版高考数学大二轮复习 板块一 六大核心素养优选习题 文Word格式文档下载.docx

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5

…

11

走法种数

8

？

从上面的走法种数1,2,3,5,8，…可以发现：

前两个走法种数之和是下一个走法种数．

于是，容易推算出：

走完这11级楼梯，共有144种不同的走法．

1．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：

分钟）满足函数关系p＝at2＋bt＋c（a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（　　）

A．3.50分钟B．3.75分钟

C．4.00分钟D．4.25分钟

答案　B

解析　根据图表，把（t，p）的三组数据（3,0.7），（4,0.8），（5,0.5）分别代入函数关系式，

联立方程组得

消去c化简得

解得

所以p＝－0.2t2＋1.5t－2＝－

＋

－2＝－

2＋

，

所以当t＝

＝3.75时，

p取得最大值，即最佳加工时间为3.75分钟．

2．甲、乙两种食物的维生素含量如下表：

维生素A（单位/kg）

维生素B（单位/kg）

甲

乙

分别取这两种食物若干并混合，且使混合物中维生素A，B的含量分别不低于100,120个单位，则混合物重量的最小值为________kg.

答案　30

解析　设甲食物重xkg，乙食物重ykg，

∵A，B的含量分别不低于100,120个单位，

∴

由

得

∴A（20,10），混合物重z＝x＋y，平移直线z＝x＋y，

由图知，当直线过A（20,10）时，z取最小值为20＋10＝30.

素养2　直观想象

是指借助几何直观形象和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的思想过程.

例2　

（1）如图，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且|AnAn＋1|＝|An＋1An＋2|，An≠An＋2，n∈N*，|BnBn＋1|＝|Bn＋1Bn＋2|，Bn≠Bn＋2，n∈N*（P≠Q表示点P与点Q不重合）．若dn＝|AnBn|，Sn为△AnBnBn＋1的面积，则（　　）

A．{Sn}是等差数列B．{S

}是等差数列

C．{dn}是等差数列D．{d

答案　A

解析　作A1C1，A2C2，A3C3，…，AnCn垂直于直线B1Bn，垂足分别为C1，C2，C3，…，Cn，

则A1C1∥A2C2∥…∥AnCn.

∵|AnAn＋1|＝|An＋1An＋2|，

∴|CnCn＋1|＝|Cn＋1Cn＋2|.

设|A1C1|＝a，|A2C2|＝b，|B1B2|＝c，

则|A3C3|＝2b－a，…，

|AnCn|＝（n－1）b－（n－2）a（n≥3），n＝1和n＝2时也符合．

∴Sn＝

c[（n－1）b－（n－2）a]

＝

c[（b－a）n＋（2a－b）]，

∴Sn＋1－Sn＝

c[（b－a）（n＋1）＋（2a－b）－（b－a）n－（2a－b）]

c（b－a），

∴数列{Sn}是等差数列．

（2）在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是AC1，A1B1的中点．点P在该正方体的表面上运动，则总能使MP与BN垂直的点P所构成的轨迹的周长等于（　　）

A.

＋1B.

＋2

C．2

＋1D．2

解析　如图，取BB1的中点E，CC1的中点F，连接AE，EF，FD，则BN⊥平面AEFD.

设M在平面ABB1A1中的射影为O，过MO与平面AEFD平行的平面为α，

∴能使MP与BN垂直的点P所构成的轨迹为矩形，其周长与矩形AEFD的周长相等，

∵正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，

∴矩形AEFD的周长为

＋2.

3．“牟合方盖”（如图1）是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如图2所示，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线，其实际直观图中四边形不存在，当其正（主）视图和侧（左）视图完全相同时，它的正（主）视图和俯视图分别可能是（　　）

A．a，bB．a，cC．c，bD．b，d

解析　当正（主）视图和侧（左）视图完全相同时，“牟合方盖”相对的两个曲面正对前方，正（主）视图为一个圆，俯视图为一个正方形，且两条对角线为实线，故选A.

4．（2018·

北京）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（　　）

A．1B．2C．3D．4

答案　C

解析　由三视图得到空间几何体，如图所示，

则PA⊥平面ABCD，平面ABCD为直角梯形，PA＝AB＝AD＝2，BC＝1，

所以PA⊥AD，PA⊥AB，PA⊥BC.

又BC⊥AB，AB∩PA＝A，

AB，PA⊂平面PAB，

所以BC⊥平面PAB.

又PB⊂平面PAB，

所以BC⊥PB.

在△PCD中，PD＝2

，PC＝3，CD＝

所以△PCD为锐角三角形．

所以侧面中的直角三角形为△PAB，△PAD，△PBC，共3个．故选C.

二、逻辑推理、数学运算

素养3　逻辑推理

是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思维过程.

例3　

（1）（2018·

北京）设a，b均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析　由|a－3b|＝|3a＋b|，得（a－3b）2＝（3a＋b）2，

即a2＋9b2－6a·

b＝9a2＋b2＋6a·

b.

又a，b均为单位向量，所以a2＝b2＝1，

所以a·

b＝0，能推出a⊥b.

由a⊥b得|a－3b|＝

，|3a＋b|＝

能推出|a－3b|＝|3a＋b|.

所以“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的充要条件．

故选C.

（2）记I为虚数集，设a，b∈R，x，y∈I，则下列类比所得的结论正确的是______．（填序号）

①由a·

b∈R，类比得x·

y∈I；

②由a2≥0，类比得x2≥0；

③由（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2，类比得（x＋y）2＝x2＋2xy＋y2；

④由a＋b>

0，a>

－b，类比得x＋y>

0，x>

－y.

答案　③

解析　①由a·

b∈R，不能类比得x·

y∈I，如x＝y＝i，则xy＝－1∉I，故①不正确；

②由a2≥0，不能类比得x2≥0.如x＝i，则x2<

0，故②不正确；

③由（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2，可类比得（x＋y）2＝x2＋2xy＋y2，故③正确；

④若x，y∈I，当x＝1＋i，y＝－i时，x＋y＞0，但x，y是两个虚数，不能比较大小，故④错误．

故4个结论中，③正确．

5．已知从2开始的连续偶数蛇形排列成宝塔形的数表，第一行为2，第二行为4,6，第三行为12,10,8，第四行为14,16,18,20，…，如图所示，在该数表中位于第i行、第j列的数记为aij，如a32＝10，a54＝24.若aij＝2018，则i＋j＝________.

答案　72

解析　第1行有1个偶数，第2行有2个偶数，…，第n行有n个偶数，则前n行共有1＋2＋3＋…＋n＝

（个）偶数，2018在从2开始的偶数中排在第1009位，

所以

≥1009，所以n≥45.

当n＝44时，第44行第44个偶数为

×

2＝1980，

所以第44行结束时最右边的偶数为1980.

由题意得2018排在第45行的第27位，所以i＋j＝45＋27＝72.

6．甲、乙、丙三位同学被问到是否参加了学校组织的A，B，C三个活动兴趣小组时，

甲说：

我参加的兴趣小组比乙多，但没参加过A兴趣小组；

乙说：

我没参加过B兴趣小组；

丙说：

我们三人参加了同一个兴趣小组．

由此可判断乙参加的兴趣小组为________．

解析　∵三人参加了同一个兴趣小组，乙不参加B，甲不参加A，

∴三人共同参加的小组只有C，

又∵甲参加的兴趣小组比乙多，甲不参加A

∴甲参加两个兴趣小组，乙参加一个小组，

∴甲参加B和C，

∴乙参加的兴趣小组是C.

素养4　数学运算

是指在明晰运算对象的基础上依据运算法则解决数学问题的思维过程.

例4　

（1）（2018·

全国Ⅱ）在△ABC中，cos

，BC＝1，AC＝5，则AB等于（　　）

A．4

B.

C.

D．2

解析　∵cos

∴cosC＝2cos2

－1＝2×

2－1＝－

.

在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·

BC·

cosC＝52＋12－2×

5×

1×

＝32，

∴AB＝

＝4

故选A.

（2）（2018·

全国Ⅰ）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A（1，a），B（2，b），且cos2α＝

，则|a－b|等于（　　）

D．1

解析　由cos2α＝

，得cos2α－sin2α＝

，又cosα≠0，∴

∴tanα＝±

即

＝±

∴|a－b|＝

故选B.

（3）（2018·

全国Ⅰ）已知函数f（x）＝log2（x2＋a）．若f（3）＝1，则a＝________.

答案　－7

解析　∵f（x）＝log2（x2＋a）且f（3）＝1，

∴1＝log2（9＋a），

∴9＋a＝2，∴a＝－7.

7．定长为4的线段MN的两端点在抛物线y2＝x上移动，设点P为线段MN的中点，则点P到y轴距离的最小值为________．

答案　

解析　设M（x1，y1），N（x2，y2），抛物线y2＝x的焦点为F

，抛物线的准线方程为x＝－

，所求的距离d＝

－

，所以

≥

（M，N，F三点共线时取等号）．

三、数学建模、数据分析

素养5　数学建模

是指对现实问题进行数学抽象，构造数学模型用数学语言表达问题，用数学知识与方法解决问题的思维过程.

例5　

（1）（2018·

山东、湖北部分重点中学模拟）我国古代著名的数学家刘徽著有《海岛算经》．内有一篇：

“