正定二次型的性质及应用Word格式文档下载.docx

正定二次型的性质及应用Word格式文档下载.docx

《正定二次型的性质及应用Word格式文档下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《正定二次型的性质及应用Word格式文档下载.docx（28页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

定义2实对称矩阵

称为正定的，如果二次型

正定.

2正定二次型的性质

性质1实二次型

=

是正定的当且仅当

证明必要性.因为

是正定的，所以对于任意的一组不全为零的实数

.于是取一组不全为零的实数：

（这里第

个为1，其余

个为0），有

充分性显然.

性质2

元实二次型

是正定的充要条件是它的正惯性指数等于n.

证明设二次型

经过非退化实线性替换变成标准型

.

（1）

上面的讨论表明，

正定当且仅当

（1）是正定的，而我们知道，二次型（4）是正定的当且仅当

，即正惯性指数为

性质3正定二次型

的规范形为

，

正定二次型的规范性矩阵为单位矩阵

，所以一个实对称矩阵是正定的当且仅当它与单位矩阵合同.

性质4实二次型.

，正定的必要条件为

证明有实二次型知

是一正定矩阵，因为

与单位矩阵合同，所以有可逆矩阵

使

两边取行列式，就有

性质5实二次型

为正定的充分必要条件是

的特征值都是正数.

性质6若

是正定矩阵，则

也是正定矩阵.

证明如果

正定，则由性质2知

，因而

可逆，且其存在可逆矩阵

使

，将等式两边取逆有

，令

，于是

，所以

性质7若

是正定矩阵，则对任意的实数

证明因为

正定，所以对任意

维实向量

，都有

，若

，则

，故

为正定矩阵.

性质8若

的伴随矩阵

正定，因而

，且有性质四知

也正定，而

，又由性质5知

为正定矩阵

性质9正定矩阵只能与正定矩阵合同.

证明若

正定，则

与单位矩阵

合同，若

也正定，则

也与

合同，即

、

都与单位矩阵

合同，故

合同.

反之，若

合同，且

正定，即

合同，所以

也为正定的.

综上，结论成立.

性质10若

为正定矩阵，则

也为正定矩阵.

为正定矩阵，故

为正定二次型，于是

也必为正定二次型，故

性质11若

是正定矩阵，则对任意的正数

正定，那么

当

时，

为实可逆矩阵，所以

正定；

与

合同，有性质7知

所以无论哪种情况，

都正定.

性质12实二次型

矩阵

的主对角线上的元素都大于零.

是正定矩阵，于是对任何

，

恒有

其中

为

的元素，令

（

行）

那么

证毕.

性质13实二次型

是正定的充分必要条件为矩阵

的顺序主子式全大于零.

证明先证必要性.设二次型

是正定的.对于每个

我们来证

是一个

元的正定二次型.对于任意一组不全为零的实数

，有

因此

是正定的.由性质4，

的矩阵行列式

这就证明了矩阵

的顺序主子式大于零.

再证充分性.对

作数学归纳法.

由条件

显然有

是正定的.

假设充分性的判断对于

元二次型已经成立，现在来证

元的情形.

令

于是矩阵

可以分块写成

既然

的顺序主子式全大于零，当然

的顺序主子式也全大于零.由归纳法假定，

是正定矩阵，换句话说，有可逆的

级矩阵

这里

代表

级单位矩阵.令

于是

再令

有

就有

两边取行列式，

有条件，

，因此

.显然

这就是说，矩阵

与单位矩阵合同，因之，

是正定矩阵，或者说，二次型

根据归纳法原理，充分性得证.

3正定二次型的应用

3.1正定二次型在解决极值问题中的应用

定理1设

元实函数

在点

的一个邻域中连续，且有足够高阶的连续偏导数，则函数

近旁有性质：

1）若

为极小点；

2）若

负定，则

为极大点；

3）若

不定，则

非极大或极小点；

4）其余情形时，

在

性质有待研究余项

的性质来确定.

特别当

是二次函数时，

=0只要

半正（负）定，则

为极小（大）点.

例1求函数

的极值.

解

，

解方程组

，易得

，（符号任意搭配），

，经计算得

负定；

不定.故，在

不取极值；

点，

取极小值，

；

取极大值，

3.2正定二次型在分块矩阵中的应用.

例2设

分别是

阶正定矩阵，试判定分块矩阵

是否为正定矩阵.

解可证

是正定矩阵.

因为

都是实对称矩阵，从而

也是实对称矩阵且任意的

其中，

，且至少有一个是非零向量，于是

故

3.3正定二次型在解决多项式根的有关问题中的应用

例3设

次实系数多项式

的根为

证明易证

这里

必要性设

是

个互异实根，因为

是范德蒙行列式，所以

，即

是非奇异的.又因为

所以

充分性设

是正定的，所以

，那么

互异.

若

中有非实数，例如

的共轭数

也是

的根不妨设

.因为

是非奇异的.所以线性方程组

（2）

有唯一解

是正定的，所以，作为二次型的

是正定的,由

（2）式有

这与

是正定即

是正定的矛盾，所以

中不能有非实数的复数，所以

个根为互异的实根.

3.4正定二次型在解决二次曲线和二次曲面方程中的应用

例4利用直角坐标变换化简如下二次曲面方程.

作平移代换,

则有

即

又因为

所以

适当选取

，使

，由秩

知：

（线性方程组）

有唯一解：

由

，又因为

是可逆实对称阵，所以存在正交阵

使得

的特征根.作正交线形替换

则

即，原方程可以化简为

3.5正定二次型在线形最小二乘法问题的解中的应用

众所周知线形方程组

即任意一组

都可能使

不等于零，我们设法找

最小，这样

称为方程组的最小解，这种问题就叫最小二乘法问题.

若记

为上述线性方程组的系数矩阵，

，于是使得

值最小的

一定是方程组

的解，而其系数矩阵

是一个正定矩阵，它的惯性指数等于

，因此这个线性方程组是有解的，这个解就是最小二乘解.

3.6正定二次型在欧氏空间中的应用（欧氏空间的内积与正定矩阵）

定理设

上的欧氏空间，那么

的内积与

阶正定矩阵是一一对应的.

3.7正定二次型在解线性方程组中的应用.

例5

（1）用矩阵给出平面上

个点

共线的充分必要条件

（2）设

阶满秩矩阵，试证，

是一个正定二次型，这里

解

（1）设直线

个点共线是指线性方程组（把

看成未知量）

有解，所以

共线

所以方程组有解

阶满秩矩阵，令

其中

是非退化现行替换，且

由此可以看出，此二次型的正惯性指数与秩都等于

是正定二次型.

3.8正定二次型在物理力学问题中的应用.

因为在物理力学问题中经常需要同时将两个二次型转化为标准型来实现，这事应用中很重要的一个问题.

命题设

阶正定矩阵，

阶实对矩阵，则存在

阶可逆矩阵

，使得

为对角阵.

是正定矩阵，所以存在

显然

仍为实对称矩阵，所以存在

阶正交矩阵

取

，则有

另外正定二次型在研究系统的稳定性、广义重积分、物理学电阻器功率的消耗等方面都有广泛的应用.

结束语

以上内容是对正定二次型的研究，归纳之后总结出来的，对正定二次型，本文给出2个定义，13个性质并证明，在例题的形式下，运用这些定义跟性质阐述了正定二次型在不同方面的7种应用，可见其应用广泛，我认为对正定二次型的总结是很必要的.当然，本文只列举了正定二次型的部分应用.

参考文献：

[1]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数（第三版）[M].北京：

高等教育出版社，2003.

[2]郭聿琦.岑嘉评.徐贵桐.线性代数导引[M].北京：

科学出版社，2001.

[3]杨子胥.高等代数习题解（上下册）[M].济南：

山东科学技术出版社.

[4]张禾瑞.郝鈵新.高等代数（第三版）[M].北京：

高等教育出版社，1984.

[5]杨子胥.高等代数精选题解[M].北京：

高等教育出版社，2009.

[5]高