第一章12 122 第一课时 组合与组合数公式Word格式文档下载.docx
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＝1
[点睛] 排列与组合的联系与区别
联系：
二者都是从n个不同的元素中取m（n≥m）个元素．
区别：
排列与元素的顺序有关，组合与元素的顺序无关，只有元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的排列．只要两个组合的元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的组合．
1．判断下列命题是否正确．（正确的打“√”，错误的打“×
”）
（1）从a，b，c三个不同的元素中任取两个元素的一个组合是C
.（ ）
（2）从1,3,5,7中任取两个数相乘可得C
个积．（ ）
（3）1,2,3与3,2,1是同一个组合．（ ）
（4）C
＝5×
4×
3＝60.（ ）
答案：
（1）×
（2）√ （3）√ （4）×
2．若C
＝10，则n的值为（ ）
A．10 B．5 C．3 D．4
B
3．从9名学生中选出3名参加“希望英语”口语比赛，不同选法有（ ）
A．504种 B．729种
C．84种D．27种
4．计算C
＝________.
210
组合的概念
[典例] 判断下列问题是排列问题，还是组合问题．
（1）从1,2,3，…，9九个数字中任取3个，组成一个三位数，这样的三位数共有多少个？
（2）从1,2,3，…，9九个数字中任取3个，然后把这三个数字相加得到一个和，这样的和共有多少个？
（3）从a，b，c，d四名学生中选两名去完成同一份工作，有多少种不同的选法？
[解]
（1）当取出3个数字后，如果改变3个数字的顺序，会得到不同的三位数，此问题不但与取出元素有关，而且与元素的安排顺序有关，是排列问题．
（2）取出3个数字之后，无论怎样改变这3个数字的顺序，其和均不变，此问题只与取出元素有关，而与元素的安排顺序无关，是组合问题．
（3）两名学生完成的是同一份工作，没有顺序，是组合问题．
区分排列与组合的方法
区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么，区分的标志是有无顺序，而区分有无顺序的方法是：
把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；
若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．
[活学活用]
判断下列问题是组合问题还是排列问题：
（1）把5本不同的书分给5个学生，每人一本；
（2）从7本不同的书中取出5本给某个同学；
（3）10个人相互写一封信，共写了几封信；
（4）10个人互相通一次电话，共通了几次电话．
解：
（1）由于书不同，每人每次拿到的也不同，有顺序之分，故它是排列问题．
（2）从7本不同的书中，取出5本给某个同学，在每种取法中取出的5本并不考虑书的顺序，故它是组合问题．
（3）因为两人互写一封信与写信人与收信人的顺序有关，故它是排列问题．
（4）因为互通电话一次没有顺序之分，故它是组合问题.
有关组合数的计算与证明
[典例]
（1）求值：
＋…＋C
；
（2）解方程：
－
（3）解不等式：
2C
<
3C
.
[解]
（1）C
＝5985.
（2）由题意知0≤m≤5且m∈N*，
故
，
即60－10（6－m）＝（7－m）·
（6－m）．
所以m2－23m＋42＝0，
解得m＝2或m＝21.
又因为m∈[0,5]，所以m＝2.
（3）因为2C
所以2C
所以
3×
又因为
所以x≥2，
所以2≤x<
，且x∈N*，
所以x＝2,3,4,5.
所以不等式的解集为{2,3,4,5}．
关于组合数公式的选取技巧
（1）涉及具体数字的可以直接用
·
进行计算．
（2）涉及字母的可以用阶乘式C
计算．
（3）计算时应注意利用组合数的性质C
简化运算．
1．计算：
的值．
∵
∴9.5≤n≤10.5.
∵n∈N*，∴n＝10.
∴C
＋31＝466.
2．求使3C
＝5A
成立的x值．
根据排列数和组合数公式，原方程可化为
3·
＝5·
即
，即为（x－3）（x－6）＝40.
∴x2－9x－22＝0，解得x＝11或x＝－2.
又∵x∈N*，∴x＝11.
3．证明下列各等式．
（1）C
（2）C
…＋C
证明：
（1）右边＝
＝左边，∴原式成立．
（2）左边＝（C
）＋C
＝（C
）＋…＋C
＝（C3n＋4＋C
＝…＝C
＝右边，
∴原式成立.
简单的组合问题
[典例] 现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．
（1）现要从中选2名去参加会议有多少种不同的选法？
（2）选出2名男教师或2名女教师参加会议，有多少种不同的选法？
（3）现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？
[解]
（1）从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，
即C
＝45.
（2）可把问题分两类情况：
第1类，选出的2名是男教师有C
种方法；
第2类，选出的2名是女教师有C
种方法．
根据分类加法计数原理，共有C
＝15＋6＝21种不同选法．
（3）从6名男教师中选2名的选法有C
种，从4名女教师中选2名的选法有C
种，根据分步乘法计数原理，共有不同的选法C
×
＝15×
6＝90（种）．
解答简单的组合问题的思考方法
（1）弄清要做的这件事是什么事；
（2）选出的元素是否与顺序有关，也就是看看是不是组合问题；
（3）结合两计数原理利用组合数公式求出结果．
本例已知条件不变，若改为：
现从中选2名教师参加会议，至少有1名男教师的选法是多少？
最多有1名男教师的选法又是多少？
至少有1名男教师可分两类：
1男1女有C
种，2男0女有C
种．
由分类加法计数原理知有C
＝39（种）．
最多有1名男教师包括两类：
种，0男2女有C
＝30（种）．
层级一 学业水平达标
＝（ ）
A．120 B．240
C．60D．480
解析：
选A C
＋
＝120.
2．在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各数位之和为偶数的共有（ ）
A．36个B．24个
C．18个D．6个
选A 若各位数字之和为偶数，则只能两奇一偶，故有C
A
＝36个．
3．方程C
的解集为（ ）
A．{4}B．{14}
C．{4,6}D．{14,2}
选C 由题意知
或
解得x＝4或6.
4．将2名教师、4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ）
A．12种B．10种
C．9种D．8种
选A 先安排1名教师和2名学生到甲地，再将剩下的1名教师和2名学生安排到乙地，共有C
＝12种安排方案．
5．异面直线a，b上分别有4个点和5个点，由这9个点可以确定的平面个数是（ ）
A．20B．9
C．C
D．C
选B 分两类：
第一类，在直线a上任取一点，与直线b可确定C
个平面；
第二类，在直线b上任取一点，与直线a可确定C
个平面．故可确定C
＝9个不同的平面．
6．计算：
因为
所以n＝10.
所以原式＝C
466
7．对所有满足1≤m<
n≤5的自然数m，n，方程x2＋C
y2＝1所表示的不同椭圆的个数为________．
因为1≤m<
n≤5，所以C
可以是C
，计算可知C
，故x2＋C
y2＝1能表示6个不同的椭圆．
6
8．不等式C
－n<
5的解集为________．
由C
5，得
5，∴n2－3n－10<
0.
解得－2<
n<
5.由题设条件知n≥2，且n∈N*，
∴n＝2,3,4.故原不等式的解集为{2,3,4}．
{2,3,4}
9．
（1）解方程：
＝6C
（2）解不等式：
>
（1）原方程等价于
m（m－1）（m－2）＝6×
∴4＝m－3，解得m＝7.
（2）由已知得：
∴x≤8，且x∈N*，
∵C
，∴
，∴x>
3（9－x），解得x>
，∴x＝7,8.
∴原不等式的解集为{7,8}．
10．一位教练的足球队共有17名初级学员，他们中以前没有人参加过比赛．按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人．问：
（1）这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场方案？
（2）如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？
（1）由于上场学员没有角色差异，所以可以形成的学员上场方案种数为C
＝12376.
（2）教练员可以分两步完成这件事情：
第1步，从17名学员中选出11人组成上场小组，共有C
种选法；
第2步，从选出的11人中选出1名守门员，共有C
种选法．
所以教练员做这件事情的方式种数为C
＝136136.
层级二 应试能力达标
1．若C
，则n的集合是（ ）
A．{6,7,8,9} B．{0,1,2,3}
C．{n|n≥6}D．{7,8,9}
选A ∵C
⇒
∵n∈N*，∴n＝6,7,8,9.
∴n的集合为{6,7,8,9}．
2．已知圆上有9个点，每两点连一线段，若任意两条线的交点不同，则所有线段在圆内的交点有（ ）
A．36个B．72个
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