高三数学一轮专题复习解三角形 专项练习解析版Word格式.docx

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∴解得AC＝3，或﹣7（舍去），

∴S△ABCAC•BC•sinC3．

A．

3．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bsinAacosB＝2bc，则A＝（　　）

A．B．C．D．

∵bsinAacosB＝2bc，

∴由正弦定理可得：

sinBsinAsinAcosB＝2sinBsinC，

∴sinBsinAsinAcosB＝2sinBsinC＝2sinB（sinAcosB+cosAsinB），

∴sinBsinA＝2sinBcosAsinB，

又∵sinB≠0，

∴sinAcosA＝2，

∴2sin（A）＝2，可得A2kπ，k∈Z，

又A∈（0，π），

∴A．

C．

4．设a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边．已知cosC，bsinC＝5csinA，则（　　）

A．5B．C．3D．

∵bsinC＝5csinA，

∴由正弦定理可得bc＝5ca，即b＝5a，

∵cosC，

∴由余弦定理可得：

c2＝a2+25a2﹣2a•5a•18a2，

∴解得3．

5．秦九韶是我国南宋时期的数学家，他的成就代表了中世纪世界数学发展的主流与最高水平．他在著作（数书九章）中叙述了已知三角形的三条边长a，b，c，求三角形面积的方法．其求法是：

“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即为．已知△ABC的三条边长为a＝5，b＝7，c＝8，其面积为（　　）

A．10B．12C．D．

将a＝5，b＝7，c＝8代入中，得：

10．

6．在△ABC中，BC＝1，ccosA+acosC＝2bcosB，△ABC的面积S，则AC等于（　　）

A．B．4C．3D．

2bcosB＝ccosA+acosC，

由正弦定理，得2sinBcosB＝sinCcosA+sinAcosC，

∴2sinBcosB＝sinB，

又sinB≠0，∴cosB，

∴B．

∵△ABC的面积SAB•BC•sinBAB×

1，解得：

AB＝4，

∴AC．

7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且BC边上的高为，则最大值为（　　）

A．2B．C．2D．4

由已知可得：

a，可得2bcsinA＝a2＝b2+c2﹣2bccosA，

∴2sinA+2cosA＝2sin2，当且仅当A时取等号．

8．在锐角△ABC中，若，且sinC+cosC＝2，则a+b的取值范围是（　　）

A．（6，2]B．（0，4]C．（2，4]D．（6，4]

由sinC+cosC＝2sin（C）＝2，得C2kπ，k∈Z，

∵C∈（0，），∴C．

由正弦定理知，，

由余弦定理知，cosA，

∵，∴，化简整理得，b（c）＝0，

∵b≠0，∴c，

由正弦定理，有4，∴a＝4sinA，b＝4sinB，

∵锐角△ABC，且C，∴A∈（0，），B∈（0，），解得A∈（，），

∴a+b＝4（sinA+sinB）＝4[sinA+sin（）]＝4（sinAcosAsinA）＝4sin（A），

∵A∈（，），∴A∈（，），sin（A）∈（，1]，

∴a+b的取值范围为（6，4]．

二．多选题（共4小题）

9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，下列说法正确的有（　　）

A．a：

b：

c＝sinA：

sinB：

sinCB．若sin2A＝sin2B，则a＝b

C．若sinA＞sinB，则A＞BD．

对于A，由正弦定理，可得：

a：

c＝2RsinA：

2RsinB：

2RsinC＝sinA：

sinC，故正确；

对于B，由sin2A＝sin2B，可得A＝B，或2A+2B＝π，即A＝B，或A+B，∴a＝b，或a2+b2＝c2，故B错误；

对于C，在△ABC中，由正弦定理可得sinA＞sinB⇔a＞b⇔A＞B，因此A＞B是sinA＞sinB的充要条件，正确；

对于D，由正弦定理，可得右边2R＝左边，故正确．

ACD．

10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（a+b）：

（a+c）：

（b+c）＝9：

10：

11，则下

列结论正确的是（　　）

A．sinA：

sinC＝4：

5：

6

B．△ABC是钝角三角形

C．△ABC的最大内角是最小内角的2倍

D．若c＝6，则△ABC外接圆半径为

（a+b）：

11，可设a+b＝9t，a+c＝10t，b+c＝11t，

解得a＝4t，b＝5t，c＝6t，t＞0，

可得sinA：

sinC＝a：

c＝4：

6，故A正确；

由c为最大边，可得cosC0，即C为锐角，故B错误；

由cosA，由cos2A＝2cos2A﹣1＝21cosC，

由2A，C∈（0，π），可得2A＝C，故C正确；

若c＝6，可得2R，△ABC外接圆半径为，故D正确．

11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，下列四个命题中正确的是（　　）

A．△ABC为直角三角形

B．△ABC的面积为

C．

D．△ABC的周长为

由正弦定理可得2，即b＝2c，

因为A＝2C，所以sinA＝sin2C＝2sinCcosC，

所以由正弦定理可得a＝2ccosC，

由余弦定理可得a＝2c•，可得2＝2c•，

解得c2，可得c或（舍去），

所以b＝2c，

对于A，因为a＝2，b，c，

所以b2＝a2+c2，可得B＝90°

，△ABC为直角三角形，故正确；

对于B，因为B＝90°

，

所以S△ABCac2，故正确；

对于C，因为B＝90°

所以C为锐角，可得cosC＞0，故错误；

对于D，△ABC的周长为a+b+c＝2，故正确．

ABD．

12．在△ABC中，，角B的平分线BD交AC于点D，且BD＝3，则下列说法正确的是（　　）

A．若BC＝6，则△ABC的面积为

B．若，

C．若BC＝3BD，则

D．AB+BC的最小值为

因为BD为B的平分线，B，

所以∠ABD＝∠CBD，

对于A：

若BC＝6，在△BCD中，由余弦定理得：

CD2＝BD2+BC2﹣2BD•BC•cos9+36﹣18＝27，

∴CD2+BD2＝BC2，

∴BD⊥AC，

∴△ABC为等腰三角形，

∴AB＝BC＝6，

∴S△ABCAB×

BC×

sin9，故A正确；

对于B：

若∠C，在△ABD中，∠A，∠ABD，

由正弦定理得，

∴AD，故B正确；

对于C：

若BC＝3BD，可得BC＝9，

在△BCD中，由余弦定理得：

CD2＝BD2+BC2﹣2BD•BC•cos9+81﹣2×

3×

963，∴CD，

由正弦定理得，∴sinC，

∴sinA＝sin（C），

在△ABC中，由正弦定理得，

∴AC，∴AD，

∴，故C错误；

对于D：

设∠A＝θ，则∠C−θ，∠BDCθ，

因为，所以，

故，

所以AB+BC，

令t，

所以AB+BC．

故AB+BC有最小值8时，为，故D错误．

AB．

三．填空题（共4小题）

13．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则b＝　　．

∵，

∴sinB，sinA，

∴由正弦定理，可得：

b．

故答案为：

．

14．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a＝2，b＝3，C＝2A，则cos2C＝　　．

因为C＝2A，所以B＝π﹣A﹣C＝π﹣3A，

由正弦定理可得，

因为sin3A＝sin（A+2A）＝sinAcos2A+cosAsin2A

＝sinA（1﹣2sin2A）+2cos2AsinA

＝sinA（1﹣2sin2A）+2（1﹣sin2A）sinA

＝3sinA﹣4sin3A，

则，

因为C＝2A∈（0，π），所以A∈（0，）

解得sinA，

故cos2A＝1﹣2sin2A＝1﹣2×

（）2，

则cos2C＝cos4A＝2cos22A﹣1＝21，

15．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a2+b2+ab＝c2，且△ABC的面积为，则ab最小值为　48　．

∵a2+b2+ab＝c2，

∴由余弦定理有，，

∴在△ABC中，，

∵△ABC的面积为，

∴，∴ab＝4c，

∴a2+b2+ab＝c2，

∴，

∴ab≥48，当且仅当a＝b＝4时取等号，

∴ab的最小值为48．

48．

16．如图所示，在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25m的建筑物CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A处测得∠DAC＝15°

，沿山坡前进50m到达B处，又测得∠DBC＝45°

，根据以上数据可得cosθ＝　1　．

∵∠DAC＝15°

，∠DBC＝45°

，∴∠ADB＝30°

在△ADB中，由正弦定理得：

，∴BD25（），

在△DBC中，CD＝25，∠DBC＝45°

，BD＝25（），由正弦定理，∴sin∠DCB，

∴sin（θ），∴cosθ．

四．解答题（共6小题）

17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2（A）+cosA．

（1）求A；

（2）若b﹣ca，证明：

△ABC是直角三角形．

（1）∵cos2（A）+cosA＝sin2A+cosA＝1﹣cos2A+cosA，

∴cos2A﹣cosA0，解得cosA，

∵A∈（0，π），

∴A；

（2）证明：

∵b﹣ca，A，

∴由正弦定理可得sinB﹣sinCsinA，

∴sinB﹣sin（B）＝sinBcosBsinBsinBcosB＝sin（B），

∵B，B∈（，），

∴B，可得B，可得△ABC是直角三角形，得证．

18．已知△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，b＝2，4+c2﹣a2＝﹣2c．

（1）求A的值；

（2）从①a＝2sinB，②B两个条件中选一个作为已知条件，求sinC的值．

（1）由b＝2，4+c2﹣a2＝﹣2c，得：

又因为0＜A＜π，

所以．………（6分）

（2）选择①作为已知条件．

在△ABC中，由，以及正弦定理，

得，解得，

由，得B为锐角，

所以，

因为在△ABC中，A+B+C＝π，所以，所以．………（12分）

选择②作为已知条件，

19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，C＝2B．

（1）求证：

bcosA＝（2b