第2章光波在自由空间和波导中的传播Word文档下载推荐.docx

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从点光源发出的光波，在各向同性介质中传播时形成球形的波面，称为球面波。

一个复杂的光源常常可以看做是许多点光源的集合，它所发出的光波就是球面波的叠加。

这些点光源互不相干时是光强相加，相干时则是复振幅相加。

因此，研究球面波的复振幅表示是很重要的。

球面波的等相位面是一组同心球面，每个点上的振幅与该点到球心的距离成反比。

如图2.1所示，位于平面任意点

的单色发散球面波在光场中任何一点

产生的复振幅可写做

（2.1）

式中，

为离开点光源单位距离处的振幅；

为观察点

离开点光源的距离。

对于会聚球面波，则有

（2.2）

图2.1球面波在x-y平面上的等相位线

光学问题中所关心的是特定平面上的光场分布，例如，衍射场中的孔径平面和观察平面，成像系统中的物面和像面等。

因而光波在某一特定平面上产生的复振幅分布具有重要意义。

在图2.1中，点光源位于

平面上

点，考察与其相距z（z>

0）的

平面上的光场分布，r可写为

（2.3）

当x-y平面上只考虑一个对S点张角不大的区域时，取

的一阶近似

（2.4）

将式（2.4）代入式（2.1），因为所考虑的区域相对z很小，各点的光振动的振幅近似相等。

式（2.1）中分母上的r可用z近似，但在指数函数上的相位因子中，由于光的波长

极短，k=

数值很大，近似式（2.4）中第二项不能省略。

因此，发散球面波在x-y平面上产生的复振幅分布为

（2.5）

在式（2.5）中，exp（jkz）是常量相位因子；

随x-y平面坐标变化的项exp

为球面波的（二次）相位因子。

当平面上复振幅分布的表达式中包含有这种因子时，一般就可以认为距离该平面z处有一个点光源发出的球面波经过这个平面。

x-y平面上等相位线方程为

（2.6）

式中，C表示某一常量。

不同C值所对应的等相位线构成一个同心圆族，它们是球形波面与x-y平面的交线。

相位值相差

的同心圆之间的间隔由下式决定

（2.7）

因此同心圆族由中心向外愈来愈密集。

当光源位于x0-y0平面的坐标原点时，在傍轴近似下，发展球面波在x-y平面上的复振幅分布为

（2.8）

若z<

0，上式也可以用来表示会聚球面波，或者写做

（2.9）

它表示经过x-y平面向距离|z|处会聚的球面波在该平面产生的复振幅分布。

2.1.2平面波的复振幅表示

如图2.2所示，波矢量k表示光波的传播方向，

。

在任意时刻，与波矢量相垂直的平面上振幅和相位为常数的光波称为平面波。

图2.2平面波在x-y平面上的等相位线

若空间某点P（x,y,z）的位置矢量为r，则平面波传播到P点的相位为

，该点复振幅的一般表达式为

（2.10）

当观察面已定，Z变为常数时，式（2.10）可表示为

（2.11）

于是复振幅可写为

（2.12）

式（2.12）表征了与z轴垂直并距原点z处的任一平面上平面波的复振幅分布。

上式右边可分成与（x,y）坐标有关的

和与（x,y）坐标无关的A两部分。

前者是表征平面波特点的特征相位因子，当平面上复振幅分布的表达式中包含有这种因子时，即表明有一个方向余弦为

、

的平面波经过这个平面；

后者即A的模是个常数，不像球面波的模与距离成反比。

A的幅角则与z坐标成正比。

平面波等相位线方程为

（2.13）

不同C值所对应的等相位线是一些平行直线。

图2.2中用虚线表示出相位值相差

的一组波面与x-y平面的交线，即等相位线。

它们是一组平行等距的斜直线。

由于相位值相差

的点的光振动实际相同，所以平面上复振幅分布的基本特点是相位值相差

的周期性分布。

这是平面波传播的空间周期性特点在x-y平面上的具体表现，也是下面将要提出的平面波空间频率概念的基础。

2.2平面波的角谱及角谱的传播

2.2.1平面波的空间频率

在单色平面波中，引入与传播方向有关的量

（2.14a）

平面波的复振幅的一般表达式变为

（2.14b）

式（2.14a）定义的

为平面波在

方向上的空间频率。

可见，空间频率与平面波有一定的联系，如图2.3所示，一平面波的波矢量为k，时间频率为

，其等相位面为平面，并与波矢量k垂直。

图中画出了由原点起沿波矢量方向每传播一个波长

周期性重复出现的两个等相位面。

相邻两等相位面与x、y、z轴的两交点距离分别为

（2.15）

由式（2.15）可知，空间频率表示在x、y、z轴上单位距离内的复振幅周期变化的次数。

这就是平面空间频率的物理意义。

图2.3传播矢量k位于x0-z平面的平面波在x-y平面上的空间频率

空间频率的意义可总结如下：

（1）对于一列平面波而言，它的空间频率是一个常数，其大小由平面波的传播方向决定。

因此，“单频信号”与一列平面波相对应。

（2）“多频信号”代表各个方向的不同的平面波的组合，对于单色波，空间频率与平面波的方向余弦是一一对应的，因而多频信号（复色信号）可视为方向不同的多个平面波的叠加。

空间频率不同的平面波对应不同的传播方向，传播方向与空间频率一一对应。

由于空间频率与平面波方向相联系，即与角度有十分密切的关系，所以空间频率可称为“角频率”。

如果光沿一个平面如

传播，

，

，对应“零频”，即光波沿z轴方向传播；

越大，意味着

越小，称为“低频”；

越小，

越大，称为“高频”；

当

时，即波沿x轴方向传播，此时

，称为极限高频（见图2.4）。

图2.4空间频率与传播方向的关系

（3）光栅线密度越小，则一级衍射平面波的空间频率越低。

当平面波垂直入射到平面光栅上时，产生的多级平面衍射波具有不同的传播方向。

由光栅方程dsinθ=kλ可知，对于同样波长而言，光栅常数d越大则一级衍射波的衍射角越小，由此可知光栅线密度越小则一级衍射平面波的空间频率越低。

一个普通光学图像可视为由多种空间频率的光信号组合而成，低频分量反映图像的宏观结构，高频分量则反映图像的精细结构，也就是图像的细节。

空间频率的量纲是长度单位的倒数，通常取cm-1或mm-1。

2.2.2平面波的角谱及其物理解释

平面上任意一个单色光场函数都可以分解成无穷多个具有不同传播方向、不同振幅的平面波加权的线性组合，沿不同方向传播的平面波具有不同的空间频率。

回顾上章二维傅立叶变换的定义，对平面上任意一个单色光场函数可做空间二维傅立叶变换，可知，平面波

就是二维傅里叶变换的核。

将平面上任意一个单色光场函数分解成不同空间频率的平面波，这就是平面波的空间频谱即角谱。

角谱的数学推导如下：

设有一单色光波沿z方向投射到x-y平面上，在z处光场分布为U（x,y,z），则函数U（x,y,z）在x-y平面上的二维傅里叶变换是

（2.16）

这就是光场复振幅分布U（x,y,z）的角谱。

同时有逆变换为

（2.17）

U（x,y,z）可理解为不同空间频率的一系列基元函数

的和，其叠加权重为

由式（2.17）可以看出，基元函数就是空间频率为

的平面波。

权重因子

为该方向平面波即该空间频率平面波的复振幅。

因此，式（2.17）说明，单色光波在某一平面上的光场分别可以看做是不同传播方向的平面波的叠加，在叠加时各平面波有自己的振幅和相位，它们的值分别为角谱的模和幅角。

因为，

，则

也可利用方向余弦表示为

（2.18）

由（2.18）可以看出，空间频谱

是以平面波传播方向的角度的余弦为自变量，因此将其称做角谱。

2.2.3平面波角谱的传播

1.平面波角谱传播的推导

研究角谱的传播就是要找到z=0平面上的角谱

和z=z平面上的

之间的关系。

现在研究一个与

平面平行且离它距离为

的平面上的光场的复振幅分布的角谱。

根据式（2.17），图2.5中z=0平面上的光场分布

和

平面上的光场分布

可以分别表示如下

图2.5复振幅分布及其角谱的传播

（2.19）

（2.20）

在所有的无源点上，

必须满足

（2.21）

将式（2.20）代入式（2.21）表示亥姆霍兹方程，改变积分与微分的顺序，注意到角谱

仅是z的函数，而复指数函数中不含z变量，可以导出

必须满足的微分方程

（2.22a）

该二阶常微分方程的一个基本解是

由初始条件决定。

z=0平面上的角谱为

，因而有

最后得到

（2.22b）

这是一个十分重要的结果，它给出了两个平行平面之间角谱传播的规律。

在由已知平面上的光场分布

得到其角谱

后，可以利用式（2.22b）求出它传播到z=z平面上的角谱

，再通过傅里叶逆变换求出其光场分布

角谱的传播公式（2.22b）表明，当方向余弦满足

时，平面波传播一段距离距离z的效应只是改变了各个角谱分量的相对相位。

这是由于每个平面波分量以不同方向传播，它们到达给定的点所经过的距离不同，引入一个相位延迟因子

对于

的情况，不能将

解释为方向余弦。

由于

是场分布的傅立叶变换，而孔径平面上对场施加了边界条件即卷积，因此可能出现满足

的情况，这时，式（2.22b）中的平方根是虚数，于是公式变成

（2.23）

是正实数，式（2.23）说明，一切满足

的波动分量，将随z的增大而按指数衰减，在几个波长的距离内很快衰减到零。

对应于这些传播方向的波动分量称为倏逝波，它们与在截止频率以下驱动的微波波导中所产生的波非常相似。

在满足标量衍射理论近似的情况下忽略不计。

，即

的情况，波动分量的传播方向垂直z轴，它在z轴方向的净能量流为零。

2.在空间频域平面波的传播现象等效于对光波做空间滤波

令

，把式（2.22b）改写为

（2.24）

如果将

分别看做一个线性不变系统的输出和输入函数的频谱，系统在频域的效应可由传递函数表征为

（2.25）

在满足标量衍射理论近似条件情况下，倏逝波可忽略不计，因而传递函数可表示为

（2.26）

公式（2.26）表明，可以把光波的传播现象看做一个空间滤波器。

如图2.6所示，在频谱面上半径为1/λ的圆形区域内，传递函数的模为1，对各频率分量的振幅没有影响，但要引入与频率有关的相移。

在这一圆形区域外，传递函数为零