自考高等数学一精讲第六章Word文档下载推荐.docx
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二、空间中常见图形的方程
1、球面
已知球心M0（x0,y0,z0），半径为R，则对于球面上任意点M（x，y，z），有
，
称为球面方程。
特别地，以原点为球心，半径为R的球面方程是
2、平面
到两点等距离的点的轨迹就是这两点组成线段的垂直平分面。
例1、已知A（1，2，3），B（2，-1，4），求线段AB的垂直平分面的方程。
【答疑编号11060101】
解：
设M（x,y,z）是所求平面上任一点，
根据题意有|MA|=|MB|，
化简得所求方程2x-6y+2z-7=0。
x，y，z的一次方程表示的图形是一个平面。
3、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L所形成的曲面称为柱面。
这条定曲线C叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。
柱面举例
4、二次曲面
三元二次方程所表示的曲面称之为二次曲面。
（1）椭球面
椭球面与三个坐标面的交线：
（2）x2+y2=2pz的图形是一个旋转抛物面。
6.2 多元函数的基本概念
一、准备知识
1、邻域
设P0（x0,y0）是xoy平面上的一个点，δ是某一正数，与点P0（x0,y0）距离小于δ的点P（x,y）的全体，称为点p0的δ邻域，记为U（P0,δ）,
2、区域
平面上的点集
称为开集，如果对任意一点
，都有
的一个邻域
设D是开集。
如果对于D内任何两点，都可用折线连结起来且该折线上的点都属于D，则称开集D是连通的。
连通的开集称为区域或开区域。
开区域连同它的边界一起称为闭区域。
3、n维空间
设n为取定的一个自然数，我们称n元数组
的全体为n维空间，而每个n元数组
称为n维空间中的一个点，数xi称为该点的第i个坐标
说明：
n维空间的记号为Rn；
n维空间中两点间距离公式：
设两点为
特殊地当n=1，2，3时，便为数轴、平面、空间两点间的距离。
二、多元函数的概念
1、多元函数的定义
设D是平面上的一个点集，如果对于每个点P（x,y）∈D，变量z按照一定的法则总有确定的值和它对应，则称z是变量x,y的二元函数，记为z=f（x,y）（或记为z=f（P））.
类似地可定义三元及三元以上函数。
当n≥2时，n元函数统称为多元函数。
多元函数中同样有定义域、值域、自变量、因变量等概念。
例1、求
的定义域。
【答疑编号11060102】
所求定义域为
.
2、二元函数z=f（x,y）的图形
设函数z=f（x,y）的定义域为D，对于任意取定的P（x,y）∈D，对应的函数值为z=f（x,y），这样，以x为横坐标、y为纵坐标、z为竖坐标在空间就确定一点M（x,y,z），当x取遍D上一切点时，得一个空间点集
，这个点集称为二元函数的图形。
二元函数的图形通常是一张曲面。
三、多元函数的极限
例2、求
【答疑编号11060103】
原式
例3（教材332页习题6.2，2题
（1）题）、求
【答疑编号11060104】
例4（教材332页习题6.2，2题
（2）题）、求
。
【答疑编号11060105】
四、多元函数的连续性
1、定义 设二元函数f（P）的定义域为点集D，p0且p0∈D，如果
则称二元函数f（P）在点P0处连续。
一切多元初等函数在其定义区域内是连续的。
一般地，求
时，如果f（P）是初等函数，且P0是f（P）的定义域内的点，则f（P）在点P0处连续，于是
例5（教材332页习题6.2，3题
（1）题）、判断
在原点是否连续？
【答疑编号11060106】
6.3 偏导数
一、偏导数的定义及其计算法
定义 设函数z=f（x,y）在点（x0,y0）的某一邻域内有定义，当y固定在y0而x在x0处有增量△x时，相应地函数有增量
如果
存在，则称此极限为函数z=f（x,y）在点（x0,y0）处对x的偏导数，记为
同理可定义函数z=f（x,y）在点（x0,y0）处对y的偏导数，为
，记为
如果函数z=f（x,y）在区域D内任一点（x,y）处对x的偏导数都存在，那么这个偏导数就是x、y的函数，它就称为函数z=f（x,y）对自变量x的偏导数，记作
同理可以定义函数z=f（x,y）对自变量y的偏导数，记作
偏导数的概念可以推广到二元以上函数
如u=f（x,y,z）在（x,y,z）处
例1.求z=x2+3xy+y2在点（1,2）处的偏导数。
【答疑编号11060201】
例2.求z=xy（x＞0，x≠1）的一阶偏导数
【答疑编号11060202】
有关偏导数说明：
偏导数
是一个整体记号，不能拆分；
例3.（336例3）求下列函数对x和y的偏导数。
（1）z=（1+3y）4x。
【答疑编号11060203】
（2）z=（lny）xy。
【答疑编号11060204】
例4.（340页2
（2））求u=（1+xy）z，在点（1，2，3）的一阶偏导数。
【答疑编号11060205】
二、高阶偏导数
函数z=f（x,y）的二阶偏导数为
纯偏导
混合偏导
定义：
二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数。
例5.设
求
【答疑编号11060206】
例6.（338页例6）设z=x2yey，求
【答疑编号11060207】
6.4 全微分
一、全微分的定义
由一元函数微分学中增量与微分的关系得二元函数对x和对y的偏增量
1.全增量的概念
如果函数z=f（x,y）在点（x,y）的某邻域内有定义，并设
为这邻域内的任意一点，则称这两点的函数值之差
为函数在点P对应于自变量△x，△y的全增量，记为△z，即
2.全微分的定义
如果函数z=f（x,y）在点（x,y）的全增量
可以表示为
，其中A，B不依赖于△x，△y而仅与x,y有关，
，则称函数z=f（x,y）在点（x,y）可微分，A△x+B△y称为函数z=f（x,y）在点（x,y）的全微分，记为dz，即dz=A△x+B△y.
函数若在某区域D内各点处处可微分，则称这函数在D内可微分。
二、多元函数连续、可导、可微的关系
如果函数z=f（x,y）在点（x,y）可微分，则函数在该点连续。
事上
故函数z=f（x,y）在点（x,y）处连续。
定理1 如果函数z=f（x,y）在点（x,y）可微分，则该函数在点（x,y）连续，函数在点（x,y）的偏导数
必存在，且函数z=f（x,y）在点（x,y）的全微分为
多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在，
定理2 如果函数z=f（x,y）的偏导数
存在，且在点（x,y）连续，则该函数在点（x,y）可微分。
记全微分为
全微分的定义可以推广到三元及三元以上函数
三、例题分析
例1.（教材344页例2（3））、求全微分z=x2y+exsiny。
【答疑编号11060301】
例2.（教材344页例2
（2））、求全微分
【答疑编号11060302】
例3.（教材344页习题6.4，1题
（2）题）、求全微分
【答疑编号11060303】
6.5 多元复合函数求导法则
一、链式法则
定理 如果函数
都在点t可导，函数z=f（u,v）在对应点（u,v）具有连续偏导数，则复合函数
在对应点t可导，则：
定理 假设函数z=f（u,v）可微，函数u=u（x,y）和v=f（x,y）有偏导灵敏，则它们的复合函数z=f（u（x,y）,v（x,y））作为x,y的函数有偏导数，且
例1.设
，而u=xy,v=x+y,求
【答疑编号11060304】
例2.（教材348页例2
（1））、求导数
【答疑编号11060305】
例3.（教材348页例2
（2））、求导数
【答疑编号11060306】
例4.求导数z=f（xy,x+y）
【答疑编号11060307】
例5.（教材349页例5）、设z=F（x+y,x2-y2）。
求
【答疑编号11060308】
例6.（教材353页习题6.5，4题）、设
【答疑编号11060309】
例7.（教材350页例6）、设f（xy,x-y）=x2+y2。
【答疑编号11060310】
u=xy,v=x-y,则
x2+y2=（x-y）2+2xy=v2+2u
故f（u,v）=2u+v2，或f（x,y）=2x+y2
（这不是变量代换，而是自变量改变文字）。
所以
二、全微分形式不变性
设函数z=f（u,v）具有连续偏导数，则有全微分
、
全微分形式不变性的实质：
无论z是自变量u、v的函数或中间变量u、v的函数，它的全微分形式是一样的。
例8.（教材351页例7（3））、求全微分z=（x+y）exy
【答疑编号11060311】
例9.（教材351页例7（3））、求全微分z=f（2x+3y,exy）
【答疑编号11060312】
6.6 隐函数及其求导法则
例1、siny+ex-xy2=0,求y对x的导数。
【答疑编号11060401】
例2、xy+lny-lnx=0
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