空间立体几何的证明与计算Word文档格式.docx
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7．如图，四棱锥的底面为菱形，平面，，，、分别为、的中点．
（2）求三棱锥的体积．
8．如图，直三棱柱中，，，D是棱上的动点．
（Ⅰ）证明：
（Ⅱ）若平面BDC1分该棱柱为体积相等的两个部分，试确定点D的位置，并求二面角的大小．
9．如图，在四面体中，平面平面，90°
．，，分别为棱，，的中点．
平面平面．
10．如图所示，在三棱锥中，，平面⊥平面，．
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
11．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，PC⊥底面ABCD，PC=AB=2AD=2CD=2，E是PB的中点．
（Ⅰ）求证：
平面EAC⊥平面PBC；
（Ⅱ）求二面角P-AC-E的余弦值；
（Ⅲ）求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．
参考答案
1．
（1）证明见解析；
（2）证明见解析．
【解析】
试题分析：
（1）与的交点为，连结，利用三角形的中位线得到线线平行，再利用线面平行的判定定理进行证明；
（2）利用勾股定理证明底面三角形为直角三角形，得到，再利用直三棱柱得到，利用线面垂直的判定定理证明线面垂直，进而证明线线垂直．
解题思路:
证明空间中的线线、线面平行或垂直时，要注意利用平面几何中的平行或垂直关系，即立体问题平面化．
试题解析：
（1）设与的交点为，连结，
∵是的中点，是的中点，∴，
∵，，
∴6分
（2）在直三棱柱，
∵底面三边长，，，∴，8分
又直三棱柱中，且10分
∴12分
而∴；
13分
考点：
1．线面平行的判定定理；
2．线面垂直的判定定理与性质．
2．
（1）详见解析
（2）详见解析
（1）中首先利用三角形中位线得到，进而由，利用两线平行推出线面平行的判定定理得到平面
（2）中由等腰得到，利用平面得到，所以平面，
（1）∵、分别为、的中点，
∴，2分
又∵，∴．4分
又∵平面，平面，
∴平面6分
（2）∵为等腰底边上的中线，∴．
∵平面，平面，∴．
又∵，且，∴平面．
又平面，∴．10分
∵，，且，∴平面．
又平面，∴。
13分
1．线面平行的判定；
2．线面垂直的判定与性质
3．
（1）详见解析；
（2）
（1）证明两平面互相垂直，一般方法是在其中一个平面中找到一条垂直于另一条平面线段，这样就能将面与面垂直转化成求线与面的垂直；
（2）求点到平面的距离，需要过此点做一条垂直于平面的线段，这条线段即为点到平面的距离，此题重要的是找到这条线段，而从点向作一条垂直于的线段正好为此点到平面的高线。
（1）因为为正三角形且为中点，所以；
又因为底面且平面，所以，所以根据定理知道平面；
又因为过平面，所以得到平面⊥平面。
（2）从点向作一条垂直于的线段交于E，因为，又因为在第一问中证得平面，所以，平面；
所以点A到面BC1D的距离即为的长度。
又因为AA1=AB=2，且为正三角形，所以得到、，那么由相似于，所以，解得。
1．线与面垂直的判定；
2．相似三角形和勾股定理
4．
（1）见解析
（2）见解析（3）
（1）利用线面平行的判定定理，线线平行，线面平行，做辅助线，取BC中点M，连结FM，，根据平行的传递性，可证四边形为平行四边形，,
（2）两平面垂直，其中一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面，根据这一定理，连,易证CE⊥，∥．，根据定理得证；
（3）连接，∵四边形是平行四边形，所以四棱锥，利用CE⊥面ABC，=．
取BC中点M，连结FM，．在△ABC中，
∵F，M分别为BA，BC的中点，
∴FMAC．
∵E为的中点，AC
∴FM．
∴四边形为平行四边形∴．
∵平面，平面，∴EF∥平面．4分；
连接，∵四边形是菱形，
∴△为等边三角形∵E是的中点．
∴CE⊥∵四边形是菱形,∴∥．
∴CE⊥．∵侧面⊥底面ABC,且交线为AC，面
∴CE⊥面ABC8分；
（3）连接，∵四边形是平行四边形，所以四棱锥
由第
（2）小问的证明过程可知面ABC
∵斜三棱柱中，∴面ABC∥面．∴面
∵在直角△中，，∴
∴
∴四棱锥=12分；
1．线面平行的判定2．线面垂直的判定3．面面垂直的性质4．体积公式
5．
（1）详见解析；
（2）
（1）证明一条直线与平面平行，只需要在这个平面内找到一条同此直线平行的线即可；
（2）求一条直线与另一个平面的夹角正弦值，我们可以把其转化为求这条直线与另一条与平面垂直的直线的余弦值即可。
（1）因为，分别为棱，的中点，所有根据三角形的中位线定理得到；
又因为，所以根据平行的传递性得到；
又因为，所以∥平面。
（2）因为且，所以平面；
求与平面的正弦值，即可以转化为求与的余弦值；
又因为，所以与所在的三角形是正三角形；
那么两条直线的余弦值就是。
1．直线与平面平行的判定；
2．直线与平面所成角的求解。
6．见解析.
第一问根据线面平行的判定定理的内容，重点找出相应的平行线即可得出结果，第二问注意应用好空间的垂直关系的转化，注意与垂直相关的定理和结论理解透彻即可.
（1）取的中点，连结、，1分
是等腰直角三角形，，
，，2分
又平面平面，平面平面，
平面，3分
由已知得平面，
，4分
又，
四边形为平行四边形，5分
，6分
而平面，平面，
平面.7分
（2）为的中点，为等边三角形，
，8分
由
（1）知平面，而平面，
可得，9分
，
平面，10分
而平面，
，11分
，12分
而，，
平面，13分
又平面，
.14分
空间点、线、面的位置关系，空间想象能力、运算能力和逻辑推理能力．
7．
（1）见试题解析；
（1）要证明平面,可证明,；
（2）由及可得.
（1）连结,由已知得△与△都是正三角形,
所以,,,（1分）
因为∥,所以,（2分）
又平面,所以,（4分）
因为,所以平面．（6分）
因为，（2分）
且，（4分）
所以，．
1.线面垂直的证明；
2三棱锥的体积.
8．（Ⅰ）详见解析；
（Ⅱ）
（Ⅰ）由直棱锥可得平面，从而可得，由直角可得。
根据线面垂直的判定定理可证得平面，从而可得．（Ⅱ）根据体积关系可计算得出为中点．以为空间坐标原点，为轴正向、为轴正向、为轴正向，建立空间直角坐标系，设的长为1，则可得各点的坐标．从而可得各向量的坐标．根据两向量垂直数量积为0可分别求得面和面的法向量．从而可求得两法向量夹角的余弦值．从而可得两法向量夹角．所求二面角为锐角等于两法向量的夹角或其补角．
解：
（Ⅰ）平面，（1分）
又，即，
∴平面，
又平面，∴；
（4分）
（Ⅱ）∵，
依题意，
∴，为中点；
（7分）
（法1）取的中点，过点作于点，连接
，面面面
，得点与点重合，且是二面角的平面角．（10分）
设，则，，得二面角的大小为．
（12分）
（法2）以为空间坐标原点，为轴正向、为轴正向、为轴正向，建立空间直角坐标系，设的长为1，则（8分）
作中点，连结，则，从而平面，平面的一个法向量（9分）
设平面的一个法向量为，则
∴，令，得，∴
故二面角为．（12分）
1线面垂直；
2二面角．
9．
（1）详见解析；
（2）详见解析；
（1）要证线面平行，可以寻找线线平行，而由三角形中位线可得线线平行；
（2）要证面面垂直可以寻找线面垂直，而已知面面垂直，由此可推得线面垂直；
（1）因为，分别为棱，的中点，所以，
又平面，平面，故平面．
（2）因为，分别为棱，的中点，所以，又°
，故．
因为平面平面，平面平面，且平面，
所以平面．又平面，平面平面．
1.线面平行的判定定理；
2.面面垂直的判定定理与性质定理；
10．
（1），
（2）直线与平面所成角的正弦值等于.
（1）为了证明平面，则需利用平面⊥平面，为此过做⊥于，由两个平面垂直的性质定理，可得⊥平面，进而得到⊥平面，又⊥，⊥，故平面
（2）作出直线与平面所成角，为此连结，⊥平面，则为求直线与平面所成角，在中计算即可得到
（1）过做⊥于
平面⊥平面，平面平面
⊥平面
⊥
又⊥
平面
（2）⊥平面连结
则为求直线与平面所成角
又
又
直线与平面所成角的正弦值等于.
线面垂直的判定，直线与平面所成的角
11．（Ⅰ）见解析；
（Ⅱ）．（Ⅲ）．
（Ⅰ）由PC⊥平面ABCD，得到AC⊥PC．
由AC2+BC2=AB2，得到AC⊥BC．AC⊥平面PBC．
即得平面EAC⊥平面PBC．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知AC⊥平面PBC，
根据AC⊥CP，AC⊥CE，知∠PCE即为二面角P-AC-E的平面角．
在△PCB中，得到PE=CE=，由余弦定理得
（Ⅲ）作PF⊥CE，F为垂足．
由（Ⅰ）知平面EAC⊥平面PBC，推出PF⊥平面EAC，连接AF，
得到∠PAF就是直线PA与平面EAC所成角．11分
由sin∠PAF=得到直线PA与平面EAC所成角的正弦值．
（Ⅰ）∵PC⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴AC⊥PC．
∵AB=4，AD=CD=2，∴AC=BC=．
∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC．
又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC．
∵AC平面EAC，
∴平面EAC⊥平面PBC．4分
∴AC⊥CP，AC⊥CE，
∴∠PCE即为二面角P-AC-E的平面角．6分
∵PC=AB=2AD=2CD=2，
∴在△PCB中，可得PE=CE=，
∴==．9分
由（Ⅰ）知平面EAC⊥平面PBC，
∵平面平面EAC∩平面PBC=CE，
∴PF⊥平面EAC，连接AF，
则∠PAF就是直线PA与平面EAC所成角．11分
由（Ⅱ）知CE=，∴PF=，
∴sin∠PAF==，
即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为．13分
1.垂直关系；
2.空间的角.
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