届高考数学文大一轮复习检测25指数与指数函数Word文件下载.docx
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③（ab）r＝arbr（a>
0，b>
0，r∈Q）．
3．指数函数的图象与性质
y＝ax
a>
1
0<
a<
图象
定义域
R
值域
（0，＋∞）
性质
过定点（0，1）
当x>
0时，y>
1；
当x<
0时，0<
y<
在R上是增函数
在R上是减函数
1．辨明三个易误点
（1）指数幂的运算容易出现的问题是误用指数幂的运算法则，或在运算变换中方法不当，不注意运算的先后顺序等．
（2）指数函数y＝ax（a>
0，a≠1）的图象和性质与a的取值有关，要特别注意区分a>
1或0<
1.
（3）在解形如a2x＋b·
ax＋c＝0或a2x＋b·
ax＋c≥0（≤0）的指数方程或不等式时，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围．
2．指数函数图象画法的三个关键点
画指数函数y＝ax（a>
0，且a≠1）的图象，应抓住三个关键点：
（1，a），（0，1），.
1.化简[（－2）6]－（－1）0的结果为（ ）
A．－9 B．7
C．－10D．9
[答案]B
2.设x＋x－1＝3，则x2＋x－2的值为（ ）
A．9B．7
C．5D．3
B [解析]因为x＋x－1＝3.
所以（x＋x－1）2＝9，即x2＋x－2＋2＝9，
所以x2＋x－2＝7.
3．函数f（x）＝ax－1（a＞0，a≠1）的图象恒过点A，下列函数中图象不经过点A的是（ ）
A．y＝ B．y＝|x－2|
C．y＝2x－1D．y＝log2（2x）
A [解析]由f（x）＝ax－1（a＞0，a≠1）的图象恒过点（1，1），又0＝，知（1，1）不在y＝的图象上．
4.若a>
1且a3x＋1>
a－2x，则x的取值范围为________．
[解析]因为a>
1，所以y＝ax为增函数，
又a3x＋1>
a－2x，所以3x＋1>
－2x，
即x>
－.
[答案]
5．若指数函数y＝（a2－1）x在（－∞，＋∞）上为减函数，则实数a的取值范围是________．
[解析]由题意知0<
a2－1<
1，即1<
a2<
2，
得－<
－1或1<
.
[答案]（－，－1）∪（1，）
指数幂的运算[学生用书P32]
[典例引领]
化简下列各式：
（1）＋2－2·
－（0.01）0.5；
（2）a·
b－2·
÷
【解】
（1）原式＝1＋×
－＝1＋×
－＝1＋－＝.
（2）原式＝－a－b－3÷
＝－a－b－3÷
＝－a·
b
＝－·
＝－.
指数幂运算的一般原则
（1）有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算．
（2）先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．
（3）底数是负数，先确定符号；
底数是小数，先化成分数；
底数是带分数的，先化成假分数．
（4）若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．
[注意] 运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一．
（1）（0.027）＋－；
（2）·
[解]
（1）原式＝0.32＋－
＝＋－＝.
（2）原式＝＝＝.
指数函数的图象及应用[学生用书P32]
（1）函数f（x）＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是（ ）
A．a>
1，b<
0 B．a>
1，b>
C．0<
0D．0<
（2）若方程|3x－1|＝k有一解，则k的取值范围为________．
【解析】
（1）由f（x）＝ax－b的图象可以观察出函数f（x）＝ax－b在定义域上单调递减，所以0<
1.函数f（x）＝ax－b的图象是在f（x）＝ax的基础上向左平移得到的，所以b<
0.
（2）函数y＝|3x－1|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示．
当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有唯一的交点，
所以方程有一解．
【答案】
（1）D
（2）{0}∪[1，＋∞）
若将本例
（2）变为函数y＝|3x－1|在（－∞，k]上单调递减，则k的取值范围如何？
[解] 由本例
（2）作出的函数y＝|3x－1|的图象知，其在（－∞，0]上单调递减，所以k∈（－∞，0]．
指数函数的图象及应用
（1）与指数函数有关的函数图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称、翻折变换得到其图象．
（2）一些指数型方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解．
[通关练习]
1．函数f（x）＝1－e|x|的图象大致是（ ）
A [解析]将函数解析式与图象对比分析，因为函数f（x）＝1－e|x|是偶函数，且值域是（－∞，0]，只有A满足上述两个性质．
2．若关于x的方程|ax－1|＝2a（a＞0，且a≠1）有两个不等实根，则a的取值范围是________．
[解析]方程|ax－1|＝2a（a＞0，且a≠1）有两个不等实根转化为函数y＝|ax－1|与y＝2a有两个交点．
（1）当0＜a＜1时，如图①，所以0＜2a＜1，即
0＜a＜；
（2）当a＞1时，如图②，而y＝2a＞1不符合要求．
所以0＜a＜.
[答案]
指数函数的性质及应用（高频考点）[学生用书P33]
指数函数的性质主要是其单调性，特别受到高考命题专家的青睐，常以选择题、填空题的形式出现．
高考对指数函数的性质的考查主要有以下四个命题角度：
（1）比较指数幂的大小；
（2）解简单的指数方程或不等式；
（3）研究指数型函数的性质；
（4）求解指数型函数中参数的取值范围．
（1）（2016·
高考全国卷丙）已知a＝2，b＝4，c＝25，则（ ）
A．b＜a＜c B．a＜b＜c
C．b＜c＜aD．c＜a＜b
（2）（2017·
福州模拟）已知实数a≠1，函数f（x）＝若f（1－a）＝f（a－1），则a的值为________．
（3）若偶函数f（x）满足f（x）＝2x－4（x≥0），则不等式f（x－2）＞0的解集为________．
【解析】
（1）因为a＝2＝16，b＝4＝16，c＝25，且幂函数y＝x在R上单调递增，指数函数y＝16x在R上单调递增，所以b＜a＜c.
（2）当a＜1时，41－a＝21，
所以a＝；
当a＞1时，代入不成立．
（3）f（x）为偶函数，
当x＜0时，f（x）＝f（－x）＝2－x－4.
所以f（x）＝
当f（x－2）＞0时，
有
或
解得x＞4或x＜0.
所以不等式的解集为{x|x＞4或x＜0}．
【答案】
（1）A
（2） （3）{x|x＞4或x＜0}
有关指数函数性质的问题类型及解题思路
（1）比较指数幂大小问题，常利用指数函数的单调性及中间值（0或1）．
（2）求解简单的指数不等式问题，应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论．
（3）求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决．
[注意] 在研究指数型函数单调性时，当底数与“1”的大小关系不明确时，要分类讨论．
[题点通关]
角度一 比较指数幂的大小
1．设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＜b＜cB．a＜c＜b
C．b＜a＜cD．b＜c＜a
C [解析]因为指数函数y＝0.6x在（－∞，＋∞）上为减函数，
所以0.60.6＞0.61.5，即a＞b，
又0＜0.60.6＜1，1.50.6＞1，所以a＜c，故选C.
角度二 解简单的指数方程或不等式
2．（2015·
高考江苏卷）不等式2x2－x<
4的解集为________．
[解析]因为2x2－x<
4，所以2x2－x<
22，
所以x2－x<
2，即x2－x－2<
0，所以－1<
x<
2.
[答案]{x|－1<
2}（或（－1，2））
角度三 研究指数型函数的性质
3．（2017·
太原模拟）函数y＝2x－2－x是（ ）
A．奇函数，在区间（0，＋∞）上单调递增
B．奇函数，在区间（0，＋∞）上单调递减
C．偶函数，在区间（－∞，0）上单调递增
D．偶函数，在区间（－∞，0）上单调递减
A [解析]令f（x）＝2x－2－x，则f（－x）＝2－x－2x＝－f（x），所以函数f（x）是奇函数，排除C、D.又函数y＝－2－x，y＝2x均是R上的增函数，故y＝2x－2－x在R上为增函数．
角度四 求解指数型函数中参数的取值范围
4．已知函数f（x）＝ax＋b（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[－1，0]，则a＋b＝________．
[解析]当a＞1时，函数f（x）＝ax＋b在[－1，0]上为增函数，由题意得无解．当0＜a＜1时，函数f（x）＝ax＋b在[－1，0]上为减函数，由题意得解得所以a＋b＝－.
[答案]－
[学生用书P34]）
——利用换元法求解指数型函数的值域问题
函数f（x）＝－＋1在x∈[－3，2]上的值域是________．
【解析】 因为x∈[－3，2]，若令t＝，则t∈.y＝t2－t＋1＝＋.
当t＝时，ymin＝；
当t＝8时，ymax＝57.
所以函数f（x）的值域为.
【答案】
（1）此题利用了换元法，把函数f（x）转化为y＝t2－t＋1，其中t∈，将问题转化为求二次函数在闭区间上的最值（值域）问题，从而减少了运算量．
（2）对于同时含有ax与a2x（logax与logx）（a>
0且a≠1）的函数、方程、不等式问题，通常令t＝ax（t＝logax）进行换元巧解，但一定要注意新元的范围．
已知函数f（x）＝2a·
4x－2x－1.
（1）当a＝1时，求函数f（x）在x∈[－3，0]上的值域；
（2）若关于x的方程f（x）＝0有解，求a的取值范围．
[解]
（1）当a＝1时，f（x）＝2·
4x－2x－1＝2（2x）2－2x－1，
令t＝2x，x∈[－3，0]，
则t∈.
故y＝2t2－t－1＝2－，t∈，故值域为.
（2）关于x的方程2a（2x）2－2x－1＝0有解，等价于方程2am2－m－1＝0在（0，＋∞）上有解．
记g（m）＝2am2－m－1，
当a＝0时，
解为m＝－1<
0，不成立．
当a<
0时，开口向下，
对称轴m＝<
0，过点（0，－1），
不成立，
当a＞0时，开口向上，
对称轴m＝＞0，过点（0，－1）
必有一个根为正，
所以a
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