考研数学一真题及答案文档格式.docx

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【考点】高等数学—多元函数微分学—方向导数和梯度

（4）设是由锥面与半球面围成的空间区域，是的整个边界的外侧，则。

【答案】。

【考点】高等数学—多元函数积分学—两类曲面积分的概念、性质及计算

（5）设均为三维列向量，记矩阵

如果，那么。

【答案】2。

【方法一】

【方法二】

由于

两列取行列式，并用行列式乘法公式，所以

综上所述，本题正确答案是2。

【考点】线性代数—行列式—行列式的概念和基本性质，行列式按行（列）展开定理

（6）从数中任取一个数，记为，再从中任一个数，记为,则。

先求出的概率分布，因为是等可能的取，故关于的边缘分布必有,而只从中抽取，又是等可能抽取的概率为

所以即：

XY

1

2

3

4

【考点】概率论与数理统计—多维随机变量及其分布—二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布

二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

）

（7）设函数,则

（A）处处可导（B）恰有一个不可导点

（C）恰有两个不可导点（D）恰有三个不可导点

【答案】C。

由知

由的表达式和其图像可知在处不可导，在其余点均可导。

综上所述，本题正确答案是C。

【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念

（8）设是连续函数的一个原函数，表示的充分必要条件是，则必有

（A）是偶函数是奇函数

（B）是奇函数是偶函数

（C）是周期函数是周期函数

（D）是单调函数是单调函数

【答案】A。

若是偶函数，由导函数的一个基本结论“可导的偶函数其导函数为奇函数”，反之，

若为奇函数，则为偶函数，的任意一个原函数可表示为

则是偶函数，故应选A。

排除法：

取，显然连续，,且是偶函数，周期函数。

但不是奇函数,也不是周期函数，排除B和C选项。

若取,排除D，故应选A。

综上所述，本题正确答案是A。

【考点】高等数学—一元函数积分学—原函数和不定积分的概念，积分上限的函数及其导数

（9）设函数,其中函数具有二阶导数，具有一阶导数，则必有

（A）（B）

（C）（D）

【答案】B。

可见有

综上所述，本题正确答案是B。

【考点】高等数学—多元函数微积分学—多元函数的偏导数和全微分

（10）设有三元方程,根据隐函数存在定理，存在点的一个邻域，在此邻域内该方程

（A）只能确定一个具有连续偏导数的隐函数

（B）可确定两个具有连续偏导数的隐函数和

（C）可确定两个具有连续偏导数的隐函数和

（D）可确定两个具有连续偏导数的隐函数和

【答案】D。

则

且

由此可确定的隐函数为和

综上所述，本题正确答案是D。

【考点】高等数学—多元函数微分学—隐函数的求导法

（11）设是矩阵的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为，则线性无关的充分必要条件是

（C）（D）

设

即有

由于特征值不同特征向量线性无关，所以线性无关，由

可得

线性无关只有零解

因为=

那么线性无关

由于线性无关，则

线性无关

【考点】线性代数—向量—向量组的线性相关与线性无关，向量组的秩与矩阵的秩之间的关系

（12）设为阶可逆矩阵，交换的第1行与第2行得矩阵,

分别为的伴随矩阵，则

（A）交换的第一列和第二列得

（B）交换的第一行和第二行得

（C）交换的第一列和第二列得

（D）交换的第一行和第二行得

设为3阶矩阵，因为作初等行变换得到，所以有

从而

又因为,故

即交换的第一列和第二列得

【考点】线性代数—矩阵—矩阵的初等变换

（13）设二维随机变量的概率分布为

0.4

0.1

已知随机事件和相互独立，则

由独立性可知

已知

所以有

【考点】概率论与数理统计—多维随机变量及其分布—二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布，随机变量的独立性和不相关性

（14）设为来自总体的简单随机样本，为样本均值，为样本方差，则

且与相互独立，因此

【考点】概率论与数理统计—数理统计的基本概念—简单随机样本，统计量，样本均值，分布，分布，分布

三、解答题（本题共9小题，满分94分。

解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤）

（15）（本题满分11分）

设，表示不超过的最大整数。

计算二重积分

令

则

【考点】高等数学—多元函数积分学—二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用

（16）（本题满分12分）

求幂级数的收敛区间与和函数

因为

所以当时，原级数绝对收敛，当时，原级数发散，因此原级数的收敛半径为1，收敛区间为

记

又

【考点】高等数学—无穷级数—幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）和收敛域，幂级数的和函数，简单幂级数的和函数的求法，初等函数的幂级数展开式

（17）（本题满分11分）

如图曲线的方程为点（3,2）是它的一个拐点，直线与分别是曲线在点与处的切线，其交点设函数具有三阶连续导数，计算定积分

由点是曲线的拐点知。

由于直线与分别是曲线在点与处的切线，由图易得，直线与的斜率分别为2和-2知，

且由图易得则

【考点】高等数学—一元函数积分学—定积分的概念和基本性质，不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法

（18）（本题满分12分）

已知函数在连续，在内可导，且证明：

（I）存在，使得；

（II）存在两个不同的点,使得

（I）令由题设知，在上连续，又

由连续函数的零点定理知，存在，使得

即

（II）在区间和上分别对用拉格朗日中值定理得

此时，

【考点】高等数学—一元函数微分学—微分中值定理

（19）（本题满分12分）

设函数具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线上，曲线积分的值恒为同一常数

（I）证明：

对右半平面内的任意分段光滑简单闭曲线有；

（II）求函数的表达式。

（I）如图，将分解成：

另作一条曲线围绕原点且与相连，则

（II）设在单连通区域内具有一阶连续偏导数，由（

）知，曲线积分在该区域内与路径无关，故当时，总有

而

比较

，

式的右端得：

可得

【考点】高等数学—多元函数积分学—平面曲线积分与路径无关的条件

（20）已知二次型的秩为2

（I）求的值；

（II）求正交变换,将化为标准形；

（III）求方程的解

（I）二次型矩阵，由于二次型的秩为2，即,所以有

得

（II）当时，由

得矩阵的特征值是2,2,0。

对于，由

得特征向量

对，由

由于特征向量已经两两正交，只需单位化，于是有

令,那么经过正交变换,有，

（III）

由（

）知，在正交变换下，化为，解得，从而

即方程的解是为任意常数。

由于所以

其通解为,其中为任意常数。

【考点】线性代数—二次型—用正交变换和配方法化二次型为标准形

（21）（本题满分9分）

已知三阶矩阵的第一行是不全为零，矩阵，且，求线性方程组的通解。

由，知,又,故

当时，必有，此时由于,又因为，的列向量是的解。

故的通解为：

是任意常数；

当时，则。

此时。

若，则。

的通解为；

若

则与同解，由，设,那么的通解为,是任意常数

【考点】线性代数—线性方程组—齐次线性方程组有非零解的充分必要条件，齐次线性方程组的基础解系和通解

（22）（本题满分9分）

设二维随机变量的概率密度为

（I）求的边缘概率密度；

（II）的概率密度。

（I）

（II）当时，；

当时，

所以

【考点】概率论与数理统计—多维随机变量及其分布—二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度

（23）（本题满分9分）

设是来自总体的简单随机样本，是样本均值，记

（I）求的方差；

（II）与的协方差。

（II）

【考点】概率论与数理统计—随机变量的数字特征—随机变量函数的数学期望、协方差、相关系数及其性质