高考数学二轮复习第二篇熟练规范中档大题保高分第26练概率与统计练习文Word格式.docx

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不够9环的概率为多少？

解　

（1）设中靶为事件A，则不中靶为

，

则由对立事件的概率公式，可得P（

）＝1－P（A）＝1－0.95＝0.05.

（2）设命中10环为事件B，命中9环为事件C，命中8环为事件D，至少命中8环为事件E，由题意知，P（B）＝0.27，P（C）＝0.21，P（D）＝0.24，

则P（E）＝P（B＋C＋D）＝P（B）＋P（C）＋P（D）＝0.27＋0.21＋0.24＝0.72.

记至少命中9环为事件F，

则P（F）＝P（B＋C）＝P（B）＋P（C）＝0.27＋0.21＝0.48.

故不够9环为

则P（

）＝1－P（F）＝1－0.48＝0.52.

2.根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.

（1）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；

（2）求该地1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率.

解　记A表示事件：

该车主购买甲种保险；

B表示事件：

该车主购买乙种保险但不购买甲种保险；

C表示事件：

该车主至少购买甲、乙两种保险中的1种；

D表示事件：

该车主甲、乙两种保险都不购买.

（1）由题意得P（A）＝0.5，P（B）＝0.3，又C＝A∪B，

所以P（C）＝P（A∪B）＝P（A）＋P（B）＝0.5＋0.3＝0.8.

（2）因为D与C是对立事件，所以P（D）＝1－P（C）＝1－0.8＝0.2.

考点二　古典概型与几何概型

（1）古典概型的两个特征：

①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；

②每个基本事件发生的可能性相等.

（2）几何概型将古典概型的有限性推广到无限性，几何概型的测度包括长度、面积、角度、体积等.

3.一个盒子中装有四张卡片，每张卡片上写有一个数字，数字分别是1，2，3，4，现从盒子中随机抽取卡片，每张卡片被抽到的概率相等.

（1）若一次抽取三张卡片，求抽到的三张卡片上的数字之和大于7的概率；

（2）若第一次抽取一张卡片，放回搅匀后再抽取一张卡片，求两次抽取中至少有一次抽到写有数字3的卡片的概率.

解　

（1）设A表示事件“抽到的三张卡片上的数字之和大于7”，

抽取三张卡片，三张卡片上的数字的所有可能的结果是{1，2，3}，{1，2，4}，{1，3，4}，{2，3，4}，其中数字之和大于7的是{1，3，4}，{2，3，4}，所以事件A的概率P（A）＝

＝

.

（2）设B表示事件“两次抽取中至少有一次抽到写有数字3的卡片”，第一次抽一张，放回后再抽取一张卡片的所有可能的情况有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），共16个.

事件B包含的基本事件有（1，3），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，3），共7个.

所以事件B的概率P（B）＝

4.已知A，B两个盒子中分别装有标记为1，2，3，4的大小相同的四个小球，甲从A盒中等可能地取出1个球，乙从B盒中等可能地取出1个球.

（1）用有序数对（i，j）表示事件“甲抽到标号为i的小球，乙抽到标号为j的小球”，试写出所有可能的事件；

（2）甲、乙两人玩游戏，约定规则：

若甲抽到的小球的标号比乙大，则甲胜；

反之，则乙胜.你认为此规则是否公平？

请说明理由.

解　

（1）甲、乙两人抽到的小球的所有情况有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），共16种不同的情况.

（2）甲抽到的小球的标号比乙大，有（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），共6种情况，故甲胜的概率P1＝

，乙获胜的概率为P2＝1－

因为

≠

，所以此游戏不公平.

5.（2017·

山东）某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游.

（1）若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；

（2）若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率.

解　

（1）由题意知，从6个国家中任选2个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，共15个.

所选2个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，共3个，

则所求事件的概率为P＝

（2）从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，其一切可能的结果组成的基本事件有{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，共9个.

包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有{A1，B2}，{A1，B3}，共2个，

6.已知集合A＝[－2，2]，B＝[－1，1]，设M＝{（x，y）|x∈A，y∈B}，在集合M内随机取出一个元素（x，y）.

（1）求以（x，y）为坐标的点落在圆x2＋y2＝1内的概率；

（2）求以（x，y）为坐标的点到直线x＋y＝0的距离不大于

的概率.

解　

（1）集合M内的点形成的区域面积S＝8.

因为圆x2＋y2＝1的面积S1＝π，故所求概率为P1＝

（2）由题意得

≤

，即－1≤x＋y≤1，形成的区域如图中阴影部分所示，阴影部分面积S2＝4，

所以所求概率为P＝

7.花园小区内有一块三边长分别是5m，5m，6m的三角形绿化地，有一只小花猫在其内部玩耍，若不考虑小花猫的大小，求在任意指定的某时刻，小花猫与三角形三个顶点的距离均超过2m的概率.

解　如图所示，分别以三角形ABC的三个顶点为圆心，2为半径作圆，与三角形ABC的三边分别交于点D，E，M，N，Q，P.

由题意可知，小花猫在三角形的内部玩耍，该三角形是一个腰长为5m，底边长为6m的等腰三角形.

底边AB上的高为h＝

＝4（m），故△ABC的面积S＝

×

6×

4＝12（m2）.

而“小花猫与三角形三个顶点的距离均超过2m”对应的区域为图中阴影部分，即三角形ABC除去三个以顶点为圆心，2为半径的扇形部分.

因为∠A＋∠B＋∠C＝π，所以三个扇形的面积之和为

π×

22＝2π.

故阴影部分的面积S′＝S－2π＝（12－2π）（m2）.

所以“小花猫与三角形三个顶点的距离均超过2m”的概率为P1＝

＝1－

8.已知关于x的一元二次方程9x2＋6ax－b2＋4＝0，a，b∈R.

（1）若a是从1，2，3三个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求已知方程有两个不相等实根的概率；

（2）若a是从区间[0，3]内任取的一个数，b是从区间[0，2]内任取的一个数，求已知方程有实数根的概率.

解　设事件A为“方程9x2＋6ax－b2＋4＝0有两个不相等的实数根”；

事件B为“方程9x2＋6ax－b2＋4＝0有实数根”.

（1）由题意知，基本事件共9个，即（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2），其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值.

由Δ＝36a2－36（－b2＋4）＝36a2＋36b2－36×

4＞0，得a2＋b2＞4.

事件A要求a，b满足条件a2＋b2＞4，包含6个基本事件，

即（1，2），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2），则事件A发生的概率为P（A）＝

（2）a，b的取值所构成的区域如图所示，其中0≤a≤3，0≤b≤2.

构成事件B的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a2＋b2≥4}（如图中阴影部分），

则所求的概率为P（B）＝

考点三　统计与概率的综合问题

方法技巧

　对于将抽样方法、频率分布等统计知识与古典概型相结合的题目，要明确频率和概率的关系，把握基本事件的构成.

9.（2017·

全国Ⅲ）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：

℃）有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；

如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；

如果最高气温低于20，需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：

最高气温

[10，15）

[15，20）

[20，25）

[25，30）

[30，35）

[35，40）

天数

2

16

36

25

7

4

以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.

（1）估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；

（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：

元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率.

解　

（1）这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为

＝0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.

（2）当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，

若最高气温不低于25，则Y＝6×

450－4×

450＝900；

若最高气温位于区间[20，25），则Y＝6×

300＋2（450－300）－4×

450＝300；

若最高气温低于20，则Y＝6×

200＋2（450－200）－4×

450＝－100，

所以Y的所有可能值为900，300，－100.

Y大于零当且仅当最高气温不低于20，

由表格数据知，最高气温不低于20的频率为

＝0.8.

因此Y大于零的概率的估计值为0.8.

10.为了整顿道路交通秩序，某地考虑将对行人闯红灯进行处罚.为了更好地了解市民的态度，在普通行人中随机选取了200人进行调查，当不处罚时，有80人会闯红灯，处罚时，得到如下数据：

处罚金额x（单位：

元）

5

10

15

20

会闯红灯的人数y

50

40

若用表中数据所得频率代替概率.

（1）当罚金定为10元时，行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低多少？

（2）将选取的200人中会闯红灯的市民分为两类：

A类市民在罚金不超过10元时就会改正行为；

B类是