对于任意，恒有和成立，则．

解在中令，可产生

因为且恒成立，所以

从而，所以，即，得

好题速递165

函数模块2．已知定义在上的函数满足，且，，则方程在区间上的所有实根之和为．

解由题意知，

函数的周期为2，则与在区间上的图象如右图所示

由上图可知，函数与在区间上的交点为，易知点的横坐标为，若设的横坐标为，则点的横坐标为，所以在区间上的所有实数根之和为

好题速递166

函数模块3．设的定义域为，若满足条存在，使得在上的值域是，则称为“半缩函数”．若函数为“半缩函数”，则的取值范围是．

解为单调递增函数

由已知由，即

变形得，令，进一步转化为与两个函数图象的交点，结合图象，可得

【点评】本题是函数两域一致问题的应用．

好题速递167

函数模块4．已知为正实数，函数，且对任意，都有成立．若对每一个正实数，记的最大值为，则函数的值域是．

解作出的图象，由图象可知

当，即时，，即

当，即时，，且

解得（舍去）或，即

所以，故的值域是

【点评】这里“对任意，都有恒成立”与“当时，的值域为”是不一样的．一个是恒成立问题，一个是值域问题，注意区分．

好题速递168

函数模块5．已知，若关于的方程有4个不同的实数根，且所有实数根之和为2，则的取值范围是．

解构造，显然可知的图象关于对称，与的图象四个横坐标之和应为，故

由此可知，当时满足条．

好题速递169

函数模块6．当且仅当（其中）时，函数的图象在函数的图象下方，则的取值范围是．

解令，

画出图象如图

当直线分别与，相切时，

直线分别与相切时，

结合图象可知，

直线，符合题意

又是方程的两个根；

是方程的两个根

所以，

【点评】这个题目难度很大，不过其中带给我们的启示是将方程的根问题转变为两个能方便画图的函数看交点的问题。

两个函数图象一般是一个定，一个动。

好题速递170

三角模块1．设函数，存在使得和成立，则的取值范围是．

解由可知，即，且

所以，所以

当时，，所以

综上，

三角模块2．设中的内角所对边为，且，则的最大值是．

解由

好题速递171

三角模块3．两点在的边上，，若，且，则的最大值为．

解取中点为，则，

又，所以

【点评】本题是“平行四边形四边平方和等于对角线平方和”性质的应用，它是极化恒等式的对偶式．

已知a，b是两个向量，则（a＋b）2=a2＋2ab＋b2①

（a－b）2=a2－2ab＋b2②

①－②得“极化恒等式”4ab＝（a＋b）2－（a－b）2．

①＋②得“平行四边形对角线性质”2（|a|2＋|b|2）＝（a＋b）2＋（a－b）2．

平行四边形对角线性质式揭示的是平行四边形对角线的平方和等于其四边和的平方．

好题速递172

三角模块4．在中，若，则的最大值为．

解法一胆子大！

，故

当

解法二

因为若，则，均为钝角，不可能，故

好题速递173

三角模块5．在中，，，是角平分线，且，则当取最小值时．

解设，，

由角平分线定理得

再由余弦定理得

当且仅当时，，所以

好题速递174

三角模块6．如图，已知正边长为，点为外接圆的劣弧上一点，记与的面积分别为，则的最大值为．

解法一设，则

在中，由余弦定理得

即①

即②

①—②得

解法二设，则

在中，，，

由正弦定理得

于是

后续同解法一．

解法三如图建系，有，，，于是圆方程为

直线的方程为，直线的方程为，

设

记，

故当时，

好题速递175

不等式模块1．已知为正实数，则的最大值为．

当且仅当时取得等号．

评注齐次化的应用

好题速递176

不等式模块2．设实数满足，则的取值范围是．

当同号时，

当异号时，

评注齐次化的应用，因为齐次的启发，才有这一步。

好题速递177

不等式模块3．已知为正实数，且，则的最小值为．

解法一

解法二令，，则题目变为

若，则

评注换元法有助于简化问题，看穿本质。

好题速递178

不等式模块4．设正实数满足，则实数的最小值为．

将其视为关于的一元二次方程有正根，

解法二，解得

好题速递179

不等式模块5．已知实数满足，则的最大值为．

解画出可行域，为可行域内任意一点，目标函数理解为长方形的面积，当取最大值时，点必在线段上，即

又因为，即

点评本题和今年四川高考第9题异曲同工，要形成不等式就是可行域的观点，解题的思路会更开阔。

（2018四川第9题）如果函数在区间上单调递减，则的最大值为（）

A．16B．18c．25D．

解画出可行域或或

（或用导数对恒成立，即）

令，则，当函数与可行域相交变化中，看的变化可得，当与相切时，取得最大值，则两式联立，解得

好题速递180

不等式模块6．已知，若，，且，则实数的取值范围是．

解因为，，

故，，

在直角坐标系中，作出可行域，得

由得，解得

好题速递181

不等式模块7．设，若关于的不等式的解集中的整数解恰有3个，则的取值范围是．

若要使不等式恰有三个整数解，必有，所以解集为

又，所以，所以

所以满足，画出可行域，可知

好题速递182

不