人教版初中八年级数学上册134 课题学习 最短路径问题导学案Word文档下载推荐.docx

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一、知识链接

1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？

为什么？

2.如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？

3.在我们前面的学习中，还有哪些涉及比较线段大小的基本事实？

（1）三角形的三边关系：

___________________________________；

（2）直角三角形中边的关系：

______________________________.

4.如图，如何作点A关于直线l的对称点？

1、要点探究

实际问题:

如图，牧马人从点A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？

探究点1：

牧人饮马问题

数学问题:

如图，点A、B在直线l的同一侧，在直线l上求作一点C,使AC+BC最短.

想一想：

1.现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短？

2.如果点A,B分别是直线l同侧的两个点，如何将点B“移”到l的另一侧B′处，满足直线l上的任意一点C，都保持CB与CB′的长度相等？

要点归纳：

（1）作点B关于直线l的对称点B′；

（2）连接AB′，与直线l相交于点C．

则点C即为所求．如图所示.

你能用所学的知识证明你所作的点C使AC+BC最短吗？

证明：

要点归纳:

在解决牧人饮马问题时，通常利用轴对称，把未知问题转化为已解决的问题，从而做出最短路径的选择.

典例精析

例1：

如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的

中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为（　　）

A．7.5B．5C．4D．不能确定

方法总结：

此类求线段和的最小值问题，找准对称点是关键，而后将求线段长的和转化为求某一线段的长，而再根据已知条件求解.

例2：

如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，4）和

（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一

条直线上，当△ABC的周长最小时点C的坐标是（　　）

A．（0，3）B．（0，2）

C．（0，1）D．（0，0）

求三角形周长的最小值，先确定动点所在的直线和固定点，而后作某一固定点关于动点所在直线的对称点，而后将其与另一固定点连线，连线与动点所在直线的交点即为三角形周长最小时动点的位置.

探究点2：

造桥选址问题

实际问题：

如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直

）？

数学问题：

如图，假定任选位置造桥MN，连接AM和BN，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况下最短呢？

我们能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢？

什么图形变换能帮助我们呢？

画一画：

（1）把A平移到岸边.

（2）把B平移到岸边.

（3）把桥平移到和A相连.（4）把桥平移到和B相连.

比一比：

（1）

（2）（3）（4）中，哪种作法使得AM+MN+BN最短？

如图，平移A到A1，使AA1等于河宽，连接A1B交河岸于N作桥MN，此时路径AM+MN+BN最短.

另任作桥M1N1，连接AM1，BN1，A1N1.

针对训练

1.如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的

是（）

2.如图，一个旅游船从大桥AB 

的P 

处前往山脚下的Q 

处接游客，然后将游客送往河岸BC 

上，再返回P 

处，请画出旅游船的最短路径．

3.如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水．

（1）若要使厂址到A，B两村的距离相等，则应选择在哪建厂（要求：

保留作图痕迹，写出必

要的文字说明）?

（2）若要使厂址到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？

二、课堂小结

轴对称+线段公理

最短路径问题

平移

1.如图，直线m同侧有A、B两点，A、A′关于直线m对称，A、B关于直线n对称，直线m与A′B和n分别交于P、Q，下面的说法正确的是（　　）

A．P是m上到A、B距离之和最短的点，Q是m上到A、B距离相等的点

B．Q是m上到A、B距离之和最短的点，P是m上到A、B距离相等的点

C．P、Q都是m上到A、B距离之和最短的点

D．P、Q都是m上到A、B距离相等的点

第1题图第2题图第3题图

2.如图，∠AOB=30°

，∠AOB内有一定点P，且OP=10．若在OA、OB上分别有动点Q、R，则△PQR周长的最小值是（　　）

A．10B．15C．20D．30

3.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离是_____米.

4.如图，边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（3，2），B（1，3）．点P在x轴上，当PA+PB的值最小时，在图中画出点P．

5.如图，荆州古城河在CC′处直角转弯，河宽相同，从A处到B处，须经两座桥：

DD′,EE′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，怎样架桥可使ADD′E′EB的路程最短？

拓展提升

6.

（1）如图1，在AB直线一侧C、D两点，在AB上找一点P，使C、D、P三点组成的三角形的周长最短，找出此点．

（2）如图2，在∠AOB内部有一点P，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、P三点组成的三角形的周长最短，找出E、F两点．

（3）如图3，在∠AOB内部有两点M、N，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、M、N，四点组成的四边形的周长最短，找出E、F两点．