届高考冲刺高考仿真模拟卷四 数学理Word文件下载.docx

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3．若函数f（x）是幂函数，且满足

＝3，则f

＝（　　）

A．

B．3

C．－

D．－3

答案　A

解析　设f（x）＝xα（α为常数），

∵满足

＝3，∴

＝3，∴α＝log23.

∴f（x）＝xlog23，则f

＝2－log23＝

.

4．已知下列四个命题：

①存在a∈R，使得z＝（1－i）（a＋i）为纯虚数；

②对于任意的z∈C，均有z＋

∈R，z·

∈R；

③对于复数z1，z2，若z1－z2>

0，则z1>

z2；

④对于复数z，若|z|＝1，则z＋

∈R.其中正确命题的个数为（　　）

A．1B．2

C．3D．4

解析　①z＝（1－i）（a＋i）＝a＋1＋（1－a）i，若z为纯虚数，则a＋1＝0,1－a≠0，得a＝－1，故①正确；

②设z＝a＋bi（a，b∈R），则

＝a－bi，那么z＋

＝2a∈R，z·

＝a2＋b2∈R，故②正确；

③令z1＝3＋i，z2＝－2＋i，满足z1－z2>

0，但不满足z1>

z2，故③不正确；

④设z＝a＋bi（a，b∈R），其中a，b不同时为0，由|z|＝1，得a2＋b2＝1，则z＋

＝a＋bi＋

＝2a∈R，故④正确．

5．（2019·

安徽江淮十校第一次联考）勒洛三角形是定宽曲线所能构成的面积最小的图形，它是德国机械学家勒洛首先进行研究的．其画法是：

先画一个正三角形，再以正三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．如图所示，现要在勒洛三角形中随机取一点，则此点在正三角形ABC内的概率为（　　）

B．

C．

D．

解析　可令BC＝2，则以B为圆心的扇形面积S扇形ABC＝

＝

，△ABC的面积S△ABC＝

×

2×

，由题图可知，勒洛三角形的面积为3个扇形ABC的面积减去2个正三角形ABC的面积，即

3－2

＝2π－2

所以在勒洛三角形中随机取一点，此点在正三角形ABC内的概率是

，故选B.

6．已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足a6,3a4，－a5成等差数列，则

A．3B．9

C．10D．13

解析　因为a6,3a4，－a5成等差数列，所以6a4＝a6－a5，设等比数列{an}的公比为q，则6a4＝a4q2－a4q，解得q＝3或q＝－2（舍去），所以

＝1＋q2＝10.

7．已知椭圆

＋

＝1（a>

b>

0）的左焦点为F1（－2,0），过点F1作倾斜角为30°

的直线与圆x2＋y2＝b2相交的弦长为

b，则椭圆的标准方程为（　　）

＝1B．

＝1

＝1D．

解析　由左焦点为F1（－2,0），可得c＝2，即a2－b2＝4，

过点F1作倾斜角为30°

的直线的方程为y＝

（x＋2），

圆心（0,0）到直线的距离d＝

＝1，

由直线与圆x2＋y2＝b2相交的弦长为

b，

可得2

b，解得b＝2，a＝2

则椭圆的标准方程为

＝1.

8．（2019·

北京东城二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，终边分别是射线OA和射线OB，射线OA，OC与单位圆的交点分别为A

，C（－1,0），若∠BOC＝

，则cos（β－α）的值是（　　）

解析　依题意，得cosα＝

，sinα＝

，cosβ＝－

，sinβ＝

，所以cos（β－α）＝cosβcosα＋sinβsinα＝－

.故选C.

9．下图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《数书九章》中的“中国剩余定理”．已知正整数n被3除余2，被7除余4，被8除余5，求n的最小值．执行该程序框图，则输出的n＝（　　）

A．50B．53

C．59D．62

解析　模拟程序运行，变量n值依次为1229,1061,893,725,557,389,221,53，此时不符合循环条件，输出n＝53.

10．（2018·

全国卷Ⅱ）已知f（x）是定义域为（－∞，＋∞）的奇函数，满足f（1－x）＝f（1＋x）．若f

（1）＝2，则f

（1）＋f

（2）＋f（3）＋…＋f（50）＝（　　）

A．－50B．0

C．2D．50

解析　因为f（x）是定义域为（－∞，＋∞）的奇函数，且f（1－x）＝f（1＋x），所以f（1＋x）＝－f（x－1），

所以f（3＋x）＝－f（x＋1）＝f（x－1），所以T＝4，

因此f

（1）＋f

（2）＋f（3）＋…＋f（50）＝12[f

（1）＋f

（2）＋f（3）＋f（4）]＋f

（1）＋f

（2），

因为f（3）＝－f

（1），f（4）＝－f

（2），所以f

（1）＋f

（2）＋f（3）＋f（4）＝0，

因为f

（2）＝f（－2）＝－f

（2），所以f

（2）＝0，从而f

（1）＋f

（2）＋f（3）＋…＋f（50）＝f

（1）＝2.选C.

11．已知数列{an}，定义数列{an＋1－2an}为数列{an}的“2倍差数列”，若{an}的“2倍差数列”的通项公式为an＋1－2an＝2n＋1，且a1＝2，若数列{an}的前n项和为Sn，则S33＝（　　）

A．238＋1B．239＋2

C．238＋2D．239

解析　根据题意，得an＋1－2an＝2n＋1，a1＝2，

∴

－

∴数列

是首项为1，公差d＝1的等差数列，

＝1＋（n－1）＝n，∴an＝n·

2n，

∴Sn＝1×

21＋2×

22＋3×

23＋…＋n·

∴2Sn＝1×

22＋2×

23＋3×

24＋…＋n·

2n＋1，

∴－Sn＝2＋22＋23＋24＋…＋2n－n·

－n·

2n＋1＝－2＋2n＋1－n·

2n＋1

＝－2＋（1－n）2n＋1，

∴Sn＝（n－1）2n＋1＋2，

S33＝（33－1）×

233＋1＋2＝239＋2.

12．（2018·

全国卷Ⅰ）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（　　）

解析　根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，所以在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面AB1D1与线AA1，A1B1，A1D1所成的角是相等的，所以平面AB1D1与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的，同理平面C1BD也满足与正方体的每条棱所在的直线所成的角都是相等的，要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面AB1D1与C1BD中间的，且过棱的中点的正六边形，边长为

，所以其面积为S＝6×

2＝

.故选A.

二、填空题：

本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．某学校高一学生有720人，现从高一、高二、高三这三个年级学生中采用分层抽样方法，抽取180人进行英语水平测试，已知抽取高一学生人数是抽取高二学生人数和高三学生人数的等差中项，且高二年级抽取65人，则该校高三年级学生人数是________．

答案　660

解析　根据题意，设高三年级抽取x人，

则高一抽取（180－x－65）人，

由题意可得2（180－x－65）＝x＋65，解得x＝55.

高一学生有720人，

则高三年级学生人数为720×

＝660.

14．（2019·

江苏南通高三模拟）已知实数x，y满足（x＋y－2）（x－2y＋3）≥0，则x2＋y2的最小值为________．

答案　

解析　由（x＋y－2）（x－2y＋3）≥0，

得

或

不等式组表示的平面区域如图所示，

x2＋y2＝（x－0）2＋（y－0）2表示平面区域内取一点到原点的距离的平方，又原点到x＋y－2＝0的距离为d＝

，原点到x－2y＋3＝0的距离为d＝

所以x2＋y2的最小值为

15．设F1，F2分别是双曲线

0，b>

0）的左、右焦点，点P在双曲线上，若

·

＝0，△PF1F2的面积为9，且a＋b＝7，则该双曲线的离心率为________．

解析　设|

|＝m，|

|＝n，

∵

＝0，△PF1F2的面积为9，

mn＝9，即mn＝18，

∵在Rt△PF1F2中，根据勾股定理，得m2＋n2＝4c2，

∴（m－n）2＝m2＋n2－2mn＝4c2－36，

结合双曲线的定义，得（m－n）2＝4a2，

∴4c2－36＝4a2，化简整理，得c2－a2＝9，即b2＝9，

可得b＝3.结合a＋b＝7得a＝4，∴c＝

＝5，

∴该双曲线的离心率为e＝

16．（2019·

北京东城综合练习一）设函数f（x）＝

若a＝1，则f（x）的最小值为________；

若f（x）有最小值，则实数a的取值范围是________．

答案　0　[0，＋∞）

解析　

（1）当a＝1时，f（x）＝ex－2x，x<

1，f′（x）＝ex－2，由f′（x）>

0，得ln2<

x<

1，由f′（x）<

0，得x<

ln2，故f（x）min＝f（ln2）＝2－2ln2；

当f（x）＝x－1（x≥1），f（x）单调递增，故f（x）min＝f

（1）＝0，又2－2ln2>

0，所以f（x）的最小值为0.

（2）①当a<

0时，由

（1）知f（x）＝ex－2x，x<

a单调递减，故f（x）>

f（a）；

f（x）＝ax－1（x≥a）单调递减，故f（x）≤f（a），故f（x）无最小值，舍去．②当a＝0时，f（x）最小值为－1，成立．③当a>

0时，f（x）＝ax－1（x≥a）单调递增，故f（x）≥f（a）；

对f（x）＝ex－2x，x<

a.

当0<

a≤ln2，由

（1）知f（x）>

f（a），此时f（x）＝

最小值在x＝a处取得，成立．

当a>

ln2，由

（1）知f（x）≥f（ln2），此时f（x）＝

最小值为min{f（ln2），f（a）}，即f（x）有最小值．

综上a≥0.

三、解答题：

共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：

共60分．

17．（本小题满分12分）已知向量a＝（cosx，－1），b＝

，函数f（x）＝（a＋b）·

a－2.

（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；

（2）在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知函数f（x）的图象经过点

，b，a，c成等差数列，且

＝9，求a的值．

解　f（x）＝（a＋b）·

a－2＝|a|2＋a·

b－2＝

cos2x＋

sin2x＝sin

.2分

（1）最小正周期T＝

＝π，由2kπ－

≤2x＋

≤2kπ＋

（k∈Z），得kπ－

≤x≤kπ＋

（k∈Z）.4