秋人教A版必修1第二章21第二课时等式性质与不等式的性质Word格式文档下载.docx
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bc.
性质5 如果a>
d，那么a＋c>
b＋d.
性质6 如果a>
b>
0，c>
d>
bd.
性质7 如果a>
0，那么an>
bn（n∈N，n≥2）.
教材拓展补遗
[微判断]
1.a>
bac2>
bc2.（×
）
提示 当c＝0时，不成立.
2.同向不等式相加与相乘的条件是一致的.（×
提示 相乘需要看是否而相加与正、负和零均无关系.
3.设a，b∈R，且a>
b，则a3>
b3.（√）
[微训练]
1.已知a，b，m是正实数，则不等式>
成立的条件是（ ）
A.a<
b B.a>
b
C.与m有关D.恒成立
解析 －＝，而a>
0，m>
0且>
0，∴a－b>
0.即a>
b.
答案 B
2.已知m>
n，则（ ）
A.m2>
n2B.>
C.mx2>
nx2D.m＋x>
n＋x
解析 由于m2－n2＝（m－n）（m＋n），而m＋n>
0不一定成立，所以m2>
n2不一定成立，而，不一定有意义，所以选项A，B不正确；
选项C中，若x2＝0，则不成立.
答案 D
[微思考]
1.若a>
b＋d成立吗？
a－c>
b－d呢？
提示 a＋c>
b＋d成立，a－c>
b－d不一定成立，但a－d>
b－c成立.
2.若a>
d，那么ac>
bd成立吗？
提示 不一定，但当a>
0时，一定成立.
题型一 利用不等式的性质判断命题的真假
【例1】 若<
<
0，有下面四个不等式：
①|a|>
|b|，②a<
b，③a＋b<
ab，④a3>
b3，则不正确的不等式的个数是（ ）
A.0B.1
C.2D.3
解析 由<
0可得b<
a<
0，从而|a|<
|b|，①②均不正确；
a＋b<
0，ab>
0，则a＋b<
ab成立，③正确；
a3>
b3，④正确.
故不正确的不等式的个数为2.
答案 C
规律方法 不等式的性质常与比较大小结合考查，此类问题一般结合不等式的性质，利用作差法或作商法求解，也可以用特殊值求解.
【训练1】 设a>
0，c<
d<
0，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A.ac>
bdB.<
C.>
D.ac2<
bd2
解析 a>
0，即为－c>
－d>
0，
即有－ac>
－bd>
0，即ac<
bd<
0，故A错；
由cd>
0，又ac<
0，两边同乘，可得<
，则B对，C错；
由－c>
0，－ac>
可得ac2>
bd2，则D错.故选B.
题型二 利用不等式的性质证明不等式
【例2】 若bc－ad≥0，bd>
0，求证：
≤.
证明 ∵bc－ad≥0，∴bc≥ad，
∴bc＋bd≥ad＋bd，
即b（c＋d）≥d（a＋b）.
又bd>
0，两边同除以bd得，≤.
规律方法 1.不等式证明的实质是比较两个实数（代数式）的大小；
2.证明不等式可以利用不等式性质证明，也可以用作差比较法证明，利用不等式性质证明时，不可省略条件或跳步推导.
【训练2】
（1）已知a>
b，e>
f，c>
f－ac<
e－bc.
（2）a<
b<
.
证明
（1）因为a>
0，所以ac>
bc，即－ac<
－bc.
又e>
f，即f<
e，所以f－ac<
（2）由于－＝＝，
∵a<
0，∴b＋a<
0，b－a>
∴<
0，故<
题型三 利用不等式的性质求范围
【例3】 已知1<
6，3<
4，求a－b，的取值范围.
求解范围时，不可两式直接相减
解 ∵3<
4，∴－4<
－b<
－3.
∴1－4<
a－b<
6－3，即－3<
3.
又<
，∴<
，
即<
2.
规律方法 求含字母的数（或式子）的取值范围时，一要注意题设中的条件，二要正确使用不等式的性质，尤其是两个同方向的不等式可加不可减，可乘（同正）不可除.
【训练3】 已知－<
β<
α<
，求2α－β的取值范围.
解 ∵－<
，－<
∴－<
－β<
.∴－π<
α－β<
π.
又∵β<
α，∴α－β>
0，∴0<
π，
又2α－β＝α＋（α－β），∴－<
2α－β<
一、素养落地
1.通过学习并理解不等式的性质，培养数学抽象素养，通过运用不等式的性质解决问题，提升数学运算素养.
2.利用不等式的性质证明简单的不等式是否成立，实际上就是根据不等式的性质把不等式进行适当的变形，证明过程中注意不等式成立的条件.
二、素养训练
1.设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是（ ）
A.M>
NB.M＝N
C.M<
ND.与x有关
解析 M－N＝x2＋x＋1＝＋>
∴M>
N.
答案 A
2.设a，b∈R，若a＋|b|<
0，则下列不等式中正确的是（ ）
A.a－b>
0B.a3＋b3>
C.a2－b2<
0D.a＋b<
解析 本题可采用特殊值法，取a＝－2，b＝1，则a－b<
0，a3＋b3<
0，a2－b2>
0，排除A，B，C，故选D.
3.若8<
x<
10，2<
y<
4，则的取值范围为________.
解析 ∵2<
4，∴<
又∵8<
10，∴2<
5.
答案 2<
5
4.下列命题中，真命题是________（填序号）.
①若a>
0，则<
；
②若a>
b，则c－2a<
c－2b；
③若a<
0，b>
④若a>
b，则2a>
2b.
解析 ①a>
00<
<
②a>
b－2a<
－2bc－2a<
对③取a＝－2，b＝1，则<
不成立.④正确.
答案 ①②④
5.已知>
，bc>
ad，求证：
ab>
证明 ∵∴∴∴ab>
基础达标
一、选择题
1.已知a<
0，则下列式子中恒成立的是（ ）
A.<
B.>
C.a2<
b2D.<
1
解析 因为a<
0，不妨令a＝－3，b＝－2，
则－>
－，可排除A；
（－3）2>
（－2）2，可排除C；
＝>
1，可排除D；
而－>
－，即>
，B正确.
2.设x<
0，则下列不等式一定成立的是（ ）
A.x2<
ax<
a2B.x2>
ax>
a2
C.x2<
a2<
axD.x2>
a2>
ax
解析 ∵x<
0，∴x2>
a2.
∵x2－ax＝x（x－a）>
ax.
又ax－a2＝a（x－a）>
0，∴ax>
∴x2>
3.设a<
0，则下列不等式中不正确的是（ ）
A.>
B.ac<
bc
C.|a|>
－bD.>
解析 a<
0，则>
，选项A正确；
当c>
0时选项B成立，其余情况不成立，则选项B不正确；
|a|＝－a>
－b，则选项C正确；
由－a>
－b>
0，可得>
，则选项D正确，故选B.
4.已知a<
0，b<
－1，则下列不等式成立的是（ ）
A.a>
>
a
a>
D.>
解析 由题意知>
0，b2>
1，
则>
a，且<
0，所以>
5.若1<
3，－4<
2，那么a－|b|的范围是（ ）
A.－3<
a－|b|≤3B.－3<
a－|b|<
C.－3<
3D.1<
4
解析 ∵－4<
2，∴0≤|b|<
－|b|≤0.
又∵1<
3，∴－3<
二、填空题
6.若a>
0，则a＋________b＋（用“<
”，“>
”，“＝”填空）.
解析 法一 ∵a>
即>
0，∴a＋>
b＋.
法二 a＋－（b＋）＝，
∵a>
0，1＋ab>
则a＋>
答案 >
7.若a<
0，则与的大小关系是________.
解析 －＝＝，
0，∴a－b<
0，<
答案 <
8.已知－≤α<
β≤，则的取值范围是________.
解析 ∵－≤α<
β≤，∴－≤<
∴－≤<
，①
－<
≤，∴－≤－<
.②
由①＋②得－≤<
又知α<
β，∴α－β<
0.∴－≤<
答案 －≤<
三、解答题
9.判断下列各命题的真假，并说明理由.
（1）若a<
（2）若ac3<
bc3，则a>
b；
（3）若a>
b，且k∈N*，则ak>
bk；
（4）若a>
c则a－b>
b－c.
解
（1）∵a<
b，不一定有ab>
∴>
不一定成立，
∴推不出<
，∴是假命题.
（2）当c>
0时，c3>
0，∴a<
b，∴是假命题.
（3）当a＝1，b＝－2，k＝2时，显然命题不成立，∴是假命题.
（4）当a＝2，b＝0，c＝－3时，满足a>
c这两个条件，但是a－b＝2<
b－c＝3，∴是假命题.
10.已知c>
证明 －＝
＝＝.
∵c>
0，∴c－a>
0，c－b>
0，a－b>
0.∴>
能力提升
11.已知a>
证明 ∵c<
0，∴－c>
∴0<
－.
0，∴－>
－>
，即－>
－，
12.已知1≤a＋b≤4，－1≤a－b≤2，求4a－2b的取值范围.
解 法一 设u＝a＋b，v＝a－b得a＝，b＝，
∴4a－2b＝2u＋2v－u＋v＝u＋3v.
∵1≤u≤4，－1≤v≤2，∴－3≤3v≤6.
则－2≤u＋3v≤10，即－2≤4a－2b≤10.
法二 令4a－2b＝x（a＋b）＋y（a－b），
∴4a－2b＝（x＋y）a＋（x－y）b.
∴∴
又
∴－2≤4a－2b≤10.
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