高考数学一轮复习 75 圆的方程教案文档格式.docx

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x=rcosθ，

y=rsinθ

②圆心在O1（a，b），半径为r的圆的参数方程为

（θ为参数）.②

x=a+rcosθ，

y=b+rsinθ

在①中消去θ得x2+y2=r2，在②中消去θ得（x－a）2+（y－b）2=r2，把这两个方程相对于它们各自的参数方程又叫做普通方程.

2.二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件

若上述二元二次方程表示圆，则有A=C≠0，B=0，这仅是二元二次方程表示圆的必要条件，不充分.

在A=C≠0，B=0时，二元二次方程化为x2+y2+x+y+=0，

仅当（）2+（）2－4·

＞0，即D2+E2－4AF＞0时表示圆.

故Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是：

①A=C≠0，②B=0，③D2+E2－4AF＞0.

●点击双基

1.方程x2+y2－2（t+3）x+2（1－4t2）y+16t4+9=0（t∈R）表示圆方程，则t的取值范围是

A.－1<

t<

B.－1<

C.－<

1D.1<

2

解析：

由D2+E2－4F>

0，得7t2－6t－1<

0，即－<

1.

答案：

C

2.点P（5a+1，12a）在圆（x－1）2+y2=1的内部，则a的取值范围是

A.｜a｜＜1B.a＜

C.｜a｜＜D.｜a｜＜

点P在圆（x－1）2+y2=1内部（5a+1－1）2+（12a）2＜1｜a｜＜.

D

3.已知圆的方程为（x－a）2+（y－b）2=r2（r>

0），下列结论错误的是

A.当a2+b2=r2时，圆必过原点

B.当a=r时，圆与y轴相切

C.当b=r时，圆与x轴相切

D.当b<

r时，圆与x轴相交

已知圆的圆心坐标为（a，b），半径为r，当b<

r时，圆心到x轴的距离为|b|，只有当|b|<

r时，才有圆与x轴相交，而b<

r不能保证|b|<

r，故D是错误的.故选D.

4.（xx年北京海淀区期末练习）将圆x2+y2=1按向量a平移得到圆（x+1）2+（y－2）2=1，则a的坐标为____________.

由向量平移公式即得a=（－1，2）.

（－1，2）

5.已知P（1，2）为圆x2+y2=9内一定点，过P作两条互相垂直的任意弦交圆于点B、C，则BC中点M的轨迹方程为____________.

Rt△OMC中，|MP|=|BC|（直角三角形斜边上的中线是斜边的一半）.

故所求轨迹方程为x2+y2－x－2y－2=0.

x2+y2－x－2y－2=0

●典例剖析

【例1】（xx年春季北京）设A（－c，0）、B（c，0）（c>

0）为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a（a>

0），求P点的轨迹.

剖析：

给曲线建立方程是解析几何的两个主要问题之一，其基本方法就是把几何条件代数化；

主要问题之二是根据方程研究曲线的形状、性质，即用代数的方法研究几何问题.

解：

设动点P的坐标为（x，y），由=a（a>

0）得=a，化简，得

（1－a2）x2+2c（1+a2）x+c2（1－a2）+（1－a2）y2=0.

当a=1时，方程化为x=0.

当a≠1时，方程化为（x－c）2+y2=（）2.

所以当a=1时，点P的轨迹为y轴；

当a≠1时，点P的轨迹是以点（c，0）为圆心，||为半径的圆.

评述：

本题主要考查直线、圆、曲线和方程等基本知识，考查运用解析几何的方法解决问题的能力，对代数式的运算化简能力有较高要求.同时也考查了分类讨论这一数学思想.

【例2】一圆与y轴相切，圆心在直线x－3y=0上，且直线y=x截圆所得弦长为2，求此圆的方程.

利用圆的性质：

半弦、半径和弦心距构成的直角三角形.

因圆与y轴相切，且圆心在直线x－3y=0上，故设圆方程为（x－3b）2+（y－b）2=9b2.

又因为直线y=x截圆得弦长为2，则有（）2+（）2=9b2，

解得b=±

1.故所求圆方程为

（x－3）2+（y－1）2=9或（x+3）2+（y+1）2=9.

在解决求圆的方程这类问题时，应当注意以下几点：

（1）确定圆方程首先明确是标准方程还是一般方程；

（2）根据几何关系（如本例的相切、弦长等）建立方程求得a、b、r或D、E、F；

（3）待定系数法的应用，解答中要尽量减少未知量的个数.

【例3】已知⊙O的半径为3，直线l与⊙O相切，一动圆与l相切，并与⊙O相交的公共弦恰为⊙O的直径，求动圆圆心的轨迹方程.

问题中的几何性质十分突出，切线、直径、垂直、圆心，如何利用这些几何性质呢？

取过O点且与l平行的直线为x轴，过O点且垂直于l的直线为y轴，建立直角坐标系.

设动圆圆心为M（x，y），

⊙O与⊙M的公共弦为AB，⊙M与l切于点C，则|MA|=|MC|.

∵AB为⊙O的直径，∴MO垂直平分AB于O.

由勾股定理得|MA|2=|MO|2+|AO|2=x2+y2+9，而|MC|=|y+3|，∴=|y+3|.

化简得x2=6y，这就是动圆圆心的轨迹方程.

求轨迹的步骤是“建系，设点，找关系式，除瑕点”.

●闯关训练

夯实基础

1.方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0）表示的曲线关于x+y=0成轴对称图形，则

A.D+E=0B.B.D+F=0

C.E+F=0D.D+E+F=0

曲线关于x+y=0成轴对称图形，即圆心在x+y=0上.

A

2.（xx年全国Ⅱ，8）在坐标平面内，与点A（1，2）距离为1，且与点B（3，1）距离为2的直线共有

A.1条B.2条C.3条D.4条

分别以A、B为圆心，以1、2为半径作圆，两圆的公切线有两条，即为所求.

B

3.（xx年黄冈市调研题）圆x2+y2+x－6y+3=0上两点P、Q关于直线kx－y+4=0对称，则k=____________.

圆心（－，3）在直线上，代入kx－y+4=0，得k=2.

4.（xx年全国卷Ⅲ，16）设P为圆x2+y2=1上的动点，则点P到直线3x－4y－10=0的距离的最小值为____________.

圆心（0，0）到直线3x－4y－10=0的距离d==2.

再由d－r=2－1=1，知最小距离为1.

1

5.（xx年启东市调研题）设O为坐标原点，曲线x2+y2+2x－6y+1=0上有两点P、Q，满足关于直线x+my+4=0对称，又满足·

=0.

（1）求m的值；

（2）求直线PQ的方程.

（1）曲线方程为（x+1）2+（y－3）2=9表示圆心为（－1，3），半径为3的圆.

∵点P、Q在圆上且关于直线x+my+4=0对称，

∴圆心（－1，3）在直线上.代入得m=－1.

（2）∵直线PQ与直线y=x+4垂直，

∴设P（x1，y1）、Q（x2，y2），PQ方程为y=－x+b.

将直线y=－x+b代入圆方程，得2x2+2（4－b）x+b2－6b+1=0.

Δ=4（4－b）2－4×

2×

（b2－6b+1）>

0，得2－3<

b<

2+3.

由韦达定理得x1+x2=－（4－b），x1·

x2=.

y1·

y2=b2－b（x1+x2）+x1·

x2=+4b.

∵·

=0，∴x1x2+y1y2=0，即b2－6b+1+4b=0.

解得b=1∈（2－3，2+3）.

∴所求的直线方程为y=－x+1.

6.已知实数x、y满足x2+y2+2x－2y=0，求x+y的最小值.

原方程为（x+1）2+（y－）2=4表示一个圆的方程，可设其参数方程为

（θ为参数，0≤θ<

2π），则x+y=－1+2（sinθ+cosθ）=－+1

x=－1+2cosθ，

y=+2sinθ

2sin（θ+），当θ=，即x=－1－，y=－时，x+y的最小值为－1－2.

培养能力

7.已知实数x、y满足方程x2+y2－4x+1=0.求

（1）的最大值和最小值；

（2）y－x的最小值；

（3）x2+y2的最大值和最小值.

（1）如图，方程x2+y2－4x+1=0表示以点（2，0）为圆心，以为半径的圆.

设=k，即y=kx，由圆心（2，0）到y=kx的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值.由=，解得k2=3.

所以kmax=，kmin=－.

（也可由平面几何知识，有OC=2，OP=，∠POC=60°

，直线OP的倾斜角为60°

，直线OP′的倾斜角为120°

解之）

（2）设y－x=b，则y=x+b，仅当直线y=x+b与圆切于第四象限时，纵轴截距b取最小值.由点到直线的距离公式，得

=，即b=－2±

，

故（y－x）min=－2－.

（3）x2+y2是圆上点与原点距离之平方，故连结OC，与圆交于B点，并延长交圆于C′，则（x2+y2）max=｜OC′｜=2+，

（x2+y2）min=｜OB｜=2－.

8.（文）求过两点A（1，4）、B（3，2），且圆心在直线y=0上的圆的标准方程.并判断点M1（2，3），M2（2，4）与圆的位置关系.

根据圆的标准方程，只要求得圆心坐标和圆的半径即可.

因为圆过A、B两点，所以圆心在线段AB的垂直平分线上.由kAB==－1，

AB的中点为（2，3），

故AB的垂直平分线的方程为y－3=x－2，即x－y+1=0.

又圆心在直线y=0上，因此圆心坐标是方程组

的解，即圆心坐标为（－1，0）.

x－y+1=0，

y=0

半径r==，

所以得所求圆的标准方程为（x+1）2+y2=20.

因为M1到圆心C（－1，0）的距离为=，|M1C|<

r，所以M1在圆C内；

而点M2到圆心C的距离|M2C|==>

，所以M2在圆C外.

（理）已知动圆M：

x2+y2－2mx－2ny+m2－1=0与圆N：

x2+y2+2x+2y－2=0交于A、B两点，且这两点平分圆N的圆周.

（1）求动圆M的圆心的轨迹方程；

（2）求半径最小时圆M的方程.

（1）如图所示（坐标系省略了），圆心N（－1，－1）为弦AB的中点，在Rt△AMN中，

|AM|2=|AN|2+|MN|2，

∴（m+1）2=－2（n+2）（*）

故动圆圆心M的轨迹方程为（x+1）2=－2（y+2）.

（2）由（*）式，知（m+1）2=－2（n+2）≥0，于是有n≤－2.

而圆M半径r=≥，

∴当r=时，n=－2，m=－1，所求圆的方程为（x+1）2+（y+2）2=5.

探究创新

9.（xx年黄冈市调研考试题）如图，在平面斜坐标系xOy中，∠xOy=60°

，平面上任一点P关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：

若=xe1+ye2（其中e1、e2分别为与x轴、y轴同方向的单位向量），则P点斜坐标