学年高中数学人教A版选修22阶段质量检测一 导数及其应用 Word版含答案Word格式.docx

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B.

C.

，

D.

选A　∵f′（x）＝2x－

＝

，当0＜x≤

时，f′（x）≤0，故f（x）的单调递减区间为

5．函数f（x）＝3x－4x3（x∈[0,1]）的最大值是（　　）

A．1B.

C．0D．－1

选A　f′（x）＝3－12x2，令f′（x）＝0，

则x＝－

（舍去）或x＝

，f（0）＝0，f

（1）＝－1，

f

－

＝1，∴f（x）在[0,1]上的最大值为1.

6．函数f（x）＝x3＋ax2＋3x－9，已知f（x）在x＝－3处取得极值，则a＝（　　）

A．2B．3

C．4D．5

选D　f′（x）＝3x2＋2ax＋3，∵f′（－3）＝0.

∴3×

（－3）2＋2a×

（－3）＋3＝0，∴a＝5.

7．函数f（x）＝

ax3＋

ax2－2ax＋1的图象经过四个象限，则实数a的取值范围是（　　）

选D　f′（x）＝ax2＋ax－2a＝a（x＋2）（x－1），

要使函数f（x）的图象经过四个象限，则f（－2）f

（1）<

0，即

<

0，解得a<

或a>

.

故选D.

8.已知函数f（x）的导函数f′（x）＝a（x－b）2＋c的图象如图所示，则函数f（x）的图象可能是（　　）

选D　由导函数图象可知，当x<

0时，函数f（x）递减，排除A、B；

当0<

x<

x1时，f′（x）>

0，函数f（x）递增．因此，当x＝0时，f（x）取得极小值，故选D.

9．定义域为R的函数f（x）满足f

（1）＝1，且f（x）的导函数f′（x）>

，则满足2f（x）<

x＋1的x的集合为（　　）

A．{x|－1<

1}B．{x|x<

1}

C．{x|x<

－1或x>

1}D．{x|x>

选B　令g（x）＝2f（x）－x－1，∵f′（x）>

∴g′（x）＝2f′（x）－1>

0，∴g（x）为单调增函数，

∵f

（1）＝1，∴g

（1）＝2f

（1）－1－1＝0，∴当x<

1时，

g（x）<

0，即2f（x）<

x＋1，故选B.

10．某产品的销售收入y1（万元）是产量x（千台）的函数：

y1＝17x2，生产成本y2（万元）是产量x（千台）的函数：

y2＝2x3－x2（x＞0），为使利润最大，应生产（　　）

A．6千台B．7千台

C．8千台D．9千台

选A　设利润为y，则y＝y1－y2＝17x2－（2x3－x2）＝18x2－2x3，y′＝36x－6x2，令y′＝0得x＝6或x＝0（舍），f（x）在（0,6）上是增函数，在（6，＋∞）上是减函数，∴x＝6时y取得最大值．

11．已知定义在R上的函数f（x），f（x）＋x·

f′（x）＜0，若a＜b，则一定有（　　）

A．af（a）＜bf（b）B．af（b）＜bf（a）

C．af（a）＞bf（b）D．af（b）＞bf（a）

选C　[x·

f（x）]′＝x′f（x）＋x·

f′（x）＝f（x）＋x·

f′（x）＜0，

∴函数x·

f（x）是R上的减函数，

∵a＜b，∴af（a）＞bf（b）．

12．若函数f（x）＝

，且0<

x1<

x2<

1，设a＝

，b＝

，则a，b的大小关系是（　　）

A．a>

bB．a<

b

C．a＝bD．a，b的大小不能确定

选A　f′（x）＝

，令g（x）＝xcosx－sinx，则g′（x）＝－xsinx＋cosx－cosx＝－xsinx.

∵0<

1，∴g′（x）<

0，即函数g（x）在（0,1）上是减函数，得g（x）<

g（0）＝0，故f′（x）<

0，函数f（x）在（0,1）上是减函数，得a>

b，故选A.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中的横线上）

13．若f（x）＝

x3－f′

（1）x2＋x＋5，则f′

（1）＝________.

f′（x）＝x2－2f′

（1）x＋1，令x＝1，得f′

（1）＝

答案：

14．设a＞0，若曲线y＝

与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积为a2，则a＝__________.

S＝

dx＝

x

a

＝a2，∴a＝

15．已知函数f（x）满足f（x）＝f（π－x），且当x∈

时，f（x）＝x＋sinx，设a＝f

（1），b＝f

（2），c＝f（3），则a，b，c的大小关系是________．

f

（2）＝f（π－2），f（3）＝f（π－3），

因为f′（x）＝1＋cosx≥0，

故f（x）在

上是增函数，

∵

>

π－2>

1>

π－3>

0，

∴f（π－2）>

f

（1）>

f（π－3），即c<

a<

b.

c<

16．若函数f（x）＝

在区间（m,2m＋1）上单调递增，则实数m的取值范围是__________．

f′（x）＝

，令f′（x）＞0，得－1＜x＜1，

即函数f（x）的增区间为（－1,1）．

又f（x）在（m,2m＋1）上单调递增，

所以

解得－1＜m≤0.

（－1,0]

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分12分）若函数y＝f（x）在x＝x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y＝f（x）的极值点．已知a，b是实数，1和－1是函数f（x）＝x3＋ax2＋bx的两个极值点．

（1）求a和b的值；

（2）设函数g（x）的导函数g′（x）＝f（x）＋2，求g（x）的极值点．

解：

（1）由题设知f′（x）＝3x2＋2ax＋b，

且f′（－1）＝3－2a＋b＝0，f′

（1）＝3＋2a＋b＝0，

解得a＝0，b＝－3.

（2）由

（1）知f（x）＝x3－3x.

因为f（x）＋2＝（x－1）2（x＋2），

所以g′（x）＝0的根为x1＝x2＝1，x3＝－2，

于是函数g（x）的极值点只可能是1或－2.

当x＜－2时，g′（x）＜0；

当－2＜x＜1时，

g′（x）＞0，故－2是g（x）的极值点．

当－2＜x＜1或x＞1时，g′（x）＞0，

故1不是g（x）的极值点．

所以g（x）的极值点为－2.

18.（本小题满分12分）（北京高考）设函数f（x）＝xea－x＋bx，曲线y＝f（x）在点（2，f

（2））处的切线方程为y＝（e－1）x＋4.

（1）求a，b的值；

（2）求f（x）的单调区间．

（1）因为f（x）＝xea－x＋bx，

所以f′（x）＝（1－x）ea－x＋b.

依题设有

即

解得

（2）由

（1）知f（x）＝xe2－x＋ex.

由f′（x）＝e2－x（1－x＋ex－1）及e2－x>

0知，

f′（x）与1－x＋ex－1同号．

令g（x）＝1－x＋ex－1，则g′（x）＝－1＋ex－1.

所以当x∈（－∞，1）时，g′（x）<

g（x）在区间（－∞，1）上单调递减；

当x∈（1，＋∞）时，g′（x）>

g（x）在区间（1，＋∞）上单调递增．

故g

（1）＝1是g（x）在区间（－∞，＋∞）上的最小值，

从而g（x）>

0，x∈（－∞，＋∞）．

综上可知，f′（x）>

0，x∈（－∞，＋∞），

故f（x）的单调递增区间为（－∞，＋∞）．

19．（本小题满分12分）某个体户计划经销A，B两种商品，据调查统计，当投资额为x（x≥0）万元时，在经销A，B商品中所获得的收益分别为f（x）万元与g（x）万元，其中f（x）＝a（x－1）＋2，g（x）＝6ln（x＋b）（a＞0，b＞0）．已知投资额为零时收益为零．

（2）如果该个体户准备投入5万元经销这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大利润．

（1）由投资额为零时收益为零，

可知f（0）＝－a＋2＝0，g（0）＝6lnb＝0，

解得a＝2，b＝1.

（2）由

（1）可得f（x）＝2x，g（x）＝6ln（x＋1）．

设投入经销B商品的资金为x万元（0＜x≤5），

则投入经销A商品的资金为（5－x）万元，

设所获得的收益为S（x）万元，

则S（x）＝2（5－x）＋6ln（x＋1）

＝6ln（x＋1）－2x＋10（0＜x≤5）．

S′（x）＝

－2，令S′（x）＝0，得x＝2.

当0＜x＜2时，S′（x）＞0，函数S（x）单调递增；

当2＜x≤5时，S′（x）＜0，函数S（x）单调递减．

所以当x＝2时，函数S（x）取得最大值，

S（x）max＝S

（2）＝6ln3＋6≈12.6万元．

所以，当投入经销A商品3万元，B商品2万元时，

他可获得最大收益，收益的最大值约为12.6万元．

20．（本小题满分12分）已知函数f（x）＝ax2＋2ln（1－x）（a为常数）．

（1）若f（x）在x＝－1处有极值，求a的值并判断x＝－1是极大值点还是极小值点；

（2）若f（x）在[－3，－2]上是增函数，求a的取值范围．

（1）f′（x）＝2ax－

，x∈（－∞，1），

f′（－1）＝－2a－1＝0，

所以a＝－

f′（x）＝－x－

∵x<

1，∴1－x>

0，x－2<

因此，当x<

－1时f′（x）>

当－1<

1时f′（x）<

∴x＝－1是f（x）的极大值点．

（2）由题意f′（x）≥0在x∈[－3，－2]上恒成立，

即2ax－

≥0在x∈[－3，－2]上恒成立

∴a≤

在x∈[－3，－2]上恒成立，

∵－x2＋x＝－

2＋

∈[－12，－6]，

∴

∈

min＝－

，a≤－

即a的取值范围为

21．（本小题满分12分）已知函数f（x）＝x2－mlnx，h（x）＝x2－x＋a.

（1）当a＝0时，f（x）≥h（x）在（1，＋∞）上恒成立，求实数m的取值范围；

（2）当m＝2时，若函数k（x）＝f（x）－h（x）在区间（1,3）上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围．

（1）由f（x）≥h（x），

得m≤

在（1，＋∞）上恒成立．

令g（x）＝

，则g′（x）＝

当x∈（1，e）时，g′（x）＜0；

当x∈（e，＋∞）时，g′（x）＞0，

所以g（x）在（1，e）上递减，在（e，＋∞）上递增．