随机信号分析常建平李海林习题答案解析Word格式文档下载.docx
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的分布函数？
③
？
方法一：
联合分布函数
性质：
若任意四个实数
，满足
，则
方法二：
利用
1-13已知随机变量
①求条件概率密度
和
②判断X和Y是否独立？
给出理由。
先求边缘概率密度
、
注意上下限的选取
1-14已知离散型随机变量X的分布律为
3
6
7
0.2
0.1
0.7
①X的分布函数②随机变量
的分布律
1-15已知随机变量X服从标准高斯分布。
①随机变量
的概率密度？
②随机变量
分析:
①
答案:
1-16已知随机变量
相互独立，概率密度分别为
，
求随机变量
设
求反函数，求雅克比J＝－1
1-17已知随机变量
的联合分布律为
①边缘分布律
②条件分布律
分析：
泊松分布
P19（1－48）
即X、Y相互独立
1-18已知随机变量
。
又随机变量
证明：
随机变量
的联合概率密度为
因为|J|＝1,故
已知随机变量
1-19已知随机变量X服从拉普拉斯分布，其概率密度为
求其数学期望与方差？
解:
1-20已知随机变量X可能取值为
，且每个值出现的概率均为
①随机变量X的数学期望和方差？
③Y的数学期望和方差？
①③
②
Y
12
27
48
P
1/5
2/5
离散型随机变量的概率密度表达式 P12，1-25式
其中
为冲激函数
1-22已知两个随机变量
的数学期望为
，方差为
，相关系数
现定义新随机变量
为
求
的期望，方差以及它们的相关系数？
0.13
1-23已知随机变量
满足
，
皆为常数。
①
；
③当
且
时，随机变量
正交。
1-25已知随机变量
相互独立，分别服从参数为
的泊松分布。
①求随机变量X的数学期望和方差？
②证明
服从参数为
①泊松分布
特征函数的定义
由
（1-17题用过）可得
②根据特征函数的性质，XY相互独立，
表明Z服从参数为
的泊松分布
1-26已知随机变量
的联合特征函数为
①随机变量X的特征函数②随机变量Y的期望和方差
1-28已知两个独立的随机变量
的特征函数分别是
，求随机变量
特征函数
特征函数的性质：
相互独立随机变量和的特征函数等于它们特征函数之积
X、Y独立，
因此有
独立
独立的等价条件（充分必要条件）
③
1-29已知二维高斯变量
中，高斯变量
的期望分别为
，方差分别为
，相关系数为
令
1写出二维高斯变量
的概率密度和特征函数的矩阵形式，并展开；
2证明
相互独立，皆服从标准高斯分布。
系数矩阵
，线性变换，故
也服从高斯分布
，故
不相关，
高斯变量不相关和独立等价，
1-30已知二维高斯变量
的两个分量相互独立，期望皆为0，方差皆为
其中
为常数。
①证明：
服从二维高斯分布；
②求
的均值和协方差矩阵；
③证明：
相互独立的条件为
复习：
n维高斯变量的性质
1.高斯变量的互不相关与独立是等价的
2.高斯变量的线性变换后仍服从高斯分布。
3.高斯变量的边缘分布仍服从高斯分布
相互独立、二维高斯矢量
因此
互不相关只要证
为对角证
即
1-31已知三维高斯随机矢量
均值为常矢量
，方差阵为
相互独立。
思路：
设随机矢量
由性质可得
为三维高斯变量，求得方差阵
为对角阵
1-32已知三维高斯随机变量
各分量相互独立，皆服从标准高斯分布。
的联合特征函数？
是
线性变换故也服从高斯分布，求得
就可以写出联合特征函数
N维高斯变量的联合特征函数
2、已知随机变量（X,Y）的联合概率密度为
（1）条件概率密度
（2）X和Y是否独立？
解题思路：
（1）
（2）
X和Y不相互独立
4、已知（X1,X2,X3）是三维高斯变量，其期望和方差为
（1）（X1,X2）的边缘特征函数。
（2）（Y1,Y2）的联合概率密度
高斯变量的线性变换后仍服从高斯分布
所以（X1,X2）、
服从高斯分布
（1）
2-1已知随机过程，其中为常数，随机变量服从标准高斯分布。
求三个时刻的一维概率密度？
（离散型随机变量分布律）
2-2如图2.23所示，已知随机过程仅由四条样本函数组成，出现的概率为。
图2.23习题2-2
在和两个时刻的分布律如下：
1263
5421
1/81/43/81/4
求？
2－23
2-4已知随机过程，其中皆为随机变量。
①求随机过程的期望和自相关函数？
②若已知随机变量相互独立，它们的概率密度分别为和，求的一维概率密度
用雅克比做（求随机变量函数的分布）
步骤：
t时刻，为两个随机变量的函数
①设二维的随机矢量
②求反函数
③求雅克比行列式J，得到|J|
④利用公式
⑤由联合概率密度求边缘概率密度
⑥t为变量，则得到
用特征函数定义和性质（独立变量和的特征函数等于各特征函数的乘积）做
（特征函数和概率密度一一对应）
2-5已知为平稳过程，随机变量。
判断随机过程的平稳性？
随机过程非平稳
2-6已知随机过程，其中随机过程宽平稳，表示幅度；
角频率为常数；
随机相位服从的均匀分布，且与过程相互独立。
①求随机过程的期望和自相关函数？
②判断随机过程是否宽平稳？
①与过程相互独立
2-8已知平稳过程的自相关函数为
，
求过程的均方值和方差？
2-10已知过程和，其中随机变量独立，均值都为0，方差都为5。
①证明和各自平稳且联合平稳；
②求两个过程的互相关函数？
2-11已知过程和各自平稳且联合平稳，且。
①求的自相关函数？
②若和独立，求？
③若和独立且均值均为0，求
第①问
两个联合平稳的过程的互相关函数
第②问两平稳过程独立
第③问和独立且均值均为0
2-12已知两个相互独立的平稳过程和的自相关函数为
令随机过程，其中是均值为2，方差为9的随机变量，且与和相互独立。
求过程的均值、方差和自相关函数？
随机变量A，与和相互独立
可以证明过程平稳
2-14已知复随机过程
式中为n个实随机变量，为n个实数。
求当满足什么条件时，复平稳？
复过程复平稳条件
2-16已知平稳过程的均方可导，。
证明的互相关函数和的自相关函数分别为
若为宽平稳（实）过程，则也是宽平稳（实）过程，且与联合宽平稳。
2-17已知随机过程的数学期望，求随机过程的期望？
2-18已知平稳过程的自相关函数。
①其导数的自相关函数和方差？
②和的方差比？
不含周期分量
补充题：
若某个噪声电压是一个各态历经过程，它的一个样本函数为，求该噪声的直流分量、交流平均功率
直流分量、交流平均功率
各态历经过程可以用它的任一个样本函数的时间平均来代替整个过程的统计平均
再利用平稳过程自相关函数的性质
2-19已知随机过程，其中是均值和方
差皆为1的随机变量。
令随机过程
求的均值、自相关函数、协方差函数和方差？
1．求均值，利用
随机过程的积分运算与数学期望运算的次序可以互换
2.求自相关函数
3.求互协方差函数
4.求方差
2-20已知平稳高斯过程的自相关函数为
①②
求当固定时，过程的四个状态
的协方差矩阵？
高斯过程四个状态的
2-21已知平稳高斯过程的均值为0，令随机过程。
证明
2-22已知随机过程，其中随机相位服从上的均匀分布；
可能为常数，也可能为随机变量，且若为随机变量时，和随机变量相互独立。
当具备什么条件时，过程各态历经？
随机过程各态历经要求为平稳过程且
①A为常数时
为平稳过程
A为随机变量时和随机变量相互独立
③
、随机过程X（t）=A+cos（t+B），其中A是均值为2，方差为1的高斯变量，B是（0，2p）上均匀分布的随机变量，且A和B独立。
（1）证明X（t）是平稳过程。
（2）X（t）是各态历经过程吗？
（3）画出该随机过程的一个样本函数。
（2）
3-1已知平稳过程
的功率谱密度为
，求：
该过
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