梁的剪力方程和弯矩方程常用弯矩图.docx

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梁的剪力方程和弯矩方程常用弯矩图

5-7．试列出下列梁的剪力方程和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。

1、解：

首先求出支座反力。

考虑梁的整体平衡

由

得

由

得

则距左端为x的任一横截面上的剪力和

剪力图弯矩表达式为：

弯矩图

剪力方程为常数，表明剪图应是一条平行梁轴线的直线；弯矩方程是x的一次函数，表明弯矩图是一条斜直线。

（如图）

2、

解：

首先求出支座反力。

考虑梁的平衡

由

得

由

得

则相应的剪力方程和弯矩方程为：

AB段：

（）

BC段：

（）

AB段剪力方程为x1的一次函数，弯矩方程为x1的二次函数，因此AB段的剪力图为斜直线，弯矩图为二次抛物线；BC段剪力方程为常数，弯矩方程为x2的一次函数，所以BC段剪力图为平行梁轴线的水平线段，弯矩图为斜直线。

（如图）

5-9用简便方法画下列各梁的剪力图和弯矩图。

（2）

解：

由梁的平衡求出支座反力：

AB段作用有均布荷载，所以AB段的剪力图为下倾直线，弯矩图为下凹二次抛物线；BC段没有荷载作用，所以BC段的剪力图为平行梁轴线的水平线段，弯矩图为直线。

在B支座处，剪力图有突变，突变值大小等于集中力（支座反力FRB）的大小；弯矩图有转折，转折方向与集中力方向一致。

（如图）

（5）

解：

由梁的平衡求出支座反力：

AB与BC段没有外载作用，所以AB、BC段的剪力图为平行梁轴线的水平线段，弯矩图为直线；CD段作用均布荷载，所以CD段的剪力图为下倾直线，弯矩图为下凹二次抛物线。

在B处，剪力图有突变，突变值大小等于集中力F的大小；弯矩图有转折，转折方向与集中力方向一致。

（如图）

（7）

解：

AB段作用有均布荷载（方向向下），所以AB段的剪力图为下倾直线，弯矩图为下凹二次抛物线；BC段作用有均布荷载（方向向上），所以BC段的剪力图为上倾直线，弯矩图为上凸直线。

（如图）

5.14试用叠加法画下列各梁的弯矩图。

（1）

（4）

题型：

计算题

题目：

试作图所示悬臂梁AB的剪力图和弯矩图。

【解】

1、列剪力方程和弯矩方程

取坐标原点与梁左端点A对应。

选取距梁左端点A为x的任一截面，如图（a）所示，以该截面左侧梁段上的外力，写该截面上的剪力和弯矩表达式，即可得到梁AB的剪力方程和弯矩方程为

上面两式后的括号内，表明方程适用范围。

由于截面A,B处有集中力作用，则其剪力为不定值，第一式的适用范围为。

由于截面B有集中力偶作用，则其弯矩也为不定值，第二式的适用范围为关于这个问题，待后面作进一步说明。

　　2、作剪力图和弯矩图

剪力方程表明，梁各截面上的剪力都相等，因此剪力图应是一条平行于横轴的直线。

取直角坐标系x—，画出梁的剪力图为一水平直线。

因各横截面的剪力为负值，故画在横轴下面，如图（b）所示。

弯矩方程表明，弯矩M是x的一次函数，因此弯矩图应是一条倾斜直线。

可以确定其上两点，在x=0处，M=0；在x=L处（应理解为x略小于L处），M=PL。

取直角坐标系OxM，表示弯矩的纵坐标以向下为正，画出梁的弯矩图，如图（c）所示。

由图可见，最大弯矩发生在固定端B稍偏左的横截面上，其值为

常见问题题2

题型：

计算题

题目：

试作图（a）所示简支梁AB的剪力图和弯矩图。

【解】

　　1、求支座反力

由梁的平衡方程，可求得支座A,B两处的反力为

　　2、列剪力方程和弯矩方程

取坐标原点与梁左端点A对应。

列出梁AB的剪力方程和弯矩方程为

　　3、作剪力图和弯矩图

剪力方程表明，剪力是x的一次函数，剪力图应是一条倾斜直线。

因此，只要确定其上两点，即可绘出该梁的剪力图。

在处（应理解为x略大于0）,；处（应理解为x略小于），。

画出梁的剪力图，如图（b）所示。

由剪力图可见，，该梁最大剪力发生在支座内侧的横截面上，其值为

弯矩方程表明，弯矩M是x的二次函数，弯矩图应是一条抛物线。

因此，只要确定其上三个点，即可绘出该梁的弯矩图。

在处，M=0；在处，M=0；在处，　　　　　　　　　　　　　　。

画出弯矩图，如图6-12（c）所示。

由弯矩图可见，该梁最大弯矩发生在梁的跨中截面处，其值为

在此截面上剪力为零。

常见问题题3

题型：

计算题

题目：

试作图（a）所示简支梁AB的剪力图和弯矩图。

【解】

　　1、求支座反力

由梁的静力平衡方程，可求得支座A,B两处的反力为

　　2、列剪力方程和弯矩方程

当作用在梁上的外力不连续时，通常不能角一个方程描述全梁的剪力或弯矩，必须分段研究。

在该例题中，集中力P把梁分成AC和CB两段，这两段梁的剪力方程和弯矩方程分别为

AC段：

CB段：

　　3、作剪力图和弯矩图

两段梁的剪力方程表明，两段梁的剪力图均为水平直线。

画出梁的剪力图，如图（b）所示。

由剪力图可见，在集中力P作用的C处，其左右两侧横截面上剪力的数值分别为和，剪力图发生突变，其突变值等于集中力P的大小。

由此可得，在集中力作用处剪力图发生突变，其突变值等于该集中力的大小。

如果b＞a，则最大剪力发生在AC段梁的任一截面上，其值为

两段梁的弯矩方程表明，两段梁的弯矩图均为倾斜直线。

画出梁的弯矩图，如图（c）所示。

由弯矩图可见，AC和CB两段梁的弯攀图两直线斜率不同，在C处形成向下凸的“尖角”，而剪力图在此处改变了正、负号。

最大弯矩发生在集中力P作用的截面上，其值为

如果a=b，则最大弯矩的值为

常见问题题4

题型：

计算题

题目：

试作图（a）所示简支梁AB的剪力图和弯矩图。

【解】

　　1、求支座反力

由梁的静力平衡方程，可求得支座A,B两处的反力为

　　2、列剪力方程和弯矩方程

集中力偶Me把梁分成AC和CB两段，这两段梁的剪力方程和弯矩方程分别为

AC段：

CB段：

　　3、作剪力图和弯矩图

在集中力偶作用处的左、右梁段上，剪力方程相同，全梁剪力图为一水平直线。

画出梁的剪力图，如图（b）所示示。

由剪力图可见，在集中力偶作用处，剪力图并不发生突变，即集中力偶不影响剪力图。

两段梁的弯矩方程表明，两段梁的弯矩图均为倾斜直线。

画出梁的弯矩图，如图（c）所示。

由弯矩图可见，在集中力偶从作用的C处，其左右两侧横截面上弯矩的数值分别为和，弯矩图发生突变，其突变值等于集中力偶Me的大小。

由此可得，在集中力偶作用处弯矩图发生突变，其突变值等于该集中力偶的大小。

如果b＞a，则最大弯矩发生在集中力偶从作用处右侧横截面上，其值为

常见问题题5

题型：

计算题

题目：

试作图示简支梁的剪力图和弯矩图。

【解】

　　1、求支座反力

由梁的静力平衡方程可知，支座A,B的反力为

　　2、列剪力方程和弯矩方程

当梁上荷载不连续，剪力或弯矩不能用一个统一的函数式表达时，必须分段列出剪力方程和弯矩方程。

通常分段是以集中力、集中力偶和分布荷载的起点与终点分界。

因此，该简支梁应分为AC,CD和DB三段，分别列出剪力方程和弯矩方程。

AC段：

CD段：

DB段：

　　3、作剪力图和弯矩图

按上述剪力方程和弯矩方程，画出剪力图和弯矩图，如图（b）、（c）所示。

在画AC段弯矩图时，由于弯矩方程是二次函数，弯矩图应是一条抛物线，至少需要确定其上三个点，才可绘出该梁的弯矩图。

在处,M=0；在x＝3m处，M＝33kN．m。

在剪力为零处x=2.4m，该点处弯矩。

用光滑曲线连接这三个点即可得AC段的弯矩M图。

如图（c）所示。