普通高考数学科一轮复习精品学案 第38讲 导数定积分Word下载.docx
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二.命题走向
导数是高中数学中重要的内容,是解决实际问题的强有力的数学工具,运用导数的有关知识,研究函数的性质:
单调性、极值和最值是高考的热点问题。
在高考中考察形式多种多样,以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用,也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来,综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值,估计201X年高考继续以上面的几种形式考察不会有大的变化:
(1)考查形式为:
选择题、填空题、解答题各种题型都会考察,选择题、填空题一般难度不大,属于高考题中的中低档题,解答题有一定难度,一般与函数及解析几何结合,属于高考的中低档题;
(2)201X年高考可能涉及导数综合题,以导数为数学工具考察:
导数的物理意义及几何意义,复合函数、数列、不等式等知识。
定积分是新课标教材新增的内容,主要包括定积分的概念、微积分基本定理、定积分的简单应用,由于定积分在实际问题中非常广泛,因而201X年的高考预测会在这方面考察,预测201X年高考呈现以下几个特点:
(1)新课标考察,难度不会很大,注意基本概念、基本性质、基本公式的考察及简单的应用;
高考中本讲的题目一般为选择题、填空题,考查定积分的基本概念及简单运算,属于中低档题;
(2)定积分的应用主要是计算面积,诸如计算曲边梯形的面积、变速直线运动等实际问题要很好的转化为数学模型。
三.要点精讲
1.导数的概念
函数y=f(x),如果自变量x在x
处有增量
,那么函数y相应地有增量
=f(x
+
)-f(x
),比值
叫做函数y=f(x)在x
到x
之间的平均变化率,即
=
。
如果当
时,
有极限,我们就说函数y=f(x)在点x
处可导,并把这个极限叫做f(x)在点x
处的导数,记作f’(x
)或y’|
即f(x
)=
说明:
(1)函数f(x)在点x
处可导,是指
有极限。
如果
不存在极限,就说函数在点x
处不可导,或说无导数。
(2)
是自变量x在x
处的改变量,
时,而
是函数值的改变量,可以是零。
由导数的定义可知,求函数y=f(x)在点x
处的导数的步骤(可由学生来归纳):
(1)求函数的增量
);
(2)求平均变化率
;
(3)取极限,得导数f’(x
2.导数的几何意义
函数y=f(x)在点x
处的导数的几何意义是曲线y=f(x)在点p(x
,f(x
)) 处的切线的斜率。
也就是说,曲线y=f(x)在点p(x
))处的切线的斜率是f’(x
)。
相应地,切线方程为y-y
=f/(x
)(x-x
3.常见函数的导出公式.
(1)
(C为常数) (2)
(3)
(4)
4.两个函数的和、差、积的求导法则
法则1:
两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差),
即:
(
法则2:
两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个
函数乘以第二个函数的导数,即:
若C为常数,则
.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数:
法则3两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积,再除以分母的平方:
‘=
(v
0)。
形如y=f
的函数称为复合函数。
复合函数求导步骤:
分解——求导——回代。
法则:
y'|
=y'|
·
u'|
5.导数的应用
(1)一般地,设函数
在某个区间可导,如果
,则
为增函数;
为减函数;
如果在某区间内恒有
为常数;
(2)曲线在极值点处切线的斜率为0,极值点处的导数为0;
曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为负;
曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正;
(3)一般地,在区间[a,b]上连续的函数f
在[a,b]上必有最大值与最小值。
①求函数ƒ
在(a,b)内的极值;
②求函数ƒ
在区间端点的值ƒ(a)、ƒ(b);
③将函数ƒ
的各极值与ƒ(a)、ƒ(b)比较,其中最大的是最大值,其中最小的是最小值。
6.定积分
(1)概念
设函数f(x)在区间[a,b]上连续,用分点a=x0<
x1<
…<
xi-1<
xi<
…xn=b把区间[a,b]等分成n个小区间,在每个小区间[xi-1,xi]上取任一点ξi(i=1,2,…n)作和式In=
(ξi)△x(其中△x为小区间长度),把n→∞即△x→0时,和式In的极限叫做函数f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作:
,即
=
(ξi)△x。
这里,a与b分别叫做积分下限与积分上限,区间[a,b]叫做积分区间,函数f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量,f(x)dx叫做被积式。
基本的积分公式:
=C;
+C(m∈Q,m≠-1);
dx=ln
+C;
=sinx+C;
=-cosx+C(表中C均为常数)。
(2)定积分的性质
①
(k为常数);
②
③
(其中a<c<b
(3)定积分求曲边梯形面积
由三条直线x=a,x=b(a<
b),x轴及一条曲线y=f(x)(f(x)≥0)围成的曲边梯的面积
如果图形由曲线y1=f1(x),y2=f2(x)(不妨设f1(x)≥f2(x)≥0),及直线x=a,x=b(a<
b)围成,那么所求图形的面积S=S曲边梯形AMNB-S曲边梯形DMNC=
四.典例解析
题型1:
导数的概念
例1.已知s=
,
(1)计算t从3秒到3.1秒、3.001秒、3.0001秒….各段内平均速度;
(2)求t=3秒是瞬时速度。
解析:
(1)
指时间改变量;
指时间改变量。
其余各段时间内的平均速度,事先刻在光盘上,待学生回答完第一时间内的平均速度后,即用多媒体出示,让学生思考在各段时间内的平均速度的变化情况。
(2)从
(1)可见某段时间内的平均速度
随
变化而变化,
越小,
越接近于一个定值,由极限定义可知,这个值就是
的极限,
V=
(6+
=3g=29.4(米/秒)。
例2.求函数y=
的导数。
,
=-
点评:
掌握切的斜率、瞬时速度,它门都是一种特殊的极限,为学习导数的定义奠定基础。
题型2:
导数的基本运算
例3.
(1)求
的导数;
(2)求
(3)求
(4)求y=
(5)求y=
(2)先化简,
(3)先使用三角公式进行化简.
(4)y’=
(5)
y=
-x+5-
y’=3*(x
)'-x'+5'-9
)'=3*
-1+0-9*(-
)
(1)求导之前,应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简,然后求导,这样可以减少运算量,提高运算速度,减少差错;
(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式,但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简,然后进行求导.有时可以避免使用商的求导法则,减少运算量。
例4.写出由下列函数复合而成的函数:
(1)y=cosu,u=1+
(2)y=lnu,u=lnx
(1)y=cos(1+
(2)y=ln(lnx)。
通过对y=(3x-2
展开求导及按复合关系求导,直观的得到
.
.给出复合函数的求导法则,并指导学生阅读法则的证明。
题型3:
导数的几何意义
例5.
(1)若曲线
的一条切线
与直线
垂直,则
的方程为()
A.
B.
C.
D.
(2)过点(-1,0)作抛物线
的切线,则其中一条切线为()
(A)
(B)
(C)
(D)
(1)与直线
垂直的直线
为
在某一点的导数为4,而
,所以
在(1,1)处导数为4,此点的切线为
,故选A;
,设切点坐标为
,则切线的斜率为2
,且
,于是切线方程为
,因为点(-1,0)在切线上,可解得
=0或-4,代入可验正D正确,选D。
导数值对应函数在该点处的切线斜率。
例6.
(1)半径为r的圆的面积S(r)=
r2,周长C(r)=2
r,若将r看作(0,+∞)上的变量,则(
r2)`=2
r
式可以用语言叙述为:
圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。
对于半径为R的球,若将R看作(0,+∞)上的变量,请你写出类似于
的式子:
。
(2)曲线
和
在它们交点处的两条切线与
轴所围成的三角形面积是。
(1)V球=
,又
故
式可填
,用语言叙述为“球的体积函数的导数等于球的表面积函数。
”;
在它们的交点坐标是(1,1),两条切线方程分别是y=-x+2和y=2x-1,它们与
轴所围成的三角形的面积是
导数的运算可以和几何图形的切线、面积联系在一起,对于较复杂问题有很好的效果。
题型4:
借助导数处理单调性、极值和最值
例7.
(1)对于R上可导的任意函数f(x),若满足(x-1)
0,则必有()
A.f(0)+f
(2)2f
(1)B.f(0)+f
(2)2f
(1)
C.f(0)+f
(2)2f
(1)D.f(0)+f
(2)2f
(1)
(2)函数
的定义域为开区间
,导函数
在
内的图象如图所示,则函数
在开区间
内有极小值点( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
(3)已知函数
(Ⅰ)设
,讨论
的单调性;
(Ⅱ)若对任意
恒有
,求
的取值范围。
(1)依题意,当x