高中数学题型全面归纳 双曲线及其性质43改Word文档格式.docx
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标准方程
图形
A1
F1
A2
焦点坐标
对称性
关于
轴成轴对称，关于原点成中心对称
顶点坐标
范围
实轴、
虚轴
实轴长为
，虚轴长为
离心率
渐近线方程
令
焦点到渐近线的距离为
点和双曲线
的位置关系
共焦点的双曲线方程
共渐近线的双曲线方程
切线方程
为切点
对于双曲线上一点
所在的切线方程，只需将双曲线方程中
换为
换成
便得.
切点弦所在直线方程
为双曲线外一点
点
为双曲线与两渐近线之间的点
弦长公式
设直线与双曲线两交点为
则弦长
，其中“
”是消“
”后关于“
”的一元二次方程的“
”系数.
通径
通径（过焦点且垂直于
的弦）是同支中的最短弦，其长为
焦点三角形
双曲线上一点
与两焦点
构成的
成为焦点三角形，
设
，则
焦点三角形中一般要用到的关系是
等轴双曲线
等轴双曲线满足如下充要条件：
双曲线为等轴双曲线
两渐近线互相垂直
渐近线方程为
方程可设为
题型归纳及思路提示
题型139双曲线的定义与标准方程
思路提示
求双曲线的方程问题，一般有如下两种解决途径：
（1）在已知方程类型的前提下，根据题目中的条件求出方程中的参数
，即利用待定系数法求方程.
（2）根据动点轨迹满足的条件，来确定动点的轨迹为双曲线，然后求解方程中的参数，即利用定义法求方程.
例10.11设椭圆
的离心率为
，焦点在
轴上且长轴长为26，若曲线
上的点到椭圆
的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线
的标准方程为（）
A.
B.
C.
D.
变式1设命题甲：
平面内有两个定点
和一动点
，使得
为定值，命题乙：
的轨迹为双曲线，则命题甲是命题乙的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
变式2【2017课标3，理5】已知双曲线C：
（a＞0,b＞0）的一条渐近线方程为
且与椭圆
有公共焦点，则C的方程为
A．
B．
C．
D．
变式3已知
，动点
满足
，记动点的
轨迹为
，求
的方程.
例10.12求满足下列条件的双曲线的标准方程：
（1）经过点
，焦点为
；
（2）实半轴长为
且与双曲线
有公共焦点；
（3）经过点
变式1根据下列条件，求双曲线的标准方程：
（1）与双曲线
有共同的渐近线，且过点
（2）与双曲线
且过点
变式2若动圆
与圆
外切，且与圆
内切，求动圆
的圆心
的轨迹方程.
例10.13已知双曲线的离心率为2，焦点分别为
，则双曲线方程为（）
D.
变式1已知双曲线
的一条渐近线方程为
，一个焦点在抛物线
的准线上，则双曲线的方程为（）
变式2已知双曲线
的焦距为10，点
在
的渐近线上，则
的方程为（）
变式3已知点
是双曲线
渐近线上的一点，
是左、右两个焦点，若
，则双曲线的方程为（）
题型140双曲线的渐近线
掌握双曲线方程与其渐近线方程的互求；
由双曲线方程容易求得渐近线方程；
反之，由渐近线方程可得出
的关系式，为求双曲线方程提供了一个条件.另外，焦点到渐近线的距离为虚半轴长
例10.14双曲线
的渐近线方程为（）
变式1【2016高考天津理数】已知双曲线
（b>
0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形的ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为（）
（A）
（B）
（C）
（D）
变式2【2017天津，理5】已知双曲线
的左焦点
为
，离心率为
.若经过
两点的直线平行于双曲线的
一条渐近线，则双曲线的方程为
变式3已知双曲线
的左、右焦点分别为
，其中一条渐近线方程为
，点
在该双曲线上，则
等于（）
A.-12B.-2C.0D.4
例10.15双曲线
的一个焦点到其渐近线的距离是_________.
变式1双曲线
的渐近线与圆
相切，则
（）
B.2C.3D.6
的两条渐近线均和圆
相切，且双曲线的右焦点为圆
的圆心，则该双曲线的方程为（）
例10.16过双曲线
的右顶点
作斜率为-1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为
，若
，作为双曲线的渐近线方程为_______.
变式1过双曲线
的直线
与双曲线
的两条渐近线交于
两点，且
，则直线
的斜率为_____________.
变式2【2017山东，理14】在平面直角坐标系
中，双曲线
的右支与焦点为
的抛物线
交于
两点，若
，则该双曲线的渐近线方程为.
题型141离心率的值及取值范围
求离心率的本质就是探求
间的数量关系，知道
中任意两者的等式关系或不等关系便可求解出
或其范围，具体方法为标准方程法和定义法.
例10.17已知双曲线
，则此双曲线的离心率
为（）
B.2C.
变式1【2017课标II，理9】若双曲线
（
）的一条渐近线被圆
所截得的弦长
为2，则
的离心率为（）
A．2B．
C．
D．
变式2【2017课标1，理】已知双曲线C：
（a>
0，b>
0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点.若∠MAN=60°
，则C的离心率为________.
的离心率
的取值范围是（）
例10.18已知双曲线的渐近线方程是
，则该双曲线的离心率等于________
评注
若双曲线方程为
时（焦点在
轴上），其渐近线方程为
若双曲线的渐近线方程为
则其离心率
（焦点在
轴上）或
轴上）；
若双曲线的离心率为
，则其渐近线方程为
轴上）.
变式1【2016高考新课标2理数】已知
的左，右焦点，点
上，
与
轴垂直，
则
的离心率为（）
（D）2
变式2若双曲线
，则其渐近线方程为______.
例10.19已知双曲线
（1）若实轴长，虚轴长，焦距成等差数列，则该双曲线的离心率_________；
（2）若实轴长，虚轴长，焦距成等比数列，则该双曲线的离心率_________.
变式1设双曲线的一个焦点为
，虚轴的一个端点为
，如果直线
与该双曲线的一条渐近线垂直，那么双曲线的离心率是（）
A.
B.
C.
变式2如图10-6所示，双曲线
的两个顶点为
，虚轴两个端点为
，两个焦点为
，若以
为直径的圆内切于菱形
，切点分别为
.则
（1）双曲线的离心率
_________.
（2）菱形
的面积
与矩形
的比值
例10.20双曲线
，过
作倾斜角为
的直线交双曲线右支于点
垂直于
轴，则双曲线的离心率为（）
变式1已知
的两个焦点，
为双曲线上的点，若
，则双曲线的离心率为（）
变式2已知
是
上一点，若
，且
的最小内角为
的离心率为_____________.
例10.21双曲线
的两个焦点为
为其上一点，且
，则双曲线的离心率的取值范围是（）
变式1已知双曲线
，若双曲线上存在点
使
，则该双曲线的离心率的取值范围是____________.
题型142焦点三角形
对于题中涉及双曲线上点到双曲线两焦点距离问题常用定义，即
，在焦点三角形面积问题中若已知角，则用
及余弦定理等知识；
若未知角，则用
例10.22过双曲线
左焦点
的直线交双曲线的左支于两点
为其右焦点，则
的值为_________.
变式1设
为双曲线
上的一点，
是该双曲线的两个焦点，若
的面积为（）
B.12
D.24
变式2双曲线
在双曲线上，
的面积为
A.2B.
C.-2D.
变式3已知
分别为双曲线
左、右焦点，点
的坐标为
的平分线，则
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