小学奥数排列组合Word格式.docx
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=1440(种).
(4)先排两边,再排剩下的5个位置,其中两边的小新和阿呆还可以互换位置.
(种).
(5)先排两边,从除小新、阿呆之外的5个人中选2人,再排剩下的5个人,
(6)七个人排成一排时,7个位置就是各不相同的.现在排成两排,不管前后排各有几个人,7个位置还是各不相同的,所以本题实质就是7个元素的全排列.
(7)可以分为两类情况:
“小新在前,阿呆在后”和“小新在前,阿呆在后”,两种情况是对等的,所以只要求出其中一种的排法数,再乘以2即可.4×
3×
×
2=2880(种).排队问题,一般先考虑特殊情况再去全排列。
【例2】用1、2、3、4、5、6可以组成多少个没有重复数字的个位是5的三位数?
【解析】个位数字已知,问题变成从从
个元素中取
个元素的排列问题,已知
,
,根据排列数公式,一共可以组成
(个)符合题意的三位数。
【巩固】用1、2、3、4、5这五个数字可组成多少个比
大且百位数字不是
的无重复数字的五位数?
1【解析】可以分两类来看:
⑴把3排在最高位上,其余4个数可以任意放到其余4个数位上,是4个元素全排列的问题,有
(种)放法,对应24个不同的五位数;
⑵把2,4,5放在最高位上,有3种选择,百位上有除已确定的最高位数字和3之外的3个数字可以选择,有3种选择,其余的3个数字可以任意放到其余3个数位上,有
种选择.由乘法原理,可以组成
(个)不同的五位数。
由加法原理,可以组成
【巩固】用0到9十个数字组成没有重复数字的四位数;
若将这些四位数按从小到大的顺序排列,则5687是第几个数?
【解析】从高位到低位逐层分类:
⑴千位上排
或
时,千位有
种选择,而百、十、个位可以从
中除千位已确定的数字之外的
个数字中选择,因为数字不重复,也就是从
个的排列问题,所以百、十、个位可有
(种)排列方式.由乘法原理,有
(个).
⑵千位上排
,百位上排
种选择,百位有
种选择,十、个位可以从剩下的八个数字中选择.也就是从
个的排列问题,即
,由乘法原理,有
⑶千位上排
,十位上排
时,个位也从剩下的七个数字中选择,有
⑷千位上排
时,比
小的数的个位可以选择
共
个.
综上所述,比
小的四位数有
(个),故比
小是第
个四位数.
【例3】用
、
这五个数字,不许重复,位数不限,能写出多少个3的倍数?
1【解析】按位数来分类考虑:
⑴一位数只有
个
;
⑵两位数:
由
与
四组数字组成,每一组可以组成
(个)不同的两位数,共可组成
(个)不同的两位数;
⑶三位数:
(个)不同的三位数,共可组成
(个)不同的三位数;
⑷四位数:
可由
这四个数字组成,有
(个)不同的四位数;
⑸五位数:
组成,共有
(个)不同的五位数.
由加法原理,一共有
(个)能被
整除的数,即
的倍数.
【巩固】用1、2、3、4、5、6六张数字卡片,每次取三张卡片组成三位数,一共可以组成多少个不同的偶数?
【解析】由于组成偶数,个位上的数应从
中选一张,有
种选法;
十位和百位上的数可以从剩下的
张中选二张,有
(种)选法.由乘法原理,一共可以组成
(个)不同的偶数.
【例4】某管理员忘记了自己小保险柜的密码数字,只记得是由四个非
数码组成,且四个数码之和是
,那么确保打开保险柜至少要试几次?
1【解析】四个非
数码之和等于9的组合有1,1,1,6;
1,1,2,5;
1,1,3,4;
1,2,2,4;
1,2,3,3;
2,2,2,3六种。
第一种中,可以组成多少个密码呢?
只要考虑
的位置就可以了,
可以任意选择
个位置中的一个,其余位置放
,共有
种选择;
第二种中,先考虑放
,有
种选择,再考虑
的位置,可以有
种选择,剩下的位置放
(种)选择同样的方法,可以得出第三、四、五种都各有
种选择.最后一种,与第一种的情形相似,
的位置有
种选择,其余位置放
种选择.
综上所述,由加法原理,一共可以组成
(个)不同的四位数,即确保能打开保险柜至少要试
次.
【例5】两对三胞胎喜相逢,他们围坐在桌子旁,要求每个人都不与自己的同胞兄妹相邻,(同一位置上坐不同的人算不同的坐法),那么共有多少种不同的坐法?
【解析】第一个位置在
个人中任选一个,有
(种)选法,第二个位置在另一胞胎的
人中任选一个,有
(种)选法.同理,第
个位置依次有
种选法.由乘法原理,不同的坐法有
【例6】一种电子表在6时24分30秒时的显示为6:
24:
30,那么从8时到9时这段时间里,此表的5个数字都不相同的时刻一共有多少个?
1【解析】设A:
BC
是满足题意的时刻,有A为8,B、D应从0,1,2,3,4,5这6个数字中选择两个不同的数字,所以有
种选法,而C、E应从剩下的7个数字中选择两个不同的数字,所以有
种选法,所以共有
=1260种选法。
从8时到9时这段时间里,此表的5个数字都不相同的时刻一共有1260个。
【例7】一个六位数能被11整除,它的各位数字非零且互不相同的.将这个六位数的6个数字重新排列,最少还能排出多少个能被11整除的六位数?
1【解析】设这个六位数为
,则有
的差为0或11的倍数.且a、b、c、d、e、f均不为0,任何一个数作为首位都是一个六位数。
先考虑a、c、e偶数位内,b、d、f奇数位内的组内交换,有
=36种顺序;
再考虑形如
这种奇数位与偶数位的组间调换,也有
=36种顺序。
所以,用均不为0的a、b、c、d、e、f最少可排出36+36=72个能被11整除的数(包含原来的
)。
所以最少还能排出72-1=71个能被11整除的六位数。
【例8】已知在由甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行的手工制作比赛中,决出了第一至第五名的名次.甲、乙两名参赛者去询问成绩,回答者对甲说:
“很遗憾,你和乙都未拿到冠军.”对乙说:
“你当然不会是最差的.”从这个回答分析,5人的名次排列共有多少种不同的情况?
1【解析】这道题乍一看不太像是排列问题,这就需要灵活地对问题进行转化.仔细审题,已知“甲和乙都未拿到冠军”,而且“乙不是最差的”,也就等价于
人排成一排,甲、乙都不站在排头且乙不站在排尾的排法数,因为乙的限制最多,所以先排乙,有
种排法,再排甲,也有
种排法,剩下的人随意排,有
(种)排法.由乘法原理,一共有
(种)不同的排法。
【例9】
名男生,
名女生,全体排成一行,问下列情形各有多少种不同的排法:
⑴甲不在中间也不在两端;
⑵甲、乙两人必须排在两端;
⑶男、女生分别排在一起;
⑷男女相间.
【解析】⑴先排甲,
个位置除了中间和两端之外的
个位置都可以,有
种选择,剩下的
个人随
意排,也就是
个元素全排列的问题,有
(种)选择.由乘法原理,共有
(种)排法.
⑵甲、乙先排,有
(种)排法;
剩下的
个人随意排,有
(种)排法.由乘法原理,共有
⑶分别把男生、女生看成一个整体进行排列,有
(种)不同排列方法,再分别对男生、女生内部进行排列,分别是
个元素与
个元素的全排列问题,分别有
(种)和
由乘法原理,共有
⑷先排
名男生,有
(种)排法,再把
名女生排到
个空档中,有
(种)排法。
【巩固】五位同学扮成奥运会吉祥物福娃贝贝、晶晶、欢欢、迎迎和妮妮,排成一排表演节目。
如果贝贝和妮妮不相邻,共有()种不同的排法。
1【解析】五位同学的排列方式共有5×
4×
2×
1=120(种)。
如果将相邻的贝贝和妮妮看作一人,那么四人的排列方式共有4×
1=24(种)。
因为贝贝和妮妮可以交换位置,所以贝贝和妮妮相邻的排列方式有24×
2=48(种);
贝贝和妮妮不相邻的排列方式有120-48=72(种)。
【例10】一台晚会上有
个演唱节目和
个舞蹈节目.求:
⑴当
个舞蹈节目要排在一起时,有多少不同的安排节目的顺序?
⑵当要求每
个舞蹈节目之间至少安排
个演唱节目时,一共有多少不同的安排节目的顺序?
【解析】⑴先将
个舞蹈节目看成
个节目,与
个演唱节目一起排,则是
(种)方法.第二步再排
个舞蹈节目,也就是
个舞蹈节
目全排列的问题,有
(种)方法.
根据乘法原理,一共有
⑵首先将
个演唱节目排成一列(如下图中的“□”),是
个元素全排列的问题,一共有
□×
第二步,再将
个舞蹈节目排在一头一尾或
个演唱节目之间(即上图中“×
”的位置),这相当于从
个“×
”中选
个来排,一共有
(种)方法。
【巩固】由
个不同的独唱节目和
个不同的合唱节目组成一台晚会,要求任意两个合唱节目不相邻,开始和最后一个节目必须是合唱,则这台晚会节目的编排方法共有多少种?
【解析】先排独唱节目,四个节目随意排,是
种排法;
其次在独唱节目的首尾排合唱节目,有三个节目,两个位置,也就是从三个节目选两个进行排列的问题,有
再在独唱节目之间的
个位置中排一个合唱节目,有
种排法.由乘法原理,一共有
(种)不同的编排方法.
【小结】排列中,我们可以先排条件限制不多的元素,然后再排限制多的元素.如本题中,独唱节目排好之后,合唱节目就可以采取“插空”的方法来确定排法了.总的排列数用乘法原理.把若干个排列数相乘,得出最后的答案。
【例11】⑴从1,2,…,8中任取