第一章12 122 第一课时 组合与组合数公式Word格式文档下载.docx
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=1
[点睛] 排列与组合的联系与区别
联系:
二者都是从n个不同的元素中取m(n≥m)个元素.
区别:
排列与元素的顺序有关,组合与元素的顺序无关,只有元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的排列.只要两个组合的元素相同,不论元素的顺序如何,都是相同的组合.
1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×
”)
(1)从a,b,c三个不同的元素中任取两个元素的一个组合是C
.( )
(2)从1,3,5,7中任取两个数相乘可得C
个积.( )
(3)1,2,3与3,2,1是同一个组合.( )
(4)C
=5×
4×
3=60.( )
答案:
(1)×
(2)√ (3)√ (4)×
2.若C
=10,则n的值为( )
A.10 B.5 C.3 D.4
B
3.从9名学生中选出3名参加“希望英语”口语比赛,不同选法有( )
A.504种 B.729种
C.84种D.27种
4.计算C
=________.
210
组合的概念
[典例] 判断下列问题是排列问题,还是组合问题.
(1)从1,2,3,…,9九个数字中任取3个,组成一个三位数,这样的三位数共有多少个?
(2)从1,2,3,…,9九个数字中任取3个,然后把这三个数字相加得到一个和,这样的和共有多少个?
(3)从a,b,c,d四名学生中选两名去完成同一份工作,有多少种不同的选法?
[解]
(1)当取出3个数字后,如果改变3个数字的顺序,会得到不同的三位数,此问题不但与取出元素有关,而且与元素的安排顺序有关,是排列问题.
(2)取出3个数字之后,无论怎样改变这3个数字的顺序,其和均不变,此问题只与取出元素有关,而与元素的安排顺序无关,是组合问题.
(3)两名学生完成的是同一份工作,没有顺序,是组合问题.
区分排列与组合的方法
区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么,区分的标志是有无顺序,而区分有无顺序的方法是:
把问题的一个选择结果写出来,然后交换这个结果中任意两个元素的位置,看是否会产生新的变化,若有新变化,即说明有顺序,是排列问题;
若无新变化,即说明无顺序,是组合问题.
[活学活用]
判断下列问题是组合问题还是排列问题:
(1)把5本不同的书分给5个学生,每人一本;
(2)从7本不同的书中取出5本给某个同学;
(3)10个人相互写一封信,共写了几封信;
(4)10个人互相通一次电话,共通了几次电话.
解:
(1)由于书不同,每人每次拿到的也不同,有顺序之分,故它是排列问题.
(2)从7本不同的书中,取出5本给某个同学,在每种取法中取出的5本并不考虑书的顺序,故它是组合问题.
(3)因为两人互写一封信与写信人与收信人的顺序有关,故它是排列问题.
(4)因为互通电话一次没有顺序之分,故它是组合问题.
有关组合数的计算与证明
[典例]
(1)求值:
+…+C
;
(2)解方程:
-
(3)解不等式:
2C
<
3C
.
[解]
(1)C
=5985.
(2)由题意知0≤m≤5且m∈N*,
故
,
即60-10(6-m)=(7-m)·
(6-m).
所以m2-23m+42=0,
解得m=2或m=21.
又因为m∈[0,5],所以m=2.
(3)因为2C
所以2C
所以
3×
又因为
所以x≥2,
所以2≤x<
,且x∈N*,
所以x=2,3,4,5.
所以不等式的解集为{2,3,4,5}.
关于组合数公式的选取技巧
(1)涉及具体数字的可以直接用
·
进行计算.
(2)涉及字母的可以用阶乘式C
计算.
(3)计算时应注意利用组合数的性质C
简化运算.
1.计算:
的值.
∵
∴9.5≤n≤10.5.
∵n∈N*,∴n=10.
∴C
+31=466.
2.求使3C
=5A
成立的x值.
根据排列数和组合数公式,原方程可化为
3·
=5·
即
,即为(x-3)(x-6)=40.
∴x2-9x-22=0,解得x=11或x=-2.
又∵x∈N*,∴x=11.
3.证明下列各等式.
(1)C
(2)C
…+C
证明:
(1)右边=
=左边,∴原式成立.
(2)左边=(C
)+C
=(C
)+…+C
=(C3n+4+C
=…=C
=右边,
∴原式成立.
简单的组合问题
[典例] 现有10名教师,其中男教师6名,女教师4名.
(1)现要从中选2名去参加会议有多少种不同的选法?
(2)选出2名男教师或2名女教师参加会议,有多少种不同的选法?
(3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议,有多少种不同的选法?
[解]
(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数,就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数,
即C
=45.
(2)可把问题分两类情况:
第1类,选出的2名是男教师有C
种方法;
第2类,选出的2名是女教师有C
种方法.
根据分类加法计数原理,共有C
=15+6=21种不同选法.
(3)从6名男教师中选2名的选法有C
种,从4名女教师中选2名的选法有C
种,根据分步乘法计数原理,共有不同的选法C
×
=15×
6=90(种).
解答简单的组合问题的思考方法
(1)弄清要做的这件事是什么事;
(2)选出的元素是否与顺序有关,也就是看看是不是组合问题;
(3)结合两计数原理利用组合数公式求出结果.
本例已知条件不变,若改为:
现从中选2名教师参加会议,至少有1名男教师的选法是多少?
最多有1名男教师的选法又是多少?
至少有1名男教师可分两类:
1男1女有C
种,2男0女有C
种.
由分类加法计数原理知有C
=39(种).
最多有1名男教师包括两类:
种,0男2女有C
=30(种).
层级一 学业水平达标
=( )
A.120 B.240
C.60D.480
解析:
选A C
+
=120.
2.在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中,各数位之和为偶数的共有( )
A.36个B.24个
C.18个D.6个
选A 若各位数字之和为偶数,则只能两奇一偶,故有C
A
=36个.
3.方程C
的解集为( )
A.{4}B.{14}
C.{4,6}D.{14,2}
选C 由题意知
或
解得x=4或6.
4.将2名教师、4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有( )
A.12种B.10种
C.9种D.8种
选A 先安排1名教师和2名学生到甲地,再将剩下的1名教师和2名学生安排到乙地,共有C
=12种安排方案.
5.异面直线a,b上分别有4个点和5个点,由这9个点可以确定的平面个数是( )
A.20B.9
C.C
D.C
选B 分两类:
第一类,在直线a上任取一点,与直线b可确定C
个平面;
第二类,在直线b上任取一点,与直线a可确定C
个平面.故可确定C
=9个不同的平面.
6.计算:
因为
所以n=10.
所以原式=C
466
7.对所有满足1≤m<
n≤5的自然数m,n,方程x2+C
y2=1所表示的不同椭圆的个数为________.
因为1≤m<
n≤5,所以C
可以是C
,计算可知C
,故x2+C
y2=1能表示6个不同的椭圆.
6
8.不等式C
-n<
5的解集为________.
由C
5,得
5,∴n2-3n-10<
0.
解得-2<
n<
5.由题设条件知n≥2,且n∈N*,
∴n=2,3,4.故原不等式的解集为{2,3,4}.
{2,3,4}
9.
(1)解方程:
=6C
(2)解不等式:
>
(1)原方程等价于
m(m-1)(m-2)=6×
∴4=m-3,解得m=7.
(2)由已知得:
∴x≤8,且x∈N*,
∵C
,∴
,∴x>
3(9-x),解得x>
,∴x=7,8.
∴原不等式的解集为{7,8}.
10.一位教练的足球队共有17名初级学员,他们中以前没有人参加过比赛.按照足球比赛规则,比赛时一个足球队的上场队员是11人.问:
(1)这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场方案?
(2)如果在选出11名上场队员时,还要确定其中的守门员,那么教练员有多少种方式做这件事情?
(1)由于上场学员没有角色差异,所以可以形成的学员上场方案种数为C
=12376.
(2)教练员可以分两步完成这件事情:
第1步,从17名学员中选出11人组成上场小组,共有C
种选法;
第2步,从选出的11人中选出1名守门员,共有C
种选法.
所以教练员做这件事情的方式种数为C
=136136.
层级二 应试能力达标
1.若C
,则n的集合是( )
A.{6,7,8,9} B.{0,1,2,3}
C.{n|n≥6}D.{7,8,9}
选A ∵C
⇒
∵n∈N*,∴n=6,7,8,9.
∴n的集合为{6,7,8,9}.
2.已知圆上有9个点,每两点连一线段,若任意两条线的交点不同,则所有线段在圆内的交点有( )
A.36个B.72个