自考线性代数经管类重点考点Word格式文档下载.docx

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按第一列的展开式，经常简写成

　　4．n阶行列式

一阶行列式

n阶行列式

其中

　5．特殊行列式

上三角行列式

下三角行列式

对角行列式

（二）行列式的性质

性质1行列式和它的转置行列式相等，即

性质2用数k乘行列式D中某一行（列）的所有元素所得到的行列式等于kD，也就是说，行列式可以按行和列提出公因数.

性质3互换行列式的任意两行（列），行列式的值改变符号.

推论1如果行列式中有某两行（列）相同，则此行列式的值等于零.

推论2如果行列式中某两行（列）的对应元素成比例，则此行列式的值等于零.

性质4行列式可以按行（列）拆开.

性质5把行列式D的某一行（列）的所有元素都乘以同一个数以后加到另一行（列）的对应元素上去，所得的行列式仍为D.

定理1（行列式展开定理）

n阶行列式

等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积的和，即

或

前一式称为D按第i行的展开式，后一式称为D按第j列的展开式.

本定理说明，行列式可以按其任意一行或按其任意一列展开来求出它的值.

定理2n阶行列式

的任意一行（列）各元素与另一行（列）对应元素的代数余子式的乘积之和等于零.即

（三）行列式的计算

行列式的计算主要采用以下两种基本方法：

（1）利用行列式性质，把原行列式化为上三角（或下三角）行列式再求值，此时要注意的是，在互换两行或两列时，必须在新的行列式的前面乘上（－1），在按行或按列提取公因子k时，必须在新的行列式前面乘上k.

（2）把原行列式按选定的某一行或某一列展开，把行列式的阶数降低，再求出它的值，通常是利用性质在某一行或某一列中产生很多个“0”元素，再按这一行或这一列展开：

　例1　计算行列式

　　解：

观察到第二列第四行的元素为0，而且第二列第一行的元素是

，利用这个元素可以把这一列其它两个非零元素化为0，然后按第二列展开.

　　例2计算行列式

方法1　这个行列式的元素含有文字，在计算它的值时，切忌用文字作字母，因为文字可能取0值.要注意观察其特点，这个行列式的特点是它的每一行元素之和均为

（我们把它称为行和相同行列式），我们可以先把后三列都加到第一列上去，提出第一列的公因子

，再将后三行都减去第一行：

　　方法2观察到这个行列式每一行元素中有多个b，我们采用“加边法”来计算，即是构造一个与

有相同值的五阶行列式：

这样得到一个“箭形”行列式，如果

，则原行列式的值为零，故不妨假设

，即

，把后四列的

倍加到第一列上，可以把第一列的（－1）化为零.

例3三阶范德蒙德行列式

（四）克拉默法则

　　定理1（克拉默法则）设含有n个方程的n元线性方程组为

如果其系数行列式

，则方程组必有唯一解：

是把D中第j列换成常数项

后得到的行列式.

把这个法则应用于齐次线性方程组，则有

定理2设有含n个方程的n元齐次线性方程组

，则该方程组只有零解：

换句话说，若齐次线性方程组有非零解，则必有

，在教材第二章中，将要证明，n个方程的n元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是系数行列式等于零.

第二章矩阵

（一）矩阵的定义

　　　1．矩阵的概念

由

个数

排成的一个m行n列的数表

称为一个m行n列矩阵或

矩阵

当

时，称

为n阶矩阵或n阶方阵

元素全为零的矩阵称为零矩阵，用

或O表示

　2．3个常用的特殊方阵：

①n阶对角矩阵是指形如

的矩阵

②n阶单位方阵是指形如

的矩阵

③n阶三角矩阵是指形如

　　3．矩阵与行列式的差异

矩阵仅是一个数表，而n阶行列式的最后结果为一个数，因而矩阵与行列式是两个完全不同的概念，只有一阶方阵是一个数，而且行列式记号“

”与矩阵记号“

”也不同，不能用错.

（二）矩阵的运算

　　1．矩阵的同型与相等

设有矩阵

，若

，则说A与B是同型矩阵.若A与B同型,且对应元素相等，即

，则称矩阵A与B相等，记为

因而只有当两个矩阵从型号到元素全一样的矩阵，才能说相等.

　　2．矩阵的加、减法

设

是两个同型矩阵则规定

注意：

只有A与B为同型矩阵，它们才可以相加或相减.

由于矩阵的相加体现为元素的相加，因而与普通数的加法运算有相同的运算律.

　　3．数乘运算

，k为任一个数，则规定

故数k与矩阵A的乘积就是A中所有元素都乘以k，要注意数k与行列式D的乘积，只是用k乘行列式中某一行或某一列，这两种数乘截然不同.

矩阵的数乘运算具有普通数的乘法所具有的运算律.

　　4．乘法运算

，则规定

由此定义可知，只有当左矩阵A的列数与右矩阵B的行数相等时，AB才有意义，而且矩阵AB的行数为A的行数，AB的列数为B的列数，而矩阵AB中的元素是由左矩阵A中某一行元素与右矩阵B中某一列元素对应相乘再相加而得到.

故矩阵乘法与普通数的乘法有所不同，一般地：

①不满足交换律，即

②在

时，不能推出

，因而也不满足消去律.

特别，若矩阵A与B满足

，则称A与B可交换，此时A与B必为同阶方阵.

矩阵乘法满足结合律，分配律及与数乘的结合律.

　　5．方阵的乘幂与多项式方阵

设A为n阶方阵，则规定

特别

又若

称

为A的方阵多项式，它也是一个n阶方阵

　　6．矩阵的转置

设A为一个

矩阵，把A中行与列互换，得到一个

矩阵，称为A的转置矩阵，记为

，转置运算满足以下运算律：

由转置运算给出对称矩阵，反对称矩阵的定义

设A为一个n阶方阵，若A满足

，则称A为对称矩阵，若A满足

，则称A为反对称矩阵.

7．方阵的行列式

矩阵与行列式是两个完全不同的概念，但对于n阶方阵，有方阵的行列式的概念.

为一个n阶方阵，则由A中元素构成一个n阶行列式

，称为方阵A的行列式，记为

方阵的行列式具有下列性质：

设A，B为n阶方阵，k为数，则

①

；

②

③

（三）方阵的逆矩阵

　　1．可逆矩阵的概念与性质

设A为一个n阶方阵，若存在另一个n阶方阵B，使满足

，则把B称为A的逆矩阵，且说A为一个可逆矩阵，意指A是一个可以存在逆矩阵的矩阵，把A的逆矩阵B记为

，从而A与

首先必可交换，且乘积为单位方阵E.

逆矩阵具有以下性质：

设A，B为同阶可逆矩阵，

为常数，则

是可逆矩阵，且

②AB是可逆矩阵，且

③kA是可逆矩阵，且

④

⑤可逆矩阵可从矩阵等式的同侧消去，即

　　设P为可逆矩阵，则

　　2．伴随矩阵

为一个n阶方阵，

为A的行列式

中元素

的代数余子式，则矩阵

称为A的伴随矩阵，记为

（务必注意

中元素排列的特点）

伴随矩阵必满足

（n为A的阶数）

　　3．n阶阵可逆的条件与逆矩阵的求法

定理：

n阶方阵A可逆

，且

推论：

设A，B均为n阶方阵，且满足

，则A，B都可逆，且

　　例1设

（1）求A的伴随矩阵

（2）a，b，c，d满足什么条件时，A可逆？

此时求

　　解：

（1）对二阶方阵A，求

的口诀为“主交换，次变号”即

（2）由

，故当

时，即

，A为可逆矩阵

此时

（四）分块矩阵

1．分块矩阵的概念与运算

对于行数和列数较高的矩阵，为了表示方便和运算简洁，常用一些贯穿于矩阵的横线和纵线把矩阵分割成若干小块，每个小块叫做矩阵的子块，以子块为元素的形式上的矩阵叫做分块矩阵.

在作分块矩阵的运算时，加、减法，数乘及转置是完全类似的，特别在乘法时，要注意到应使左矩阵A的列分块方式与右矩阵B的行分块方式一致，然后把子块当作元素来看待，相乘时A的各子块分别左乘B的对应的子块.

2．准对角矩阵的逆矩阵

形如

的分块矩阵称为准对角矩阵，其中

均为方阵空白处都是零块.

若

都是可逆矩阵，则这个准对角矩阵也可逆，并且

（五）矩阵的初等变换与初等方阵

1．初等变换

对一个矩阵A施行以下三种类型的变换，称为矩阵的初等行（列）变换，统称为初等变换，

（1）交换A的某两行（列）；

（2）用一个非零数k乘A的某一行（列）；

（3）把A中某一行（列）的k倍加到另一行（列）上.

矩阵的初等变换与行列式计算有本质区别，行列式计算是求值过程，用等号连接，而对矩阵施行初等变换是变换过程用“

”连接前后矩阵.

初等变换是矩阵理论中一个常用的运算，而且最常见的是利用矩阵的初等行变换把矩阵化成阶梯形矩阵，以至于化为行简化的阶梯形矩阵.

2．初等方阵

由单位方阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等方阵.

由于初等变换有三种类型，相应的有三种类型的初等方阵，依次记为

和

，容易证明，初等方阵都是可逆矩阵，且它们的逆矩阵还是同一类的初等方阵.

3．初等变换与初等方阵的关系

设A为任一个矩阵，当在A的左边乘一个初等方阵的乘积相当于对A作同类型的初等行变换；

在A的右边乘一个初等方阵的乘积相当于对A作同类型的初等列变换.

4．矩阵的等价与等价标准形

若矩阵A经过若干次初等变换变为B，则称A与B等价，记为

对任一个

矩阵A，必与分块矩阵

等价，称这个分块矩阵为A的等价标准形.即对任一个

矩阵A，必存在n阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q，使得

5．用初等行变换求可逆矩阵的逆矩阵

设A为任一个n阶可逆矩阵，构造

矩阵（A，E）

然后

这里的初等变换必须是初等行变换.

　　例2求

的逆矩阵

则

例3求解矩阵方程

令

，则矩阵方程为

，这里A即为例2中矩阵，是可逆的，在矩阵方程两边左乘

，得

也能用初等行变换法，不用求出

，而直接求

（六）矩阵的秩

1．秩的定义

设A为

矩阵，把A中非零子式的最高阶数称为A的秩，记为秩

零矩阵的秩为0，因而

，对n阶方阵A，若秩

，称A为满秩矩阵，否则称为降秩矩阵.

2．秩的求法

由于阶梯形矩阵的秩就是矩阵中非零行的行数，又矩阵初等变换不改变矩阵的秩.对任一个矩阵A，只要用初等行变换把A化成阶梯形矩阵T，则秩（A）=秩（T）=T中非零行的行数.

3．与满秩矩阵等价的条件

n阶方阵A满秩

A可逆，即存在B，使

A非奇异，即

A的等价标准形为E

A可以表示为有限个初等方阵的乘积

齐次线性方程组

只有零解

对任意非零列向量b，非齐次线性方程组

有唯一解

A的行（列）向量组线性无关

A的行（列）向量组为

的一个基

任意n维行