实际问题与一元二次方程含答案Word格式文档下载.docx
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是指列方程,根据等量关系列出方程.
(4)解:
就是解所列方程,求出未知量的值.
(5)验:
是指检验所求方程的解是否正确,然后检验所得方程的解是否符合实际意义,不满足要求的应舍去.
(6)答:
即写出答案,不要忘记单位名称.
总之,找出相等关系的关键是审题,审题是列方程(组)的基础,找出相等关系是列方程(组)解应用题的关键.
针对练习1:
某城市2006年底已有绿化面积300公顷,经过两年绿化,绿化面积逐年增加,到2008年底增加到363公顷.设绿化面积平均每年的增长率为x,由题意,所列方程正确的是( )
A.300(1+x)=363B.300(1+x)2=363
C.300(1+2x)=363D.363(1-x)2=300
【解析】B设平均增长百分率为x,由题意知基数为300公顷,则到2004年底的绿化面积为:
300+300x=300(1+x)(公顷);
到2008年底的绿化面积为:
300(1+x)+300(1+x)x=300(1+x)2公顷,而到2008年底绿化面积为363公顷,所以300(1+x)2=363.
点击二:
一元二次方程根与系数的关系
一元二次方程根与系数的关系。
.
针对练习2:
先阅读,再填空解题:
(1)方程:
x2-x-2=0的根是:
x1=-1,x2=2,则x1+x2=1,x1·
x2=-2;
(2)方程2x2-7x+3=0的根是:
x1=
x2=3,则x1+x2=
,x1·
x2=
;
(3)方程x2-3x+1=0的根是:
x1=,x2=.
则x1+x2=,x1·
x2=;
根据以上
(1)
(2)(3)你能否猜出:
如果关于x的一元二次方程mx2+nx+p=0(m≠0且m、n、p为常数)的两根为x1、x2,那么x1+x2、x1、x2与系数m、n、p有什么关系?
请写出来你的猜想并说明理由.
【解析】本题首先请同学们阅读两个一元二次方程的两根之和、两根之积与系数之间的关系,再通过第3个方程的两根之和、两根之积与系数之间的关系特点,归纳猜想出一元二次方程的两个根与系数的关系.
【解答】③
猜想
∵一元二次方程mx2+nx+p=0(m≠0,且m,n,p为常数)的两个实数根是
∴
,
【评注】本题是探索一元二次方程根与系数之间的关系.关于x的一元二次方程mx2+nx+p=0(m≠0,且m,n,p为常数)的两根为x1,x2,那么
由方程①,②,③的根与系数的关系特点,通过观察、比较、猜想发现一般性规律,并进行验证,培养同学们由特殊到一般的数学思想方法.
类型之一:
建立一元二次方程模型解应用题
例1甲、乙两人分别骑车从A、B两地相向而行,甲先行1小时后,乙才出发,又经过4小时两人在途中的C地相遇,相遇后两人按原来的方向继续前进.乙在由C地到达A地的途中因故停了20分钟,结果乙由C地到达A地时比甲由C地到达B地还提前了40分钟,已知乙比甲每小时多行驶4千米,求甲、乙两人骑车的速度.
【解答】设甲的速度为x千米/时,则乙的速度为(x+4)千米/时.
根据题意,得
解之,得x1=16,x2=-2.
经检验:
x1=16,x2=-2都是原方程的根,但x2=-2不合题意,舍去.
∴当x=16时,x+4=20.
答:
甲每小时行驶16千米,乙每小时行驶20千米.
例2某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利40元,为了扩大销售,增加盈利,尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施,经调查发现,如果每件衬衫每降价一元,商场平均每天可多售出2件,若商场平均每天要盈利1200元,每件衬衫应降价多少元?
【解析】设每件衬衫降价x元,则每件衬衫盈利(40―x)元,降价后每天可卖出(20+2x)件,由关系式:
总利润=每个商品的利润×
售出商品的总量,可列出方程.
【解答】设每件衬衫降价x元,
依题意,得(40―x)(20+2x)=1200,
整理得:
x2―30x+200=0,
解得:
x1=10,x2=20,
因为要尽快减少库存,所以x=10舍去.
每件衬衫应降价20元.
类型之二:
一元二次方程的根的判别式的应用
例3阅读材料:
如果,是一元二次方程
的两根,那么有
.这是一元二次方程根与系数的关系,我们利用它可以用来解题,例如
是方程
的两根,求
的值.解法可以这样:
则
.
请你根据以上解法解答下题:
已知
的两根,求:
(1)
的值;
(2)
的值.
【解析】先由公式x1+x2=
x1x2=
求出x1+x2,x1x2,再化
+
化为
(x1-x2)2化为(x1+x2)2-4x1x2.
【答案】∵x1+x2=4,x1x2=2.
(1)
+
=
=2.
(2)(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=42-4×
2=8.
【感悟】本题属于阅读理解题,解此类问题关键理解材料中知识与方法,从中获得知识迁移.
类型之三:
综合应用
例4.某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售,一天可售出100件.后来经过市场调查,发现这种商品单价每降低1元,其销量可增加10件.
(1)求商场经营该商品原来一天可获利润多少元?
(2)设后来该商品每件降价x元,商场一天可获利润y元.
①若商场经营该商品一天要获利润2160元,则每件商品应降价多少元?
②求出y与x之间的函数关系式,并通过画该函数图像的草图,观察其图像的变化趋势,结合题意写出当x取何值时,商场获利润不少于2160元?
【解析】本题是以商场经营为素材的利润问题,解题的关键是理解降价与销售数量增加量之间的关系,根据每天盈利的计算,即“每天盈利=每件的利润×
销售数量”作为等量关系列方程或列函数关系式,第
(2)的第②小题,考查了函数及其图象,并用图象确定商场获利润不少于2160元的x的取值范围,体现了数形结合的数学思想。
【解答】
若商店经营该商品不降价,则一天可获利润100×
(100-80)=2000(元)
①依题意得:
(100-80-x)(100+10x)=2160
即x-10x+16=0
x=2,x=8
x=2,x=8都是方程的解,且符合题意.
商店经营该商品一天要获利润2160元,则每件商品应降价2元或8元.
②依题意得:
y=(100-80-x)(100+10x)
∴y=-10x+100x+2000=-10(x-5)+2250
画草图(略)
观察图像可得:
当2≤x≤8时,y≥2160
∴当2≤x≤8时,商店所获利润不少于2160元.
1.如果一个不为零的数的平方等于这个数的两倍,那么这个数是()
A.偶数B.奇数C.偶数或奇数D.不一定是整数
【解析】A设这个数为x.由题意,得x2=2x,解得x1=0,x2=2.故选A.
2.在一幅长80cm,宽50cm的矩形风景画的四周镶上一条金色纸边,制成一幅矩形挂图,如图所示.如果要使整个挂图的面积是5400cm2,设金色纸边的宽为xcm,那么x满足的方程是()
A.x2+130x-1400=0B.x2+65x-350=0
C.x2-130x-1400=0D.x2-65x-350=0
【解析】B上、下两条金色纸边的面积一样,左、右两条金色纸边的面积一样,∴2(80+x)·
x+2(50+x)·
x+80×
50=5400.
3.恒利商厦九月份的销售额为200万元,十月份的销售额下降了20%,商厦从十一月份起加强管理,改善经营,使销售额稳步上升,十二月份的销售额达到了193.6万元,求这两个月的平均增长率.
【解析】这是一道正增长率问题,对于正的增长率问题,在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义,即可利用公式m(1+x)2=n求解,其中m<n.对于负的增长率问题,若经过两次相等下降后,则有公式m(1-x)2=n即可求解,其中m>n.
【解答】设这两个月的平均增长率是x.,则根据题意,得200(1-20%)(1+x)2=193.6,
即(1+x)2=1.21,解这个方程,得x1=0.1,x2=-2.1(舍去).
这两个月的平均增长率是10%.
4.若
的两个实数根,则
的值为()
A.2005B.2003C.-2005D.4010
【解析】B由于所求的两根代数式非对称,故只用韦达定理难于解决,结合根的定义,把
化为对称式.因为是方程
的根,故
,从而
,所以
=2005+α+β,而α+β=-2,故
=2003.
1.从一块正方形的铁片上剪掉2cm宽的长方形铁片,剩下的面积是48cm2,则原来铁片的面积是()
A.64cm2B.100cm2C.121cm2D.144cm2
【解析】A本题用间接设元法较简便,设原铁片的边长为xcm.由题意,得x(x-2)=48,解得x1=-6(舍去),x2=8.∴x2=64,即正方形面积为64cm2.
2.如图,某工厂直角墙角处,用可建60米长围墙的建筑材料围成一个矩形堆货场地,中间用同样的材料分隔成两间,问AB为多长时,所围成的矩形面积是450平方米?
【解析】等量关系为:
长×
宽=450,如果设AB为x米,那么BC的长可表示为(60-2x)米,根据矩形的面积公式可列出方程.
【解答】设AB的长为x米,则BC=(60-2x)米.
根据题意,得x(60-2x)=450.解得x=15.即AB=15米.
AB为15米时,所围成的矩形面积是450平方米.
3.某厂制造某种商品,原来每件产品的成本是100元,由于不断改进设备,提高生产技术,连续两次降低成本,两次降价后的成本是81元,则平均每次降低成本的百分率是()
A.8.5%B.9%C.9.5%D.10%
【解析】D降低百分率与增长率问题类似,这里依据的基本等量关系为基础数×
(1-降低率)降低次数=降低后的数量.
5.某厂制造某种商品,原来每件产品的成本是100元,由于不断改进设备,提高生产技术,连续两次降低成本,两次降价后的成本是8