最新九年级数学必考要点分类汇编精华版 函数图象中点的存在性问题Word格式文档下载.docx

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2．因为∠BOM＝∠ABO＝30°

，因此点C在点B的右侧时，恰好有∠ABC＝∠AOM．

3．根据夹角相等对应边成比例，分两种情况讨论△ABC与△AOM相似．

满分解答

（1）如图2，过点A作AH⊥y轴，垂足为H．

在Rt△AOH中，AO＝2，∠AOH＝30°

，

所以AH＝1，OH＝．所以A．

因为抛物线与x轴交于O、B（2,0）两点，

设y＝ax（x－2），代入点A，可得．图2

所以抛物线的表达式为．

（2）由，

得抛物线的顶点M的坐标为．所以．

所以∠BOM＝30°

．所以∠AOM＝150°

（3）由A、B（2,0）、M，

得，，．

所以∠ABO＝30°

，．

因此当点C在点B右侧时，∠ABC＝∠AOM＝150°

△ABC与△AOM相似，存在两种情况：

①如图3，当时，．此时C（4,0）．

②如图4，当时，．此时C（8,0）．

图3图4

考点伸展

在本题情境下，如果△ABC与△BOM相似，求点C的坐标．

如图5，因为△BOM是30°

底角的等腰三角形，∠ABO＝30°

，因此△ABC也是底角为30°

的等腰三角形，AB＝AC，根据对称性，点C的坐标为（－4,0）．

图5

例2苏州市中考第29题

如图1，已知抛物线（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B是左侧），与y轴的正半轴交于点C．

（1）点B的坐标为______，点C的坐标为__________（用含b的代数式表示）；

（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？

如果存在，求出点P的坐标；

如果不存在，请说明理由；

（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？

如果存在，求出点Q的坐标；

如果不存在，请说明理由．

图1

请打开几何画板文件名“12苏州29”，拖动点B在x轴的正半轴上运动，可以体验到，点P到两坐标轴的距离相等，存在四边形PCOB的面积等于2b的时刻．双击按钮“第（3）题”，拖动点B，可以体验到，存在∠OQA＝∠B的时刻，也存在∠OQ′A＝∠B的时刻．

1．第

（2）题中，等腰直角三角形PBC暗示了点P到两坐标轴的距离相等．

2．联结OP，把四边形PCOB重新分割为两个等高的三角形，底边可以用含b的式子表示．

3．第（3）题要探究三个三角形两两相似，第一直觉这三个三角形是直角三角形，点Q最大的可能在经过点A与x轴垂直的直线上．

（1）B的坐标为（b,0），点C的坐标为（0,）．

（2）如图2，过点P作PD⊥x轴，PE⊥y轴，垂足分别为D、E，那么△PDB≌△PEC．

因此PD＝PE．设点P的坐标为（x,x）．

如图3，联结OP．

所以S四边形PCOB＝S△PCO＋S△PBO＝＝2b．

解得．所以点P的坐标为（）．

图2图3

（3）由，得A（1,0），OA＝1．

①如图4，以OA、OC为邻边构造矩形OAQC，那么△OQC≌△QOA．

当，即时，△BQA∽△QOA．

所以．解得．所以符合题意的点Q为（）．

②如图5，以OC为直径的圆与直线x＝1交于点Q，那么∠OQC＝90°

。

因此△OCQ∽△QOA．

当时，△BQA∽△QOA．此时∠OQB＝90°

所以C、Q、B三点共线．因此，即．解得．此时Q（1,4）．

图4图5

第（3）题的思路是，A、C、O三点是确定的，B是x轴正半轴上待定的点，而∠QOA与∠QOC是互余的，那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情况．

这样，先根据△QOA与△QOC相似把点Q的位置确定下来，再根据两直角边对应成比例确定点B的位置．

如图中，圆与直线x＝1的另一个交点会不会是符合题意的点Q呢？

如果符合题意的话，那么点B的位置距离点A很近，这与OB＝4OC矛盾．

例3黄冈市中考模拟第25题

如图1，已知抛物线的方程C1：

（m＞0）与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧．

（1）若抛物线C1过点M（2,2），求实数m的值；

（2）在

（1）的条件下，求△BCE的面积；

（3）在

（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH＋EH最小，求出点H的坐标；

（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？

若存在，求m的值；

若不存在，请说明理由．

请打开几何画板文件名“12黄冈25”，拖动点C在x轴正半轴上运动，观察左图，可以体验到，EC与BF保持平行，但是∠BFC在无限远处也不等于45°

．观察右图，可以体验到，∠CBF保持45°

，存在∠BFC＝∠BCE的时刻．

1．第（3）题是典型的“牛喝水”问题，当H落在线段EC上时，BH＋EH最小．

2．第（4）题的解题策略是：

先分两种情况画直线BF，作∠CBF＝∠EBC＝45°

，或者作BF//EC．再用含m的式子表示点F的坐标．然后根据夹角相等，两边对应成比例列关于m的方程．

（1）将M（2,2）代入，得．解得m＝4．

（2）当m＝4时，．所以C（4,0），E（0,2）．

所以S△BCE＝．

（3）如图2，抛物线的对称轴是直线x＝1，当H落在线段EC上时，BH＋EH最小．

设对称轴与x轴的交点为P，那么．

因此．解得．所以点H的坐标为．

（4）①如图3，过点B作EC的平行线交抛物线于F，过点F作FF′⊥x轴于F′．

由于∠BCE＝∠FBC，所以当，即时，△BCE∽△FBC．

设点F的坐标为，由，得．

解得x＝m＋2．所以F′（m＋2,0）．

由，得．所以．

由，得．

整理，得0＝16．此方程无解．

图2图3图4

②如图4，作∠CBF＝45°

交抛物线于F，过点F作FF′⊥x轴于F′，

由于∠EBC＝∠CBF，所以，即时，△BCE∽△BFC．

在Rt△BFF′中，由FF′＝BF′，得．

解得x＝2m．所以F′．所以BF′＝2m＋2，．

由，得．解得．

综合①、②，符合题意的m为．

第（4）题也可以这样求BF的长：

在求得点F′、F的坐标后，根据两点间的距离公式求BF的长．

例4义乌市中考第24题

如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）．

（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；

（2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1．设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、B1的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）．用含S的代数式表示x2－x1，并求出当S=36时点A1的坐标；

（3）在图1中，设点D的坐标为（1，3），动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？

若存在，请求出t的值；

图1图2

请打开几何画板文件名“10义乌24”，拖动点I上下运动，观察图形和图象，可以体验到，x2－x1随S的增大而减小．双击按钮“第（3）题”，拖动点Q在DM上运动，可以体验到，如果∠GAF＝∠GQE，那么△GAF与△GQE相似．

1．第

（2）题用含S的代数式表示x2－x1，我们反其道而行之，用x1，x2表示S．再注意平移过程中梯形的高保持不变，即y2－y1＝3．通过代数变形就可以了．

2．第（3）题最大的障碍在于画示意图，在没有计算结果的情况下，无法画出准确的位置关系，因此本题的策略是先假设，再说理计算，后验证．

3．第（3）题的示意图，不变的关系是：

直线AB与x轴的夹角不变，直线AB与抛物线的对称轴的夹角不变．变化的直线PQ的斜率，因此假设直线PQ与AB的交点G在x轴的下方，或者假设交点G在x轴的上方．

（1）抛物线的对称轴为直线，解析式为，顶点为M（1，）．

（2）梯形O1A1B1C1的面积，由此得到．由于，所以．整理，得．因此得到．

当S=36时，解得此时点A1的坐标为（6，3）．

（3）设直线AB与PQ交于点G，直线AB与抛物线的对称轴交于点E，直线PQ与x轴交于点F，那么要探求相似的△GAF与△GQE，有一个公共角∠G．

在△GEQ中，∠GEQ是直线AB与抛物线对称轴的夹角，为定值．

在△GAF中，∠GAF是直线AB与x轴的夹角，也为定值，而且∠GEQ≠∠GAF．

因此只存在∠GQE＝∠GAF的可能，△GQE∽△GAF．这时∠GAF＝∠GQE＝∠PQD．

由于，，所以．解得．

图3图4

第（3）题是否存在点G在x轴上方的情况？

如图4，假如存在，说理过程相同，求得的t的值也是相同的．事实上，图3和图4都是假设存在的示意图，实际的图形更接近图3．

例5临沂市中考第26题

如图1，抛物线经过点A（4，0）、B（1，0）、C（0，－2）三点．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）P是抛物线上的一个动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？

若存在，请求出符合条件的点P的坐标；

若不存在，请说明理由；

（3）在直线AC上方的抛物线是有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．

动感体验

请打开几何画板文件名“09临沂26”，拖动点P在抛物线上运动，可以体验到，△PAM的形状在变化，分别双击按钮“P在B左侧”、“P在x轴上方”和“P在A右侧”，可以显示△PAM与△OAC相似的三个情景．

双击按钮“第（3）题”，拖动点D在x轴上方的抛物线上运动，观察△DCA的形状和面积随D变化的图象，可以体验到，E是AC的中点时，△DCA的面积最大．

1．已知抛物线与x轴的两个交点，用待定系数法求解析式时，设交点式比较简便．

2．数形结合，用解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长．

3．按照两条直角边对应成比例，分两种情况列方程．

4．把△DCA可以分割为共底的两个三角形，高的和等于OA．

满分解答

（1）因为抛物线与x轴交于A（4，0）、B（1，0）两点，设抛物线的解析式为，代入点C的坐标（0，－2），解得．所以抛物线的解析式为．

（2）设点P的坐标为．

①如