初中几何等腰三角形典型例题Word格式.docx
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2.等腰三角形的轴对称性。
通过折纸操作认识探索等腰三角形的轴对称性。
明确等腰三角形的对称轴是等腰三角形顶角平分线所在的直线(不是顶角平分线本身)。
根据轴对称图形的概念我们知道:
如果一个图形沿着某条直线对折后,直线两旁的部分能够完全重合,那么这个图形就叫轴对称图形。
如果在△ABC中,AB=AC,我们画出顶角∠BAC的平分线AD,沿着AD对折△ABC会发现什么结论?
通过操作显示出等腰△ABC是一个轴对称图形。
它的对称轴就是角平分线AD所在的直线。
(这里要注意到对称轴的概念——直线,而△ABC的顶角平分线是一条线段即这里的折痕,不能把它们混为一谈,同时也要把一般角的平分线——射线与它们区别开)。
3.推导等腰三角形的性质。
通过进一步实验、观察、交流等活动推导等腰三角形的性质,从而加深对轴对称变换的认识。
因为等腰三角形是轴对称图形,而图形轴对称变换是全等变换中的一种基本变换,所以如下图,△ABC中,若AB=AC,AD是△ABC的∠BAC的平分线,当我们沿AD折叠时,会发现AD两旁的△ABD与△ACD能够重合即△ABD≌△ACD。
再根据全等的性质可以得出一些对应相等的边、对应相等的角。
∠B=∠C,∠BDA=∠CDA=90°
BD=CD
追根溯源来看这些相等的边和相等的角是由什么条件带来的,就可以得出等腰三角形的性质。
4.掌握等腰三角形的下列性质:
等腰三角形的两个底角相等;
等腰三角形三线合一。
我们把在上述图形中由等腰三角形AB=AC这个条件出发,得出的角相等∠B=∠C,这条性质称为等腰三角形的两个底角相等。
(也称为:
同一个三角形中,等边对等角)。
由等腰三角形AB=AC和顶角平分线∠BAD=∠DAC这两个条件出发,得出BD=CD,∠BDA=∠CDA=90°
(即AD⊥BC于D),这条性质称为等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合,简称为等腰三角形三线合一。
5.会利用等腰三角形的性质进行简单的推理、判断、计算和作图。
利用等腰三角形的性质解题时,一定要注意正确地表述性质的条件和结论。
结合图形我们可以这样来表述:
如下图,△ABC中,
(1)∵ AB=AC,
∴ ∠B=∠C。
(等腰三角形的两底角相等。
)
(2)∵ AB=AC,∠BAD=∠DAC
∴ BD=CD且AD⊥BC。
或∵ AB=AC,BD=CD
∴ ∠BAD=∠DAC且AD⊥BC。
或∵AB=AC,AD⊥BC ∴ ∠BAD=∠DAC且BD=CD。
(等腰三角形三线合一)
三、【典型例题】
例题1.如图D在AC上,AB=AC,AD=DB,请指出图中的等腰三角形,以及它们的腰、底边、顶角及底角。
分析:
这里要根据条件来说明图形的名称,而不是凭直观和想象。
相等的两边叫腰,另一边叫底边;
两腰的夹角叫顶角,另外的两角叫底角。
解:
图中的等腰三角形有:
△ABC和△ADB。
它们的腰、底边、顶角、底角分别列表如下:
腰
底边
顶角
底角
△ABC
AB、AC
BC
∠BAC
∠CBA,∠C
△ADB
AD、DB
AB
∠BDA
∠BAD,∠ABD
注意:
在没有明确三角形的具体条件的情况下,关于等腰三角形的有关概念(腰、顶角等)有多种可能的结果存在。
如:
△ABC是等腰三角形,就有可能AB、AC是腰或AB、BC是腰或AC、BC是腰,相应的底边、顶角、底角也都会发生变化。
所以在叙述等腰三角形时,一般要明确指出相等的两边是哪两边。
例2.如下图,在△ABC中,AB=AC,D、E分别是AB、AC边上的点,且AD=AE,AP是△ABC的角平分线。
点D、E关于AP对称吗?
DE与BC平行吗?
说明理由。
根据等腰三角形的轴对称性研究下列问题:
(1)将等腰△ABC沿顶角平分线折叠时,线段AD与AE能重合吗?
为什么?
边AB与AC呢?
(2)AD与AE重合,AB与AC重合,说明点D与点E,点B与点C分别有怎样的位置关系?
(3)轴对称图形有什么性质?
由此可推出AP与DE,BC有怎样的位置关系?
那么DE与BC呢?
点D、E关于AP对称,且DE∥BC。
理由如下:
因为AP是∠BAC的平分线,AB=AC,AD=AE。
则当把图形沿直线AP对折时,线段AB与AC重合,线段AD与AE重合,所以点B、C关于直线AP对称,点D、E也关于直线AP对称,所以BC⊥AP,DE⊥AP,所以DE∥BC。
这里AB与AC重合以及AD与AE重合的理由是:
等腰三角形是轴对称图形,顶角平分线所在的直线是对称轴。
例3.在△ABC中,AB=AC,∠A=50°
,求∠B,∠C的度数
根据等腰三角形的性质:
两底角相等。
结合三角形的内角和等于180°
来计算。
在△ABC中,
∵AB=AC,
∴∠B=∠C(在一个三角形中等边对等角)
∵∠A+∠B+∠C=180°
,∠A=50°
∴∠B=∠C===65°
此题也可以用代数的方法(列方程)来解,其解题依据仍然是:
等腰三角形的两底角相等和三角形的内角和为180°
。
例4.已知线段a,h(如下图)用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使底边BC=a,BC边上的高线为h。
(1)假设图形已经作出,BC长已知,可以先作出BC边,要作等腰三角形ABC,关键是要作出哪一个点?
(2)已知BC边上的高的长度为h,你能作出BC边上的高线吗?
等腰三角形底边上的高线与中线有什么关系?
由此能确定顶点A的位置吗?
作法:
如下图。
1.作线段BC=a。
2.作线段BC的垂直平分线l,交BC于点D.
3.在直线 l上截取DA=h,连结AB,AC。
则△ABC就是所求的等腰三角形。
这里作图的依据是:
等腰三角形三线合一的性质。
更准确地理解三线合一的性质应该是“把等腰、底边上的高、底边上的中线、顶角平分线作为四个元素,从中任意取出两个元素当成条件,就可以得到另外两个元素作为结论”。
例5.已知在△ABC中,AB=AC,直线AE交BC于点D,O是AE上一动点但不与A重合,且OB=OC,试猜想AE与BC的关系,并说明你的猜想的理由。
猜想:
AE⊥BC,BD=CD
说理:
∵AB=AC(已知)
OB=OC(已知)
AO=AO(公共边)
∴△ABO≌△ACO(SSS)
∴∠BAO=∠CAO
∴AE⊥BC,BD=CD(等腰三角形底边上中线,底边上高线与顶角平分线互相重合)
等腰三角形的三线合一的性质其本质是等腰三角形是轴对称图形。
而轴对称又是全等变换中的基本形式,因此常用全等来研究等腰三角形中的问题。
例6.探索:
等腰三角形两底角的平分线大小关系。
已知:
如图,在△ABC中,AB=AC,BD、CE分别是两底角的平分线。
BD=CE.
∵AB=AC(已知),
∴∠ABC=∠ACB(在一个三角形中等边对等角)
∵BD、CE分别是两底角的平分线(已知)
∴∠DBC=∠ABC,∠ECB=∠ACB(角平分线的定义)
∴∠DBC=∠ECB,
在△DBC和△ECB中∠DBC=∠ECB,BC=CB(公共边),∠ABC=∠ACB,
∴△DBC≌△ECB(ASA)
∴BD=CE(全等三角形对应边相等)
等腰三角形除了顶角平分线、底边上的中线、底边上的高以外,还有其他一些相关的线段,探索它们之间的关系也属于等腰三角形性质的一部分,此例就是所做的一种探索,按照这种思路大家还可以对其他线段进行探索。
课后反思:
认识等腰三角形并不困难,但要正确表述却不容易。
特别是等腰三角形三线合一的性质的应用,很容易只给出一个条件,就得出结论。
应用等腰三角形性质进行说理正确的表述格式如下:
在△ABC中,如下图,∵AB=AC
在△ABC中,如下图
(1)∵AB=AC,∠1=∠2
∴AD⊥BC,BD=DC(等腰三角形三线合一)
(2)∵AB=AC,BD=DC
∴AD⊥BC,∠1=∠2(等腰三角形三线合一)
(3)∵AB=AC,AD⊥BC
∴BD=DC,∠1=∠2(等腰三角形三线合一)
【模拟试题】
(答题时间:
30分钟)
一.填空:
在△ABC中,AB=AC,D在BC上,
1.如果AD⊥BC,那么∠BAD=∠______,BD=_______。
2.如果∠BAD=∠CAD,BC=6cm,那么∠BDA=_____°
,BD=______cm。
3.如果BD=CD,那么∠BAD=∠_______,AD⊥______。
4.如果∠B=80°
,那么∠BAC=
5.在△ABC中,AB=AC,∠BAC=40°
,M是BC的中点,那么∠AMC=,∠BAM=
6.如下图,在△ABC中,AB=AC,∠DAC是△ABC的外角。
则:
∠BAC=180°
-∠B,∠B=()∠DAC=∠C。
7.如下图,在△ABC中,AB=AC,外角∠DCA=100°
,则∠B=°
8.如果等腰三角形有两边的长分别为12cm,5cm,这个三角形的周长是cm。
二.解答题
1.请写出周长为8cm,且边长均为整数的等腰三角形的各边长。
2.在等腰三角形ABC中,AB=AC,周长为14cm,AC边上的中线BD把△ABC分成了周长差为4cm的两个三角形,求△ABC各边长。
3.一个等腰三角形的两个内角度数之比为4∶1,求这个三角形各角度数。
4.如图已知AB=AC,BD=DC,AE平分∠CAF,试判断AE与AD的位置关系,并说明理由。
【试题答案】
一.填空
1.∠CAD,CD
2.90,3
3.∠CAD,BC
4.20°
5.90°
,20°
;
6.2180°
-∠BAC2
7.80°
8.29
1.解:
等腰三角形的三边长分别为:
2,3,3(Cm)
2.解:
如图,设AD=x,则DC=x,AB=2x。
设BC=y。
由题意可以列方程:
解之得:
x=3,y=2
或
x=5/3,y=22/3
显然第二种情况不符合“三角形两边之和大于第三边”,所以舍去。
所以△ABC的三边长分别为:
AB=AC=2x=6cm,BC=y=2cm.
3.解:
△ABC中AB=AC,所以∠C=∠B
若∠BAC∶∠B=4∶1
∠BAC+∠B+∠C=6∠B=180°
所以∠B=30°
=∠C,∠BAC=120°
若∠B∶∠BAC=4∶1
∠BAC+∠B+∠C=9∠BAC=180°
所以∠BAC=20°
,∠B=∠C=80°
4.解:
AE⊥AD。
说理如下:
因为AB=AC,