高中数学第二章函数24二次函数性质的再研究学案北师大版必修1Word文件下载.docx

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当a>

0时，图像开口向上，a值越大，开口越小；

当a<

0时，图像开口向下，a值越大，开口越大．

3．二次函数y＝a（x＋h）2＋k（a≠0）中，h，k对函数图像的变换有何影响？

h决定了二次函数图像的左、右平移，而且“h正左移，h负右移”；

k决定了二次函数图像的上、下平移，而且“k正上移，k负下移”．

讲一讲

1．在同一坐标系中作出下列函数的图像．

（1）y＝x2；

（2）y＝x2－2；

（3）y＝2x2－4x.

并分析如何把y＝x2的图像变换成y＝2x2－4x的图像．

[尝试解答]　

（1）列表：

（2）描点、连线即得相应函数的图像，如图所示．

由图像可知由y＝x2到y＝2x2－4x的变化过程如下．

法一：

先把y＝x2的图像向右平移1个单位长度得到y＝（x－1）2的图像，然后把y＝（x－1）2的图像横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到y＝2（x－1）2的图像，最后把y＝2（x－1）2的图像向下平移2个单位长度便可得到y＝2x2－4x的图像．

法二：

先把y＝x2的图像向下平移1个单位长度得到y＝x2－1的图像，然后再把y＝x2－1的图像向右平移一个单位长度得到y＝（x－1）2－1的图像，最后把y＝（x－1）2－1的图像横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，便可得到y＝2（x－1）2－2，即y＝2x2－4x的图像．

本例中如何把y＝2x2－4x的图像变换成y＝x2的图像？

解：

∵y＝2x2－4x＝2（x－1）2－2，故可先把y＝2x2－4x的图像向上平移2个单位长度得到y＝2（x－1）2的图像，然后再把y＝2（x－1）2的图像向左平移1个单位长度，得到y＝2x2的图像，最后把y＝2x2的图像纵坐标变为原来的

，便可得到y＝x2的图像．　　　　

二次函数图像的作法

（1）描点法：

在利用描点法时，通过配方直接选出关键点，即顶点．再依据对称性选点，可减少选点的盲目性．二次函数图像的开口方向、对称轴与坐标轴的交点在作图时起关键作用，作图时应关注这些几何要素．

（2）图像变换法：

所有二次函数的图像均可以由函数f（x）＝x2的图像经过变换得到．变换前，先将二次函数的解析式化为顶点式后，再确定变换的步骤．

练一练

1．画出y＝

x2－6x＋21的图像，并说明由y＝x2的图像如何变换得到y＝

x2－6x＋21的图像？

y＝

x2－6x＋21＝

（x－6）2＋3，

顶点坐标为（6,3），对称轴为x＝6.

利用二次函数的对称性列表：

x

4

5

6

7

8

y

3.5

3

描点连线得到函数y＝

x2－6x＋21的图像如下图．

平移过程如下：

先把函数y＝x2图像上的所有点的纵坐标缩小为原来的

倍，得到函数y＝

x2的图像，再把y＝

x2的图像向右平移6个单位，得到函数y＝

（x－6）2的图像，最后把y＝

（x－6）2的图像上的所有点向上平移3个单位，即得到函数y＝

x2－6x＋21的图像．

2．

（1）已知一个二次函数y＝f（x），f（0）＝3，又知当x＝－3和x＝－5时，函数的值为零，求这个二次函数的解析式；

（2）已知二次函数f（x）图像的对称轴是直线x＝－1，并且经过点（1,13）和（2,28），求二次函数f（x）的解析式．

[尝试解答]　

（1）由题意可知－3和－5为二次函数图像与x轴交点的横坐标，

∴设y＝f（x）＝a（x＋3）（x＋5）．

又∵f（0）＝3，∴f（0）＝15a＝3，即a＝

.

∴f（x）＝

（x＋3）（x＋5）＝

（x2＋8x＋15）

＝

x2＋

x＋3.

（2）设f（x）＝a（x＋1）2＋k，

由题意得f

（1）＝13，f

（2）＝28，

∴有

解得

故f（x）＝3（x＋1）2＋1＝3x2＋6x＋4.

求二次函数解析式一般利用待定系数法，但应根据已知条件的特点，灵活选用解析式的形式，一般规律：

（1）已知抛物线上任意三点时，通常设函数解析式为一般式，然后列出三元一次方程组求解．

（2）当已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时，通常设函数解析式为顶点式，y＝a（x－h）2＋k（a，h，k为常数，a≠0）．

（3）当已知抛物线与x轴的交点或交点的横坐标时，通常设函数解析式为两根式，y＝a（x－x1）（x－x2）（a，x1，x2是常数，a≠0）．

2．已知二次函数y＝f（x）分别满足下列条件：

（1）图像过A（0,1），B（1,2），C（2，－1）三点；

（2）图像顶点是（－2,3），且过点（－1,5）．

求对应函数的解析式．

（1）设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）

由已知函数的图像过（0,1），（1,2），（2，－1）三点，

得

∴函数的解析式为f（x）＝－2x2＋3x＋1.

（2）∵抛物线的顶点为（－2,3），

∴可设f（x）＝a（x＋2）2＋3（a≠0）．

∵图像过点（－1,5），

∴5＝a（－1＋2）2＋3.

∴a＝2.

∴函数的解析式为f（x）＝2（x＋2）2＋3，

即f（x）＝2x2＋8x＋11.

若方程x2－2x－3＝a有两个不相等的实数解，求实数a的取值范围．

[巧思]　令f（x）＝x2－2x－3，g（x）＝a将方程有两个不相等的实数解转化为两个函数的图像有两个不同的交点．

[妙解]　令f（x）＝x2－2x－3，g（x）＝a.

作出f（x）的图像如图所示．

∵f（x）与g（x）图像的交点个数即为方程x2－2x－3＝a解的个数．

由图可知①当a＜－4时，f（x）与g（x）无交点，即方程x2－2x－3＝a无实根；

②当a＝－4时，f（x）与g（x）有一个公共点，即方程x2－2x－3＝a有一个实根；

③当a＞－4时，f（x）与g（x）有两个公共点，即方程x2－2x－3＝a有两个实根．

综上所述，当方程x2－2x－3＝a有两个实数解时，实数a的取值范围是（－4，

＋∞）．

1．二次函数y＝x2的图像上各点的纵坐标变为原来的2倍，得到的新图像的二次函数是（　　）

A．y＝x2＋2B．y＝2x2

C．y＝

x2D．y＝x2－2

解析：

选B　将二次函数y＝x2的图像上各点的纵坐标变为原来的2倍，得到的新图像对应的解析式为y＝2x2.

2．y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图像如图所示，则点M（a，bc）在　　（　　）

A．第一象限　　　B．第二象限

C．第三象限D．第四象限

选A　由图可知a＞0，－

＞0，c＜0，∴bc＞0.

3．已知抛物线与x轴交于点（－1,0），（1,0），并且与y轴交于点（0,1），则抛物线的解析式为（　　）

A．y＝－x2＋1B．y＝x2＋1

C．y＝－x2－1D．y＝x2－1

选A　由题意抛物线对称轴是y轴且开口向下，顶点为（0,1），故抛物线为y＝－x2＋1.

4．将函数y＝2（x＋1）2－2向________平移________个单位，再向________平移________个单位可得到函数y＝2x2的图像．

通过y＝2x2→y＝2（x＋1）2－2反向分析，也可借助顶点分析．

答案：

右　1　上　2

5．抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点为（－1,0）、（3,0），其形状与抛物线y＝－2x2相同，则y＝ax2＋bx＋c的解析式为________．

由题意，得y＝－2（x＋1）（x－3）＝－2x2＋4x＋6.

y＝－2x2＋4x＋6

6．对于二次函数y＝－x2＋4x＋3，

（1）指出图像的开口方向、对称轴、顶点坐标；

（2）说明其图像是由y＝－x2的图像经过怎样的平移得来．

∵y＝－（x－2）2＋7，

∴

（1）开口向下；

对称轴为x＝2；

顶点坐标为（2,7）．

（2）先将y＝－x2的图像向右平移2个单位，然后再向上平移7个单位，即可得到y＝－x2＋4x＋3的图像．

一、选择题

1．如何平移抛物线y＝2x2可得到抛物线y＝2（x－4）2－1　　（　　）

A．向左平移4个单位，再向上平移1个单位

B．向左平移4个单位，再向下平移1个单位

C．向右平移4个单位，再向上平移1个单位

D．向右平移4个单位，再向下平移1个单位

选D　要得到y＝2（x－4）2－1的图像，只需将y＝2x2的图像向右平移4个单位，再向下平移1个单位．

2．设abc＞0，二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c的图像可能是　　（　　）

选D　由A、C、D知，f（0）＝c＜0，

∵abc＞0，∴ab＜0，

∴对称轴x＝－

＞0，知A、C错；

D符合要求，由B知f（0）＝c＞0，∴ab＞0，∴x＝－

＜0，B错误．

3．（山东高考）设函数f（x）＝

，g（x）＝－x2＋bx，若y＝f（x）的图像与y＝g（x）的图像有且仅有两个不同的公共点A（x1，y1），B（x2，y2），则下列判断正确的是（　　）

A．x1＋x2>

0，y1＋y2>

B．x1＋x2>

0，y1＋y2<

C．x1＋x2<

D．x1＋x2<

选B　由于函数y＝f（x）的图像在一三象限且关于坐标原点对称，函数y＝g（x）的图像过坐标原点，结合函数图像可知点A，B一定只能一个在第一象限、另一个在第三象限，即x1x2<

0，由于y1＋y2＝

＋

，故x1＋x2，y1＋y2一定异号．

问题即为方程－x2＋bx＝

仅有两个不同的实根，即方程x3－bx2＋1＝0有一个二重根、一个单根．此时结合图像可知位于第一象限的点A的横坐标为方程根，根据方程根的理论，如果x1是方程x3－bx2＋1＝0的二重根，x2为一个单根，则x3－bx2＋1＝（x－x1）2（x－x2）＝x3－（2x1＋x2）x2＋（x

＋2x1x2）x－x

x2，这个等式对任意x恒成立，比较等式两端x的系数可得x

＋2x1x2＝0，即x1＋2x2＝0，即x1＋x2＝－x2>

0，所以x1＋x2>

0.

4．设b＞0，二次函数y＝ax2＋bx＋a2－1的图像为下列之一，则a的值为（　　）

A．1　　　　　B．－1

C.

D.

选B　由第一个图与第二个图中与x轴的两个交点为对称点，则两根之和为0.又已知x1＋x2＝－

≠0，故可排除．由第三个图与第四个图知，一根为0，另一根为正数，即x1＋x2＝－

＞0，又b＞0，故