北京市西城区学年高二上学期期末考试数学理试题Word文档格式.docx

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（D）

3．在空间中，给出下列四个命题：

①平行于同一个平面的两条直线互相平行；

②垂直于同一个平面的两个平面互相平行；

③平行于同一条直线的两条直线互相平行；

④垂直于同一条直线的两条直线互相平行．

其中真命题的序号是（）

（A）①

（B）②

（C）③

（D）④

4．实轴长为

，虚轴长为

的双曲线的标准方程是（）

，或

5．“直线

垂直于平面

内无数条直线”是“直线

”的（）

（A）充分而不必要条件

（B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件

（D）既不充分也不必要条件

6.某几何体的三视图如图所示．其中主视图中△

是边长为

的正三角形，俯视图为正六边形，那么该

几何体的左视图的面积为（）

（B）

（D）

7．已知椭圆

的两个焦点分别为

，

，若椭圆上存在点

使得

是钝角，则椭圆离心率的取值范围是（）

8.已知四面体

的侧面展开图如图所示，

则其体积为（）

二、填空题：

本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.

9.命题“

”的否定是_______.

10.已知直线

：

.若

∥

，则实数

_______.

11.已知双曲线

的一个焦点是

，则其渐近线的方程为_______.

12.如图，正方体

中，直线

和

所成角的大小为_______；

直线

和平面

所成角的大小为_______.

13.在空间直角坐标系

中，已知平面

的一个法向量是

，且平面

过点

.若

是平面

上任意一点，则点

的坐标满足的方程是_______.

14.平面内到定点

和定直线

的距离之和等于

的动点的轨迹为曲线

．关于曲线

的几何性质，给出下列三个结论：

①曲线

关于

轴对称；

②若点

在曲线

上，则

；

③若点

.

其中，所有正确结论的序号是_______.

三、解答题：

本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.（本小题满分13分）

如图，四棱锥

的底面

为菱形，

是棱

的中点．

（Ⅰ）求证：

∥平面

（Ⅱ）若

，求证：

平面

．

16.（本小题满分13分）

已知抛物线

的准线方程是

（Ⅰ）求抛物线的方程；

（Ⅱ）设直线

与抛物线相交于

两点，

为坐标原点，证明：

17.（本小题满分13分）

如图，在直三棱柱

中，

，点

在棱

上，且

（Ⅱ）求二面角

的大小.

18.（本小题满分13分）

如图，在直角坐标系

中，已知圆

．点

在圆

上，且关于

轴对称．

（Ⅰ）当点

的横坐标为

时，求

的值；

（Ⅱ）设

为圆

上异于

的任意一点，直线

与

轴分别交于点

，证明：

为定值．

19.（本小题满分14分）

如图1，四棱锥

底面

，底面

是直角梯形，

为侧棱

上一点．该四棱锥的俯视图和左视图如图2所示．

（Ⅱ）求证：

（Ⅲ）线段

上是否存在点

，使

所成角的余弦值为

？

若存在，找到所有符合要求的点

若不存在，说明理由．

20.（本小题满分14分）

如图，已知四边形

是椭圆

的内接平行四边形，且

分别经过椭圆的焦点

（Ⅰ）若直线

的方程为

，求

的长；

（Ⅱ）求平行四边形

面积的最大值.

高二数学（理科）参考答案及评分标准2016.1

本大题共8小题，每小题5分，共40分.

1.A2.B3.C4.D5.B6.C7.B8.D

本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9.

10.

11.

12.

13.

14.①②③

注：

12题第一空2分，第二空3分；

14题少选不给分.

本大题共6小题，共80分.

（Ⅰ）证明：

设

交

于点

，连结

．【1分】

因为底面

为菱形，

所以

为

中点．

因为

是

的中点，

．【4分】

．【5分】

（Ⅱ）证明：

连结

．【6分】

中点．【8分】

．【10分】

．【11分】

所以平面

．【13分】

（Ⅰ）解：

因为抛物线

的准线方程为

，【2分】

，解得

，【4分】

所以抛物线的方程为

.【5分】

将

代入

消去

整理得

.【7分】

.【8分】

由

，两式相乘，得

，【9分】

注意到

异号，所以

.【10分】

所以直线

与直线

的斜率之积为

，【12分】

即

.【13分】

直三棱柱，

所以

又

两两互相垂直.【1分】

如图，以

为原点，建立空间直角坐标系

.【2分】

则

.

由

，得

.【3分】

因为

.【5分】

（Ⅱ）解：

设平面

的一个法向量为

【7分】

取

.【9分】

又平面

，【10分】

因为二面角

的平面角是锐角，

所以二面角

的大小是

.【13分】

因为点

上，横坐标为

不妨设

，由对称性知

．【5分】

，且

．【7分】

．【9分】

在上述方程中分别令

，解得

．

由俯视图可得，

．【1分】

又因为

，【3分】

．【4分】

上一点

由左视图知

，所以

在△

中，易得

，又

，所以

所以四边形

为平行四边形，所以

．【8分】

，

所以直线

（Ⅲ）解：

线段

上存在点

证明如下：

，建立如图所示的空间直角坐标系

，其中

要使

，则有

．【12分】

或

，均适合

故点

位于

点处，或

中点处时，均符合题意．【14分】

解得

两点的坐标为

①当直线

的斜率不存在时，

此时易得

所以平行四边形

的面积为

.【6分】

②当直线

的斜率存在时，设直线

将其代入椭圆方程，整理得

设点

则

.【10分】

连结

则平行四边形

的面积

.【11分】

综上，平行四边形

面积的最大值是

.【14分】