届高考数学二轮复习文数概率与统计专题七 第1讲学案含答案全国通用文档格式.docx
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包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有：
{A1，B2}，{A1，B3}，共2个，
思维升华 求古典概型概率的步骤
（1）反复阅读题目，收集题目中的各种信息，理解题意．
（2）判断试验是否为古典概型，并用字母表示所求事件．
（3）利用列举法求出总的基本事件的个数n及事件A中包含的基本事件的个数m.
（4）计算事件A的概率P（A）＝
跟踪演练1
（1）有2个男生和2个女生一起乘车去抗日战争纪念馆参加志愿者服务，他们依次上车，则第二个上车的是女生的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 设两男两女分别为a1，a2，b1，b2，则基本事件分别是（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a1），（a2，b1），（a2，b2），（b1，a2），（b1，a1），（b1，b2），（b2，a2），（b2，a1），（b2，b1），基本事件总数n＝12，其中第二个上车的是女生的基本事件数m＝6，所以概率P＝
，故选B.
（2）（2017·
武汉调研）若同时掷两枚骰子，则向上的点数和是6的概率为（ ）
答案 C
解析 由图表可知，点数和共有36种可能性，其中是6的共有5种，所以点数和是6的概率为
，故选C.
两枚骰子
的点数
1
2
3
4
5
6
（1,1）
（1,2）
（1,3）
（1,4）
（1,5）
（1,6）
（2,1）
（2,2）
（2,3）
（2,4）
（2,5）
（2,6）
（3,1）
（3,2）
（3,3）
（3,4）
（3,5）
（3,6）
（4,1）
（4,2）
（4,3）
（4,4）
（4,5）
（4,6）
（5,1）
（5,2）
（5,3）
（5,4）
（5,5）
（5,6）
（6,1）
（6,2）
（6,3）
（6,4）
（6,5）
（6,6）
热点二 几何概型
1．几何概型的概率公式：
2．几何概型应满足两个条件：
基本事件的无限性和每个基本事件发生的等可能性．
例2
（1）（2016·
全国Ⅱ）从区间[0,1]随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成n个数对（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（ ）
B.
C.
D.
解析 如图，
数对（xi，yi）（i＝1,2，…，n）表示落在边长为1的正方形OABC内（包括边界）的点，而平方和小于1的点均在阴影区域中，由几何概型概率计算公式知
≈
，
∴π≈
（2）（2017届四川省成都市九校联考）在区间[0,4]上随机产生两个均匀随机数分别赋给a，b，则|a－b|≤1的概率为（ ）
解析 在区间[0,4]上随机产生两个均匀随机数分别赋给a，b，区域面积为16，
则|a－b|≤1表示的区域面积为16－9＝7，
∴所求概率为
思维升华 当试验结果构成的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解；
利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．
跟踪演练2
（1）（2017·
石家庄模拟）在长为8cm的线段AB上任取一点C，作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形的面积小于15cm2的概率为（ ）
解析 设AC＝x，CB＝8－x，且0<
x<
8，矩形面积S＝x（8－x）<
15，解不等式得x<
3或x>
5，由几何概型的概率公式可知所求概率P＝
江西省赣中南五校联考）如图所示的矩形，长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影部分的面积为________．
答案
解析 矩形面积为10，设阴影部分面积为S，
则
，解得S＝
热点三 互斥事件与对立事件
1．事件A，B互斥，那么事件A∪B发生（即A，B中有一个发生）的概率，等于事件A，B分别发生的概率的和，即P（A∪B）＝P（A）＋P（B）．
2．在一次试验中，对立事件A和B不会同时发生，但一定有一个发生，因此有P（B）＝1－P（A）．
例3 某商场在元旦举行购物抽奖促销活动，规定顾客从装有编号为0,1,2,3,4的五个相同小球的抽奖箱中一次任意摸出两个小球，若取出的两个小球的编号之和等于7则中一等奖，等于6或5则中二等奖，等于4则中三等奖，其余结果为不中奖．
（1）求中二等奖的概率；
（2）求不中奖的概率．
解
（1）记“中二等奖”为事件A.
从五个小球中一次任意摸出两个小球，不同的结果有{0,1}，{0,2}，{0,3}，{0,4}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共10个基本事件．
记两个小球的编号之和为x，由题意可知，事件A包括两个互斥事件：
x＝5，x＝6.
事件x＝5的取法有2种，即{1,4}，{2,3}，
故P（x＝5）＝
；
事件x＝6的取法有1种，即{2,4}，故P（x＝6）＝
所以P（A）＝P（x＝5）＋P（x＝6）＝
＋
（2）记“不中奖”为事件B，则“中奖”为事件
，由题意可知，事件
包括三个互斥事件：
中一等奖（x＝7），中二等奖（事件A），中三等奖（x＝4）．
事件x＝7的取法有1种，即{3,4}，
故P（x＝7）＝
事件x＝4的取法有{0,4}，{1,3}，共2种，
故P（x＝4）＝
由
（1）可知，P（A）＝
所以P（
）＝P（x＝7）＋P（x＝4）＋P（A）
所以不中奖的概率为P（B）＝1－P（
）＝1－
思维升华 事件的互斥和对立是既有联系又有区别的两个概念，要充分利用对立事件是必然有一个发生的互斥事件．在判断这些问题时，先要判断两个事件是不是互斥事件（即是否不可能同时发生），然后判断这两个事件是不是对立事件（即是否必然有一个发生）．在解答与两个事件有关的问题时一定要仔细斟酌，全面考虑，防止出现错误．
跟踪演练3
（1）从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，若事件A＝“所取的3个球中至少有1个白球”，则事件A的对立事件是（ ）
A．1个白球2个红球
B．2个白球1个红球
C．3个都是红球
D．至少有一个红球
（2）（2017·
孝义模拟）现有4张卡片，正面分别标有1,2,3,4，背面完全相同．将卡片洗匀，背面向上放置，甲、乙二人轮流抽取卡片，每人每次抽取一张，抽取后不放回，甲先抽．若二人约定，先抽到标有偶数的卡片者获胜，则甲获胜的概率是（ ）
答案
（1）C
（2）D
解析
（1）事件A＝“所取的3个球中至少有1个白球”说明有白球，白球的个数可能是1或2，和事件“1个白球2个红球”，“2个白球1个红球”，“至少有一个红球”都能同时发生，既不互斥，也不对立．故选C.
（2）甲抽取一张卡片获胜的概率为
甲抽取两张卡片获胜的概率为
×
1＝
所以甲获胜的概率为
，故选D.
真题体验
1．（2017·
全国Ⅱ改编）从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为______．
解析 从5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张的情况如图：
基本事件总数为25，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为10，
∴所求概率P＝
2．（2016·
全国Ⅰ改编）某公司的班车在7：
30,8：
00,8：
30发车，小明在7：
50至8：
30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是________．
解析 如图所示，画出时间轴：
小明到达的时间会随机的落在图中线段AB中，而当他的到达时间落在线段AC或DB时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型得所求概率P＝
3．（2016·
北京改编）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒，每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则下列说法正确的是______．
（1）乙盒中黑球不多于丙盒中黑球；
（2）乙盒中红球与丙盒中黑球一样多；
（3）乙盒中红球不多于丙盒中红球；
（4）乙盒中黑球与丙盒中红球一样多．
答案
（2）
解析 取两个球往盒子中放有4种情况：
①红＋红，则乙盒中红球数加1；
②黑＋黑，则丙盒中黑球数加1；
③红＋黑（红球放入甲盒中），则乙盒中黑球数加1；
④黑＋红（黑球放入甲盒中），则丙盒中红球数加1.
因为红球和黑球个数一样，所以①和②的情况一样多．③和④的情况完全随机，③和④对
（2）中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数没有任何影响．①和②出现的次数是一样的，所以对
（2）中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数的影响次数一样．故
（2）正确．
4．（2017·
江苏）记函数f（x）＝
的定义域为D.在区间[－4,5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是________．
解析 设事件“在区间[－4,5]上随机取一个数x，则x∈D”为事件A，
由6＋x－x2≥0，解得－2≤x≤3，
∴D＝[－2,3]．
如图，区间[－4,5]的长度为9，定义域D的长度为5，
∴P（A）＝
押题预测
1．将一骰子抛掷两次，所得向上的点数分别为m和n，则函数y＝
mx3－nx＋1在[1，＋∞）上为增函数的概率是（ ）
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