高中数学新学案同步 必修3 人教A版 全国通用版 第二章 统 计 212213Word文档下载推荐.docx

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知识点二　分层抽样

1.分层抽样的定义

当总体是由差异明显的几个部分组成时，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样.

分层抽样尽量利用了调查者对调查对象（总体）事先所掌握的各种信息，并充分考虑了保持样本结构与总体结构的一致性，这对提高样本的代表性是非常重要的.

2.分层抽样的实施步骤

第一步，按某种特征将总体分成若干部分（层）.

第二步，计算抽样比.抽样比＝.

第三步，各层抽取的个体数＝各层总的个体数×

抽样比.

第四步，依各层抽取的个体数，按简单随机抽样从各层抽取样本.

第五步，综合每层抽样，组成样本.

知识点三　三种抽样方法的比较

简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的比较如下表所示：

类别

共同点

各自特点

相互联系

适用范围

简单随机抽样

（1）抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等；

（2）每次抽出个体后不再将它放回，即不放回抽样

从总体中逐个抽取

总体中的个体数较少

系统抽样

将总体均分成几部分，按预先确定的规则分别在各部分抽取

在起始部分抽样时，采用简单随机抽样

总体中的个体数较多

分层抽样

将总体分成几层，在各层中按同一抽样比抽取

在各层抽样时，采用简单随机抽样或系统抽样

总体由差异明显的几部分组成

1.系统抽样和分层抽样都是等可能抽样.（　√　）

2.系统抽样中，当总体容量不能被样本容量整除时，余数是几就剔除前几个数.（　×

　）

3.分层抽样是按一定的比例从各层抽取个体组成样本的抽样.（　√　）

类型一　系统抽样及应用

例1　为了了解参加某种知识竞赛的1000名学生的成绩，从中抽取一个容量为50的样本，那么采用什么抽样方法比较恰当？

简述抽样过程.

考点　系统抽样的应用

题点　不需要剔除个体的系统抽样问题

解　适宜选用系统抽样，抽样过程如下：

（1）随机地将这1000名学生编号为1,2,3，…，1000.

（2）将总体按编号顺序均分成50个部分，每部分包括20个个体.

（3）在第一部分的个体编号1,2,3，…，20中，利用简单随机抽样抽取一个号码l.

（4）以l为起始号码，每间隔20抽取一个号码，这样得到一个容量为50的样本：

l，l＋20，l＋40，…，l＋980.

反思与感悟　当总体容量能被样本容量整除时，分段间隔k＝，样本编号相差k的整数倍；

系统抽样过程中可能会与其他抽样方法结合使用，通常不单独运用.

跟踪训练1　现有60瓶牛奶，编号为1至60，若从中抽取6瓶检验，用系统抽样方法确定所抽取的编号可能为（　　）

A.3,13,23,33,43,53

B.2,14,26,38,42,56

C.5,8,31,36,48,54

D.5,10,15,20,25,30

答案　A

解析　因为60瓶牛奶分别编号为1至60，所以把它们依次分成6组，每组10瓶，要从中抽取6瓶检验，用系统抽样方法进行抽样.若在第一组抽取的编号为n（1≤n≤10），则所抽取的编号应为n，n＋10，…，n＋50.对照4个选项，只有A项符合系统抽样.系统抽样的显著特点之一就是“等距抽样”.因此，对于本题只要求出抽样的间隔k＝＝10，就可判断结果.

例2　某校高中二年级有253名学生，为了了解他们的视力情况，准备按1∶5的比例抽取一个样本，试用系统抽样方法进行抽取，并写出过程.

题点　需要剔除个体的系统抽样问题

解　

（1）先把这253名学生编号为000,001，…，252.

（2）用随机数法任取3个号，从总体中剔除与这三个号对应的学生.

（3）把余下的250名学生重新编号1,2,3，…，250.

（4）分段.取分段间隔k＝5，将总体均分成50段，每段含5名学生.

（5）从第一段即1～5号中用简单随机抽样抽取一个号作为起始号，如l.

（6）从后面各段中依次取出l＋5，l＋10，l＋15，…，l＋245这49个号.这样就按1∶5的比例抽取了一个样本容量为50的样本.

反思与感悟　

（1）当总体容量不能被样本容量整除时，要先从总体中随机剔除整除后余数个个体且必须是随机的，即每个个体被剔除的机会均等.剔除个体后使总体中剩余的总体容量能被样本容量整除.

（2）剔除个体后需对样本重新编号.

（3）起始编号的确定应用简单随机抽样的方法，一旦起始编号确定，其他编号便随之确定了.

跟踪训练2　某工厂有1003名工人，从中抽取10人参加体检，试用系统抽样进行具体实施.

解　

（1）将每个工人编一个号，由0001至1003.

（2）利用随机数法找到3个号将这3名工人剔除.

（3）将剩余的1000名工人重新编号0001至1000.

（4）分段，取间隔k＝＝100，将总体均分为10组，每组100个工人.

（5）从第一段即0001号到0100号中随机抽取一个号l.

（6）按编号将l,100＋l,200＋l，…，900＋l，共10个号选出.

这10个号所对应的工人组成样本.

类型二　分层抽样及应用

例3　某地区有高中生2400人，初中生10900人，小学生11000人.当地教育部门为了了解本地区中小学生的近视率及其形成原因，要从本地区的中小学生中抽取1%的学生进行调查，你认为应当怎样抽取样本？

考点　分层抽样的概念

题点　分层抽样的特征

解　

（1）从总体来看，因为不同年龄阶段的学生的近视情况可能存在明显差异，为了使样本具有较好的代表性，应该分高中、初中、小学三个层次分别抽样.

（2）从三类学生的数量来看，人数较多，所以在各层抽样时可以采用系统抽样.

（3）采用系统抽样分好组之后，确定第一组人选时，可以采用简单随机抽样.

反思与感悟　分层抽样实质是利用已知信息尽量使样本结构与总体结构相似.在实际操作时，并不排斥与其他抽样方法联合使用.

跟踪训练3　在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样本.

方法1：

采用简单随机抽样的方法，将零件编号为00,01,02，…，99，用抽签法抽取20个.

方法2：

采用系统抽样的方法，将所有零件分为20组，每组5个，然后在第1组用简单随机抽样确定第一个个体编号，依次得到余下的19个个体编号.

方法3：

采用分层抽样的方法，从一级品中随机抽取4个，从二级品中随机抽取6个，从三级品中随机抽取10个.

对于上述问题，下列说法正确的是（　　）

①不论采用哪种抽样方法，这100个零件中每一个零件被抽到的可能性都是；

②采用不同的方法，这100个零件中每一个零件被抽到的可能性各不相同；

③在上述三种抽样方法中，方法3抽到的样本比方法1和方法2抽到的样本更能反映总体特征；

④在上述抽样方法中，方法2抽到的样本比方法1和方法3抽到的样本更能反映总体的特征.

A.①②B.①③C.①④D.②③

题点　具体实例中的分层抽样

答案　B

解析　根据三种抽样的特点知，不论哪种抽样，总体中每个个体入样的可能性都相等，都是，故①正确，②错误.由于总体中有差异较明显的三个层（一级品、二级品和三级品），故方法③抽到的样本更有代表性，③正确，④错误.故①③正确.

例4　某学校有在职人员160人，其中行政人员有16人，教师有112人，后勤人员有32人.教育部门为了了解在职人员对学校机构改革的意见，要从中抽取一个容量为20的样本，请利用分层抽样的方法抽取，写出抽样过程.

考点　分层抽样的应用

题点　分层抽样在具体问题中的应用

解　抽样过程如下：

第一步，确定抽样比，样本容量与总体容量的比为＝.

第二步，确定分别从三类人员中抽取的人数，从行政人员中抽取16×

＝2（人）；

从教师中抽取112×

＝14（人）；

从后勤人员中抽取32×

＝4（人）.

第三步，采用简单随机抽样的方法，抽取行政人员2人，教师14人，后勤人员4人.

第四步，把抽取的个体组合在一起构成所需样本.

反思与感悟　在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体容量之比.

跟踪训练4　一个单位有职工500人，其中不到35岁的有125人，35岁至49岁的有280人，50岁及50岁以上的有95人.为了了解这个单位职工与身体状态有关的某项指标，要从中抽取100名职工作为样本，职工年龄与这项指标有关，应该怎样抽取？

解　用分层抽样来抽取样本，步骤如下：

（1）分层.按年龄将500名职工分成三层：

不到35岁的职工；

35岁至49岁的职工；

50岁及50岁以上的职工.

（2）确定每层抽取个体的个数.抽样比为＝，则在不到35岁的职工中抽取125×

＝25（人）；

在35岁至49岁的职工中抽取280×

＝56（人）；

在50岁及50岁以上的职工中抽取95×

＝19（人）.

（3）在各层分别按系统抽样或随机数法抽取样本.

（4）汇总每层抽样，组成样本.

1.检测员每10分钟从匀速传递的新产品生产流水线上抽取一件新产品进行某项指标检测，这样的抽样方法是（　　）

A.系统抽样法B.抽签法

C.随机数法D.其他抽样方法

考点　系统抽样的概念

题点　系统抽样在具体事例中的判断

解析　根据系统抽样法的定义和性质进行判断即可.

2.为了解1200名学生对学校食堂饭菜的意见，打算从中抽取一个样本容量为40的样本，考虑采用系统抽样，则分段间隔k为（　　）

A.10B.20C.30D.40

考点　系统抽样的方法

题点　间隔的运算

答案　C

解析　分段间隔k＝＝30.

3.甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法抽取一个容量为90的样本，应在这三校分别抽取学生（　　）

A.30人，30人，30人B.30人，45人，15人

C.20人，30人，10人D.30人，50人，10人

考点　分层抽样的方法

题点　由各层比例关系求每层抽取的个数

解析　先求抽样比＝＝，再各层按抽样比分别抽取，甲校抽取3600×

＝30（人），乙校抽取5400×

＝45（人），丙校抽取1800×

＝15（人），故选B.

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