实际问题与一元二次方程含答案Word格式文档下载.docx

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是指列方程，根据等量关系列出方程.

（4）解：

就是解所列方程，求出未知量的值.

（5）验：

是指检验所求方程的解是否正确，然后检验所得方程的解是否符合实际意义，不满足要求的应舍去.

（6）答：

即写出答案，不要忘记单位名称.

总之，找出相等关系的关键是审题，审题是列方程（组）的基础，找出相等关系是列方程（组）解应用题的关键.

针对练习1:

某城市2006年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到2008年底增加到363公顷．设绿化面积平均每年的增长率为x，由题意，所列方程正确的是（　）

A．300（1＋x）=363B．300（1＋x）2=363

C．300（1＋2x）=363D．363（1－x）2=300

【解析】B设平均增长百分率为x，由题意知基数为300公顷，则到2004年底的绿化面积为：

300+300x=300（1+x）（公顷）；

到2008年底的绿化面积为：

300（1+x）+300（1+x）x=300（1+x）2公顷，而到2008年底绿化面积为363公顷，所以300（1＋x）2=363．

点击二：

一元二次方程根与系数的关系

一元二次方程根与系数的关系。

．

针对练习2:

先阅读，再填空解题：

（1）方程：

x2－x－2=0的根是：

x1=－1,x2=2，则x1+x2=1，x1·

x2=-2；

（2）方程2x2－7x+3=0的根是：

x1=

x2=3，则x1+x2=

，x1·

x2=

；

（3）方程x2－3x+1=0的根是：

x1=,x2=.

则x1+x2=，x1·

x2=；

根据以上

（1）

（2）（3）你能否猜出：

如果关于x的一元二次方程mx2+nx+p=0（m≠0且m、n、p为常数）的两根为x1、x2，那么x1+x2、x1、x2与系数m、n、p有什么关系？

请写出来你的猜想并说明理由.

【解析】本题首先请同学们阅读两个一元二次方程的两根之和、两根之积与系数之间的关系，再通过第3个方程的两根之和、两根之积与系数之间的关系特点，归纳猜想出一元二次方程的两个根与系数的关系.

【解答】③

猜想

∵一元二次方程mx2+nx+p=0（m≠0，且m，n，p为常数）的两个实数根是

∴

，

【评注】本题是探索一元二次方程根与系数之间的关系.关于x的一元二次方程mx2+nx+p=0（m≠0，且m，n，p为常数）的两根为x1，x2，那么

由方程①，②，③的根与系数的关系特点，通过观察、比较、猜想发现一般性规律，并进行验证，培养同学们由特殊到一般的数学思想方法.

类型之一：

建立一元二次方程模型解应用题

例1甲、乙两人分别骑车从A、B两地相向而行，甲先行1小时后，乙才出发，又经过4小时两人在途中的C地相遇，相遇后两人按原来的方向继续前进.乙在由C地到达A地的途中因故停了20分钟，结果乙由C地到达A地时比甲由C地到达B地还提前了40分钟，已知乙比甲每小时多行驶4千米，求甲、乙两人骑车的速度.

【解答】设甲的速度为x千米/时，则乙的速度为（x+4）千米/时.

根据题意，得

解之,得x1=16，x2=－2.

经检验：

x1=16，x2=－2都是原方程的根，但x2=－2不合题意，舍去.

∴当x=16时，x+4=20.

答：

甲每小时行驶16千米，乙每小时行驶20千米.

例2某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？

【解析】设每件衬衫降价x元，则每件衬衫盈利（40―x）元，降价后每天可卖出（20+2x）件，由关系式：

总利润=每个商品的利润×

售出商品的总量，可列出方程．

【解答】设每件衬衫降价x元，

依题意，得（40―x）（20+2x）=1200，

整理得：

x2―30x+200=0，

解得：

x1=10，x2=20，

因为要尽快减少库存，所以x=10舍去．

每件衬衫应降价20元．

类型之二：

一元二次方程的根的判别式的应用

例3阅读材料：

如果，是一元二次方程

的两根，那么有

.这是一元二次方程根与系数的关系，我们利用它可以用来解题，例如

是方程

的两根，求

的值.解法可以这样：

则

.

请你根据以上解法解答下题：

已知

的两根，求：

（1）

的值；

（2）

的值.

【解析】先由公式x1+x2=

x1x2=

求出x1+x2,x1x2,再化

+

化为

（x1－x2）2化为（x1+x2）2－4x1x2.

【答案】∵x1+x2=4,x1x2=2.

（1）

+

=

=2.

（2）（x1－x2）2=（x1+x2）2－4x1x2=42－4×

2=8.

【感悟】本题属于阅读理解题,解此类问题关键理解材料中知识与方法,从中获得知识迁移.

类型之三：

综合应用

例4.某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件．

（1）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？

（2）设后来该商品每件降价x元，商场一天可获利润y元．

①若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？

②求出y与x之间的函数关系式，并通过画该函数图像的草图，观察其图像的变化趋势，结合题意写出当x取何值时，商场获利润不少于2160元？

【解析】本题是以商场经营为素材的利润问题，解题的关键是理解降价与销售数量增加量之间的关系，根据每天盈利的计算，即“每天盈利＝每件的利润×

销售数量”作为等量关系列方程或列函数关系式，第

（2）的第②小题，考查了函数及其图象，并用图象确定商场获利润不少于2160元的x的取值范围，体现了数形结合的数学思想。

【解答】

若商店经营该商品不降价，则一天可获利润100×

（100－80）＝2000（元）

①依题意得：

（100－80－x）（100+10x）＝2160

即x－10x+16=0

x=2,x=8

x=2,x=8都是方程的解，且符合题意.

商店经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价2元或8元.

②依题意得：

y=（100－80－x）（100+10x）

∴y=－10x+100x+2000=－10（x－5）+2250

画草图（略）

观察图像可得：

当2≤x≤8时，y≥2160

∴当2≤x≤8时，商店所获利润不少于2160元．

1.如果一个不为零的数的平方等于这个数的两倍,那么这个数是（）

A.偶数B.奇数C.偶数或奇数D.不一定是整数

【解析】A设这个数为x.由题意,得x2=2x,解得x1=0,x2=2.故选A.

2.在一幅长80cm,宽50cm的矩形风景画的四周镶上一条金色纸边,制成一幅矩形挂图,如图所示.如果要使整个挂图的面积是5400cm2,设金色纸边的宽为xcm,那么x满足的方程是（）

A.x2+130x－1400=0B.x2+65x－350=0

C.x2－130x－1400=0D.x2－65x－350=0

【解析】B上、下两条金色纸边的面积一样,左、右两条金色纸边的面积一样,∴2（80+x）·

x+2（50+x）·

x+80×

50=5400.

3.恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率．

【解析】这是一道正增长率问题，对于正的增长率问题，在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义，即可利用公式m（1+x）2＝n求解，其中m＜n．对于负的增长率问题，若经过两次相等下降后，则有公式m（1－x）2＝n即可求解，其中m＞n．

【解答】设这两个月的平均增长率是x．，则根据题意，得200（1－20%）（1+x）2＝193.6，

即（1+x）2＝1.21，解这个方程，得x1＝0.1，x2＝－2.1（舍去）．

这两个月的平均增长率是10%．

4.若

的两个实数根，则

的值为（）

Ａ．2005Ｂ．2003Ｃ．－2005Ｄ．4010

【解析】B由于所求的两根代数式非对称，故只用韦达定理难于解决，结合根的定义，把

化为对称式．因为是方程

的根，故

，从而

，所以

=2005＋α＋β，而α＋β＝－2，故

＝2003.

1.从一块正方形的铁片上剪掉2cm宽的长方形铁片，剩下的面积是48cm2，则原来铁片的面积是（）

A.64cm2B.100cm2C.121cm2D.144cm2

【解析】A本题用间接设元法较简便，设原铁片的边长为xcm.由题意，得x（x－2）=48，解得x1=－6（舍去），x2=8.∴x2=64，即正方形面积为64cm2.

2.如图，某工厂直角墙角处，用可建60米长围墙的建筑材料围成一个矩形堆货场地，中间用同样的材料分隔成两间，问AB为多长时，所围成的矩形面积是450平方米？

【解析】等量关系为：

长×

宽=450，如果设AB为x米，那么BC的长可表示为（60－2x）米，根据矩形的面积公式可列出方程.

【解答】设AB的长为x米，则BC=（60－2x）米.

根据题意，得x（60－2x）=450.解得x=15.即AB=15米.

AB为15米时，所围成的矩形面积是450平方米.

3.某厂制造某种商品,原来每件产品的成本是100元,由于不断改进设备,提高生产技术,连续两次降低成本,两次降价后的成本是81元,则平均每次降低成本的百分率是（）

A.8.5%B.9%C.9.5%D.10%

【解析】D降低百分率与增长率问题类似,这里依据的基本等量关系为基础数×

（1－降低率）降低次数=降低后的数量.

5.某厂制造某种商品，原来每件产品的成本是100元，由于不断改进设备，提高生产技术，连续两次降低成本，两次降价后的成本是8