数学高考二轮复习专题能力训练16椭圆双曲线抛物线.docx
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数学高考二轮复习专题能力训练16椭圆双曲线抛物线
专题能力训练16 椭圆、双曲线、抛物线
一、能力突破训练
1.已知双曲线
-
=1（a>0,b>0）的焦距为2
且双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直,则双曲线的方程为（ ）
A.
-y2=1B.x2-
=1
C.
-
=1D.
-
=1
答案：
A
解析：
∵双曲线
-
=1（a>0,b>0）的焦距为2
∴c=
.
又∵该双曲线的渐近线与直线2x+y=0垂直,
∴渐近线方程为y=
x.∴
=
即a=2b.
∴a2=4b2.∴c2-b2=4b2.∴c2=5b2.
∴5=5b2.∴b2=1.
∴a2=c2-b2=5-1=4.
故所求双曲线的方程为
-y2=1.
2.（2017全国Ⅰ,文5）已知F是双曲线C:
x2-
=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是（1,3）,则△APF的面积为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
D
解析：
由c2=a2+b2=4,得c=2,所以点F的坐标为（2,0）.将x=2代入x2-
=1,得y=±3,所以PF=3.又点A的坐标是（1,3）,故△APF的面积为
×3×（2-1）=
故选D.
3.已知O为坐标原点,F是椭圆C:
+
=1（a>b>0）的左焦点,A,B分别为C的左、右顶点,P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
A
解析：
由题意知,A（-a,0）,B（a,0）,根据对称性,
不妨令P
设l:
x=my-a,∴M
E
.
∴直线BM:
y=-
（x-a）.
又直线BM经过OE的中点,
∴
=
解得a=3c.∴e=
=
故选A.
4.（2017天津,文5）已知双曲线
-
=1（a>0,b>0）的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,△OAF是边长为2的等边三角形（O为原点）,则双曲线的方程为（ ）
A.
-
=1B.
-
=1
C.
-y2=1D.x2-
=1
答案：
D
解析：
∵双曲线
-
=1（a>0,b>0）的右焦点为F（c,0）,点A在双曲线的渐近线上,且△OAF是边长为2的等边三角形,不妨设点A在渐近线y=
x上,
∴
解得
所以双曲线的方程为x2-
=1.故选D.
5.已知点P为双曲线
-
=1右支上一点,点F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,M为△PF1F2的内心.若
=
+8,则△MF1F2的面积为（ ）
A.2
B.10C.8D.6
答案：
B
解析：
设内切圆的半径为R,a=4,b=3,c=5.
∵
=
+8,∴
（|PF1|-|PF2|）R=8,
即aR=8,∴R=2.故
=
·2c·R=10.
6.设双曲线
-
=1（a>0,b>0）的右焦点为F,过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A,B两点,与双曲线的一个交点为P,设O为坐标原点.若
=m
+n
（m,n∈R）,且mn=
则该双曲线的离心率为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
C
解析：
在y=±
x中令x=c,得A
B
在双曲线
-
=1中令x=c得P
.
当点P的坐标为
时,由
=m
+n
得
则
由
得
或
（舍去）,
∴
=
∴
=
∴e=
.
同理,当点P的坐标为
时,e=
.
故该双曲线的离心率为
.
7.已知双曲线E:
-
=1（a>0,b>0）.矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是 .
答案：
2
解析：
由题意不妨设AB=3,则BC=2.
设AB,CD的中点分别为M,N,如图,
则在Rt△BMN中,MN=2,
故BN=
=
=
.
由双曲线的定义可得2a=BN-BM=
-
=1,
而2c=MN=2,所以双曲线的离心率e=
=2.
8.已知直线l1:
x-y+5=0和l2:
x+4=0,抛物线C:
y2=16x,P是C上一动点,则点P到l1与l2距离之和的最小值为 .
答案：
解析：
在同一坐标系中画出直线l1,l2和曲线C如图.
P是C上任意一点,由抛物线的定义知,|PF|=d2,
∴d1+d2=d1+|PF|,显然当PF⊥l1,
即d1+d2=|FM|时,距离之和取到最小值.
∵|FM|=
∴所求最小值为
.
9.
如图,已知抛物线C1:
y=
x2,圆C2:
x2+（y-1）2=1,过点P（t,0）（t>0）作不过原点O的直线PA,PB分别与抛物线C1和圆C2相切,A,B为切点.
（1）求点A,B的坐标;
（2）求△PAB的面积.
注:
直线与抛物线有且只有一个公共点,且与抛物线的对称轴不平行,则称该直线与抛物线相切,称该公共点为切点.
解
（1）由题意知直线PA的斜率存在,故可设直线PA的方程为y=k（x-t）,
由
消去y,整理得:
x2-4kx+4kt=0,
由于直线PA与抛物线相切,得k=t.
因此,点A的坐标为（2t,t2）.
设圆C2的圆心为D（0,1）,点B的坐标为（x0,y0）,由题意知:
点B,O关于直线PD对称,
故
解得
因此,点B的坐标为
.
（2）由
（1）知|AP|=t·
和直线PA的方程tx-y-t2=0.
点B到直线PA的距离是d=
.
设△PAB的面积为S（t）,
所以S（t）=
|AP|·d=
.
10.
如图,动点M与两定点A（-1,0）,B（1,0）构成△MAB,且直线MA,MB的斜率之积为4,设动点M的轨迹为C.
（1）求轨迹C的方程;
（2）设直线y=x+m（m>0）与y轴相交于点P,与轨迹C相交于点Q,R,且|PQ|<|PR|,求
的取值范围.
解
（1）设M的坐标为（x,y）,当x=-1时,直线MA的斜率不存在;
当x=1时,直线MB的斜率不存在.
于是x≠1,且x≠-1.
此时,MA的斜率为
MB的斜率为
.
由题意,有
·
=4.
整理,得4x2-y2-4=0.
故动点M的轨迹C的方程为4x2-y2-4=0（x≠±1）.
（2）由
消去y,可得3x2-2mx-m2-4=0.①
对于方程①,其判别式Δ=（-2m）2-4×3（-m2-4）=16m2+48>0,
而当1或-1为方程①的根时,m的值为-1或1.
结合题设（m>0）可知,m>0,且m≠1.
设Q,R的坐标分别为（xQ,yQ）,（xR,yR）,
则xQ,xR为方程①的两根,
因为|PQ|<|PR|,所以|xQ|<|xR|.
因为xQ=
xR=
且Q,R在同一条直线上,
所以
=
=
=1+
.
此时
>1,且
≠2,
所以1<1+
<3,且1+
≠
所以1<
=
<3,且
=
≠
.
综上所述,
的取值范围是
∪
.
11.设椭圆
+
=1（a>
）的右焦点为F,右顶点为A.已知
+
=
其中O为原点,e为椭圆的离心率.
（1）求椭圆的方程;
（2）设过点A的直线l与椭圆交于点B（B不在x轴上）,垂直于l的直线与l交于点M,与y轴交于点H.若BF⊥HF,且∠MOA=∠MAO,求直线l的斜率.
解
（1）设F（c,0）.由
+
=
即
+
=
可得a2-c2=3c2,
又a2-c2=b2=3,所以c2=1,因此a2=4.
所以,椭圆的方程为
+
=1.
（2）设直线l的斜率为k（k≠0）,则直线l的方程为y=k（x-2）.设B（xB,yB）,由方程组
消去y,整理得（4k2+3）x2-16k2x+16k2-12=0.
解得x=2,或x=
由题意得xB=
从而yB=
.
由
（1）知,F（1,0）,设H（0,yH）,有
=（-1,yH）,
=
.由BF⊥HF,得
·
=0,所以
+
=0,解得yH=
.因此直线MH的方程为y=-
x+
.
设M（xM,yM）,由方程组
消去y,解得xM=
.在△MAO中,∠MOA=∠MAO⇔|MA|=|MO|,即（xM-2）2+
=
+
化简得xM=1,即
=1,解得k=-
或k=
.所以,直线l的斜率为-
或
.
二、思维提升训练
12.已知椭圆E:
+
=1（a>b>0）的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:
3x-4y=0交椭圆E于A,B两点.若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于
则椭圆E的离心率的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
A
解析：
如图,取椭圆的左焦点F1,连接AF1,BF1.
由椭圆的对称性知四边形AF1BF是平行四边形,
∴|AF|+|BF|=|AF1|+|AF|=2a=4.∴a=2.
不妨设M（0,b）,则
≥
∴b≥1.∴e=
=
≤
=
.
又0.故选A.
13.设抛物线C:
y2=2px（p>0）的焦点为F,点M在C上,|MF|=5.若以MF为直径的圆过点（0,2）,则C的方程为（ ）
A.y2=4x或y2=8xB.y2=2x或y2=8x
C.y2=4x或y2=16xD.y2=2x或y2=16x
答案：
C
解析：
设点M的坐标为（x0,y0）,由抛物线的定义,得|MF|=x0+
=5,则x0=5-
.
因为点F的坐标为
所以以MF为直径的圆的方程为（x-x0）·
+（y-y0）y=0.
将x=0,y=2代入得px0+8-4y0=0,
即
-4y0+8=0,解得y0=4.
由
=2px0,得16=2p
解得p=2或p=8.
所以C的方程为y2=4x或y2=16x.故选C.
14.（2017江苏,8）在平面直角坐标系xOy中,双曲线
-y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q,其焦点是F1,F2,则四边形F1PF2Q的面积是 .
答案：
2
解析：
该双曲线的右准线方程为x=
=
两条渐近线方程为y=±
x,得P
Q
又c=
所以F1（-
0）,F2（
0）,四边形F1PF2Q的面积S=2
×
=2
.
15.（2017山东,文15）在平面直角坐标系xOy中,双曲线
-
=1（a>0,b>0）的右支与焦点为F的抛物线x2=2py（p>0）交于A,B两点,若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为 .
答案：
y=±
x
解析：
抛物线x2=2py的焦点F
准线方程为y=-
.
设A（x1,y1）,B（x2,y2）,则|AF|+|BF|=y1+
+y2+
=y1+y2+p=4|OF|=4·
=2p.
所以y1+y2=p.
联立双曲线与抛物线方程得
消去x,得a2y2-2pb2y+a2b2=0.
所以y1+y2=
=p,所以
=
.
所以该双曲线的渐近线方程为y=±
x.
16.已知圆C:
（x+1）2+y2=20,点B（1,0）,点A是圆C上的动点,线段AB的垂直平分线与线段AC交于点P.
（1）求动点P的轨迹C1的方程;
（2）设M
N为抛物线C2:
y=x2上的一动点,过点N作抛物线C2的切线交曲线C1于P,Q两点,求△MPQ面积的最大值.
解
（1）由已知可得,点P满足|PB|+|PC|=|AC|=2
>2=|BC|,
所以动点P的轨迹C1是一个椭圆,其中2a=2
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