普通高考数学科一轮复习精品学案 第38讲 导数定积分Word下载.docx
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二．命题走向
导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：
单调性、极值和最值是高考的热点问题。
在高考中考察形式多种多样，以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用，也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来，综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值，估计201X年高考继续以上面的几种形式考察不会有大的变化：
（1）考查形式为：
选择题、填空题、解答题各种题型都会考察，选择题、填空题一般难度不大，属于高考题中的中低档题，解答题有一定难度，一般与函数及解析几何结合，属于高考的中低档题；
（2）201X年高考可能涉及导数综合题，以导数为数学工具考察：
导数的物理意义及几何意义，复合函数、数列、不等式等知识。
定积分是新课标教材新增的内容，主要包括定积分的概念、微积分基本定理、定积分的简单应用，由于定积分在实际问题中非常广泛，因而201X年的高考预测会在这方面考察，预测201X年高考呈现以下几个特点：
（1）新课标考察，难度不会很大，注意基本概念、基本性质、基本公式的考察及简单的应用；
高考中本讲的题目一般为选择题、填空题，考查定积分的基本概念及简单运算，属于中低档题；
（2）定积分的应用主要是计算面积，诸如计算曲边梯形的面积、变速直线运动等实际问题要很好的转化为数学模型。
三．要点精讲
1．导数的概念
函数y=f（x）,如果自变量x在x
处有增量
，那么函数y相应地有增量
=f（x
+
）－f（x
），比值
叫做函数y=f（x）在x
到x
之间的平均变化率，即
=
。
如果当
时，
有极限，我们就说函数y=f（x）在点x
处可导，并把这个极限叫做f（x）在点x
处的导数，记作f’（x
）或y’|
即f（x
）=
说明：
（1）函数f（x）在点x
处可导，是指
有极限。
如果
不存在极限，就说函数在点x
处不可导，或说无导数。
（2）
是自变量x在x
处的改变量，
时，而
是函数值的改变量，可以是零。
由导数的定义可知，求函数y=f（x）在点x
处的导数的步骤（可由学生来归纳）：
（1）求函数的增量
）；
（2）求平均变化率
；
（3）取极限，得导数f’（x
2．导数的几何意义
函数y=f（x）在点x
处的导数的几何意义是曲线y=f（x）在点p（x
，f（x
）） 处的切线的斜率。
也就是说，曲线y=f（x）在点p（x
））处的切线的斜率是f’（x
）。
相应地，切线方程为y－y
=f/（x
）（x－x
3．常见函数的导出公式．
（１）
（C为常数） （２）
（３）
（４）
4．两个函数的和、差、积的求导法则
法则1：
两个函数的和（或差）的导数,等于这两个函数的导数的和（或差），
即：
（
法则2：
两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个
函数乘以第二个函数的导数，即：
若C为常数,则
.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：
法则3两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：
‘=
（v
0）。
形如y=f
的函数称为复合函数。
复合函数求导步骤：
分解——求导——回代。
法则：
y＇|
=y＇|
·
u＇|
5．导数的应用
（1）一般地，设函数
在某个区间可导，如果
，则
为增函数；
为减函数；
如果在某区间内恒有
为常数；
（2）曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；
曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；
曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；
（3）一般地，在区间[a，b]上连续的函数f
在[a，b]上必有最大值与最小值。
①求函数ƒ
在（a，b）内的极值；
②求函数ƒ
在区间端点的值ƒ（a）、ƒ（b）；
③将函数ƒ
的各极值与ƒ（a）、ƒ（b）比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。
6．定积分
（1）概念
设函数f（x）在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0<
x1<
…<
xi－1<
xi<
…xn＝b把区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上取任一点ξi（i＝1，2，…n）作和式In＝
（ξi）△x（其中△x为小区间长度），把n→∞即△x→0时，和式In的极限叫做函数f（x）在区间[a，b]上的定积分，记作：
，即
＝
（ξi）△x。
这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f（x）叫做被积函数，x叫做积分变量，f（x）dx叫做被积式。
基本的积分公式：
＝C；
＋C（m∈Q，m≠－1）；
dx＝ln
＋C；
＝sinx＋C；
＝－cosx＋C（表中C均为常数）。
（2）定积分的性质
①
（k为常数）；
②
③
（其中a＜c＜b
（3）定积分求曲边梯形面积
由三条直线x＝a，x＝b（a<
b），x轴及一条曲线y＝f（x）（f（x）≥0）围成的曲边梯的面积
如果图形由曲线y1＝f1（x），y2＝f2（x）（不妨设f1（x）≥f2（x）≥0），及直线x＝a，x＝b（a<
b）围成，那么所求图形的面积S＝S曲边梯形AMNB－S曲边梯形DMNC＝
四．典例解析
题型1：
导数的概念
例1．已知s=
，
（1）计算t从3秒到3.1秒、3.001秒、3.0001秒….各段内平均速度；
（2）求t=3秒是瞬时速度。
解析：
（1）
指时间改变量；
指时间改变量。
其余各段时间内的平均速度，事先刻在光盘上，待学生回答完第一时间内的平均速度后，即用多媒体出示，让学生思考在各段时间内的平均速度的变化情况。
（2）从
（1）可见某段时间内的平均速度
随
变化而变化，
越小，
越接近于一个定值，由极限定义可知，这个值就是
的极限，
V=
（6+
=3g=29.4（米/秒）。
例2．求函数y=
的导数。
，
=-
点评：
掌握切的斜率、瞬时速度，它门都是一种特殊的极限，为学习导数的定义奠定基础。
题型2：
导数的基本运算
例3．
（1）求
的导数；
（2）求
（3）求
（4）求y=
（5）求y＝
（2）先化简,
（3）先使用三角公式进行化简.
（4）y’=
（5）
y＝
－x＋５－
y’＝３*（x
）＇－x＇＋５＇－９
）＇＝３*
－１＋０－９*（－
）
（1）求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；
（2）有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导．有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量。
例4．写出由下列函数复合而成的函数：
（1）y=cosu,u=1+
（2）y=lnu,u=lnx
（1）y=cos（1+
（2）y=ln（lnx）。
通过对y=（3x-2
展开求导及按复合关系求导，直观的得到
.
.给出复合函数的求导法则，并指导学生阅读法则的证明。
题型3：
导数的几何意义
例5．
（1）若曲线
的一条切线
与直线
垂直，则
的方程为（）
A．
B．
C．
D．
（2）过点（－1，0）作抛物线
的切线，则其中一条切线为（）
（A）
（B）
（C）
（D）
（1）与直线
垂直的直线
为
在某一点的导数为4，而
，所以
在（1，1）处导数为4，此点的切线为
，故选A；
，设切点坐标为
，则切线的斜率为2
，且
，于是切线方程为
，因为点（－1，0）在切线上，可解得
＝0或－4，代入可验正D正确，选D。
导数值对应函数在该点处的切线斜率。
例6．
（1）半径为r的圆的面积S（r）＝
r2,周长C（r）=2
r，若将r看作（0，＋∞）上的变量，则（
r2）`＝2
r
式可以用语言叙述为：
圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。
对于半径为R的球，若将R看作（0，＋∞）上的变量，请你写出类似于
的式子：
。
（2）曲线
和
在它们交点处的两条切线与
轴所围成的三角形面积是。
（1）V球＝
，又
故
式可填
，用语言叙述为“球的体积函数的导数等于球的表面积函数。
”；
在它们的交点坐标是（1，1），两条切线方程分别是y=－x+2和y=2x－1，它们与
轴所围成的三角形的面积是
导数的运算可以和几何图形的切线、面积联系在一起，对于较复杂问题有很好的效果。
题型4：
借助导数处理单调性、极值和最值
例7．
（1）对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x－1）
0，则必有（）
A．f（0）＋f
（2）2f
（1）B.f（0）＋f
（2）2f
（1）
C．f（0）＋f
（2）2f
（1）D.f（0）＋f
（2）2f
（1）
（2）函数
的定义域为开区间
，导函数
在
内的图象如图所示，则函数
在开区间
内有极小值点（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
（3）已知函数
（Ⅰ）设
，讨论
的单调性；
（Ⅱ）若对任意
恒有
，求
的取值范围。
（1）依题意，当x
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