向量组线性相关性判定文档格式.docx

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n矩阵对应一个m维列向量组?

也对应一个n维行向量组　　　　第3页　　　　（a11a22?

a1n）（a21a22?

a2n）?

（am1am2?

amn）线性组合与线性表示　　?

a11a12?

a1n?

aa?

21222n?

m1m2mn?

a11?

a12?

21?

a22?

a2n?

m1?

m2?

mn?

向量组的线性相关性的定义　　设A:

a1,a2,?

am是一向量组?

表达式k1a1?

k2a2?

kmam称为向量组A的一个线性组合?

其中k1,k2,?

km是一组实数?

称为这个线性组合的系数?

　　如果向量b是向量组A的线性组合b?

1a1?

2a2?

mam则称向量b能向量组A线性表示?

　　例如，任一n维向量，都可以n维基向量线性表示.　　例1.设向量组b1?

1,0,?

b2?

1,1,1?

b3?

3,1,?

b4?

5,3,1?

试判断b4是否可　　TTTTb1,b2,b3线性表示？

如果可以的话，求出一个线性表示式.　　解设一组数k1,k2,k3,使b4?

k1b1?

k2b2?

k3b3,即有　　T?

k1?

k2?

3k3,k2?

k3,?

k3?

.　　T向量相等的定义可得线性方程组　　?

3k3?

5,?

3,　　　　?

1.?

123该方程组的一个解为k1?

2,k2?

3,k3?

0.于是b4?

2b1?

3b2,即b4b1,b2,b3线性表示.定理1向量b能向量组A:

am线性表示的充分必要条件是矩阵A?

（a1,a2,?

am）与矩阵B?

am,b）的秩相等?

即R（A）?

R（B）?

向量组线性相关的定义　　定义1向量组A:

am（m?

2）线性相关?

在向量组A中至少有一个向量能其余　　m?

1个向量线性表示.　　定义2给定向量组A:

am，m个数k1,k2,?

km,构造k1a1?

kmam?

0,?

如果存在不全为零的数k1,k2,?

km,使?

式成立，称向量组A是线性相关的?

否则称它线性无关.这两个定义是等价的.证明如下：

　　　　第4页　　　　如果向量组A中有某个向量（不妨设am）能其余m?

1个向量线性表示?

即有　　?

1,?

2,?

1,使am?

1am?

1,　　于是?

（?

1）am?

0.　　因为?

1不全为0?

所以向量组A线性相关?

　　反过来，如果向量组A线性相关，则有k1a1?

0,其中k1,k2,?

km不全为0?

不妨设k1?

于是a1?

（1）（k2a2?

kmam）,　　k1即a1能a2,?

am线性表示?

　　例2判断向量组?

（2,?

1,3,1）,?

（4,?

2,5,4）,?

1,4,?

1）是否线性相关.　　解：

可取?

3为未知数，建立下列方程式　　?

0,　　看它是否有?

3的不全为零的解.这是向量等式，按各个分量分别写出方程，就成为下列方程组　　?

0,?

123?

0,23?

0.前面的含向量的方程组有无非零解等价于这个方程组有无非零解.可以用消元法解这个方程组.它有无线多解，当然有非零解，故?

3线性相关.特别的一组解，可取为　　（?

3）?

（3,?

1）,即3?

0或?

2.　　定理2向量组a1,a2,?

am线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵A?

am）的秩小于向量个数m?

向量组线性无关的充分必要条件是R（A）?

m这是因为?

　　向量组A:

am线性相关?

x1a1?

x2a2?

xmam?

0即Ax?

0有非零解　　?

R（A）?

m.　　向量组a1,a2,?

am线性无关?

R（a1,a2,?

am）?

m.　　例3证明n维单位坐标向量组e1?

（1,0,?

0）T,e2?

（0,1,?

0）T,?

en?

（0,0,?

1）T线性无关.证明我们直接利用定义证明.如果存在一组数k1,k2,?

kn,使得　　　　第5页

　　　　　　　　k1e1?

k2e2?

knen?

0,　　根据向量线性运算的定义可以得到　　　　　　（k1,k2,?

kn）T?

0）T,　　从而k1?

kn?

0.所以e1,e2,?

en是线性无关的.　　另证我们利用定理，设向量组e1,e2,?

en构成的矩阵为I?

（e1,e2,?

en）,I是n阶单位矩阵.显然有R（I）?

n,即R（I）等于向量组中向量的个数，所以定理2知向量组I是线性无关的.　　TT例4已知向量a1?

（1,1,1）T,a2?

（0,2,5）,a3?

（2,4,7）讨论向量组a1,a2,a3及向量组a1,a2的　　线性相关性.　　解对矩阵（a1,a2,a3）施行初等行变换使它变成行阶梯形矩阵，就可以同时看出矩阵（a1,a2,a3）及　　（a1,a2）的秩，再利用定理2就可以得出结论.　　易知R（a1,a2,a3）?

3,向量组a1,a2,a3线性相关；

R（a1,a2）?

2,向量组a1,a2线性无关.　　4.向量组线性相关性的性质　　含零向量的向量组必线性相关?

　　线性无关的向量组中一定不含零向量.一个向量?

线性相关?

0.　　一个向量?

线性无关?

0.（3）两个非零向量?

2线性相关?

2.　　两个向量?

2线性无关?

它们不成比例.（4）向量组有一部分线性相关，则全体线性相关.向量组全体线性无关，则每一部分线性无关.　　若向量组A:

则向量组B:

am,am?

1也线性相关?

反之?

若向量组B线性无关?

则向量组A也线性无关?

　　结论可叙述为?

一个向量组若有线性相关的部分组?

则该向量组线性相关?

一个向量组若线性无关?

则它的任何部分组都线性无关?

　　性质说明：

这是因为?

记A?

1）?

有R（B）?

1.　　若向量组A线性相关?

则有R（A）?

m，从而R（B）?

1.　　因此向量组B线性相关?

（5）个数大于维数时，必线性相关.　　个数等于维数时，看行列式.　　　　第6页　　　　　　m个n维向量组成的向量组?

当维数n小于向量个数m时一定线性相关?

特别地?

1个n维向量一定线性相关?

　　这是因为?

m个n维向量a1,a2,?

am构成矩阵An?

am）,有R（A）?

n.若n?

m则R（A）?

m,故m个向量a1,a2,?

　　（6）设向量组A:

而向量组B:

am,b线性相关?

则向量b必能向量组A线性表示?

且表示式是唯一的?

am,b）?

有m?

1,即有R（B）?

m.因此方程组有唯一解（a1,a2,?

am）x?

b即向量b能向量组A线性表示?

且表示式唯一?

5.向量组线性相关性的判定方法定义法　　给定向量组A:

a1,a2,a3,?

am,如果存在不全为零的数k1,k2,k3,?

km,使得　　A是线性相关的.否则，如果不存在不全为零的k1a1?

ka2?

0成立，则称向量组　　数k1,k2,k3,?

km,使得k1a1?

0成立，也就是说，只有当k1,k2,k3,?

km全部为0时，k1a1?

0才成立，则称向量组A是线性无关的.　　例5设向量组a1,a2,a3线性无关，判断向量组b1?

a1?

a2,b2?

a2?

a3,b3?

a3?

a1的线性相关性.　　解设一组数k1,k2,k3,使k1b1?

k3b3?

0,则有　　k1（a1?

a2）?

k2（a2?

a3）?

k3（a3?

a1）?

0,　　即　　（k1?

k3）a1?

（k1?

k2）a2?

（k2?

k3）a3?

0.因为向量组a1,a2,a3线性无关，所以　　?

2该方程组的系数行列式D?

0,故方程组只有零解k1?

0,所以向量组b1,b2,b3线性无关.　　例6判断向量组b1?

的线性相关性.解设一组数k1,k2,k3,

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