学年高中数学新教材人教A版必修第一册学案21等式性质与不等式性质1含答案Word文件下载.docx
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＞1⇔a＞b，
＝1⇔a＝b，
<
1⇔a<
b.
（2）两个实数大小比较的一般步骤
①作差比较法其一般步骤是:
作差→变形→判断符号→确定大小.
注：
作差比较大小的关键是作差后的变形，作差变形中，可采用配方、因式分解、通分、有理化等手段进行恒等变形（常数、几个平方和的形式或几个因式积的形式）．变形的过程是至关重要的，无论施以什么方法，最终要变到能够判断符号为止．注意变形过程中要保持等价性及正确性．
（一）、情境导学
1.购买火车票有一项规定：
随同成人旅行，身高超过1.1m（含1.1m）而不超过1.5m的儿童，享受半价客票、加快票和空调票（简称儿童票），超1.5m时应买全价票．每一成人旅客可免费携带一名身高不足1.1米的儿童，超过一名时，超过的人数应买儿童票．从数学的角度，应如何理解和表示“不超过”“超过”呢？
2.展示新闻报道：
明天白天广州的最低温度为18℃，白天最高温度为30℃。
（二）、探索新知
探究一用不等式表示不等关系
例1.某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm
两种，按照生产的要求，600mm钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍．试写出满足上述所有不等关系的不等式．
归纳总结;
跟踪训练：
1.某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．根据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本，若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元？
2．某工厂在招标会上，购得甲材料xt，乙材料yt，若维持工厂正常生产，甲、乙两种材料总量至少需要120t，则x、y应满足的不等关系是（ ）
A．x＋y>
120B．x＋y<
120
C．x＋y≥120D．x＋y≤120
探究二比较数或式子的大小
我们学习了关于实数大小比较的一个基本事实：
（1）数轴上的任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数______.
根据这个公理，我们可用什么方法来比较实数的大小？
步骤是什么？
第一步，第二步，第三步，第四步
例2.已知x＜y＜0，比较（x2＋y2）（x－y）与（x2－y2）（x＋y）的大小．
跟踪训练
1．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是（ ）
A．M>
N B．M＝NC．M<
ND．与x有关
2.比较x2＋y2＋1与2（x＋y－1）的大小；
3.设a∈R且a≠0，比较a与
的大小．
1.完成一项装修工程,请木工需付工资每人500元,请瓦工需付工资每人400元,现有工人工资预算20000元,设木工x（x≥0）人,瓦工y（y≥0）人,则关于工资x,y满足的不等关系是（ ）
A.5x+4y<
200B.5x+4y≥200C.5x+4y=200D.5x+4y≤200
2.若A=
+3与B=
+2,则A与B的大小关系是（ ）
A.A>
BB.A<
BC.A≥BD.不确定
3.已知甲、乙两种食物的维生素A,B含量如下表:
设用xkg的甲种食物与ykg的乙种食物配成混合食物,并使混合食物内至少含有56000单位的维生素A和63000单位的维生素B.试用不等式组表示x,y所满足的不等关系.
4.将一个三边长度分别为5,12,13的三角形的各边都缩短x,构成一个钝角三角形,试用不等式（组）表示x应满足的不等关系.
5.比较下列各组中的两个实数或代数式的大小:
（1）2x2+3与x+2,x∈R;
（2）a+2与
a∈R,且a≠1.
1.用不等式（组）表示不等关系时,应遵循“一找（不等关系）;
二析（涉及的量）;
三设（设出合理的未知数）;
四列（不等式（组））”.
2..作差法比较两个实数的大小时，关键是作差后变形，一般变形越彻底越有利于下一步的判断.
因式分解
配方
通分
分类讨论
3.本节课的学习过程中,重点渗透了数学建模思想和函数思想.
参考答案：
探究一例1.[解析] 设截得500mm的钢管x根，截得600mm的钢管y根，
依题意，可得不等式组：
，即
.
用不等式（组）表示实际问题中不等关系的步骤：
①审题．通读题目，分清楚已知量和待求量，设出待求量．找出体现不等关系的关键词：
“至少”“至多”“不少于”“不多于”“超过”“不超过”等．②列不等式组：
分析题意，找出已知量和待求量之间的约束条件，将各约束条件用不等式表示．
1.[解析] 提价后杂志的定价为x元，则销售的总收入为（8－
×
0.2）x万元，那么不等关系“销售的收入不低于20万元”用不等式可以表示为：
（8－
0.2）x≥20.
2.[解析] 由题意可得x＋y≥120，故选C．
探究二例2．[解析] ∵x＜y＜0，xy＞0，
x－y＜0，∴（x2＋y2）（x－y）－（x2－y2）（x＋y）＝－2xy（x－y）＞0，
∴（x2＋y2）（x－y）＞（x2－y2）（x＋y）．
归纳总结：
比较两个实数（或代数式）大小的步骤
（1）作差：
对要比较大小的两个数（或式子）作差；
（2）变形：
对差进行变形（因式分解、通分、配方等）；
（3）判断差的符号：
结合变形的结果及题设条件判断差的符号；
（4）作出结论．这种比较大小的方法通常称为作差比较法．其思维过程：
作差→变形→判断符号→结论，其中变形是判断符号的前提．
1.[解析] M－N＝x2＋x＋1＝（x＋
）2＋
>
0，∴M>
N，故选A．
2.[解析] x2＋y2＋1－2（x＋y－1）＝x2－2x＋1＋y2－2y＋2＝（x－1）2＋（y－1）2＋1＞0，
∴x2＋y2＋1＞2（x＋y－1）．
3.由a－
＝
当a＝±
1时，a＝
；
当－1＜a＜0或a＞1时，a＞
当a＜－1或0＜a＜1时，a＜
达标检测
1.【答案】 D
2.【解析】 由于A-B=
+3-
0,
所以A>
B,故选A.【答案】 A
3.【解析】由题意知xkg的甲种食物中含有维生素A600x单位,含有维生素B800x单位,ykg的乙种食物中含有维生素A700y单位,含有维生素B400y单位,则xkg的甲种食物与ykg的乙种食物配成的混合食物总共含有维生素A（600x+700y）单位,含有维生素B（800x+400y）单位,
则有
故当a>
1时,a+2>
;
当a<
1时,a+2<
4.【解析】各边都缩短x后,长度仍然为正数,只要最短边大于零即可,因此5-x>
0.而要构成三角形,还要满足（5-x）+（12-x）>
13-x.当三角形是钝角三角形时,应使最大角是钝角,此时只需最长边所对的角是钝角即可,因此（5-x）2+（12-x）2<
（13-x）2,
故x应满足的不等关系为
5.【解析】
（1）因为（2x2+3）-（x+2）=2x2-x+1=2
所以2x2+3>
x+2.
（2）（a+2）-
由于a2+a+1=
所以当a>
1时,
0,即a+2>
当a<
0,即a+2<
2.1等式性质与不等式性质（第2课时）
1.掌握常用不等式的基本性质；
2.会将一些基本性质结合起来应用。
1.将不等关系用不等式表示出来，理解并证明不等式的性质；
2.并能用不等式
的性质证明一些简单的不等式；
一、设计问题,温故知新
问题1:
等式的性质有哪些?
请大家用符号表示出来.
问题2:
根据等式的这些性质,你能猜想不等式的类似性质吗?
请大家加以探究.
性质
别名
性质内容
注意
1
对称性
a>
b⇔____
⇔
2
传递性
b，b>
c⇒_____
⇒
3
可加性
b⇔a＋cb＋c
可逆
4
可乘性
⇒acbc
c的
符号
5
同向
⇒a＋cb＋d
6
同向同正
⇒acbd
同正
7
可乘方性
b>
0⇒an>
bn（n∈N*，n≥2）
8
可开方性
0⇒
（n∈N*，n≥2）
二、新知探究
试证明下列不等式的性质
（1）对称性
文字语言
不等式两边互换后,再将不等号改变方向,所得不等式与原不等式等价
符号语言
b⇔
作用
写出与原不等式等价且异向的不等式
跟踪训练.1.与m≥（n-2）2等价的是（ ）.
A.m<
（n-2）2B.（n-2）2≥mC.（n-2）2≤mD.（n-2）2<
m
（2）传递性
如果第一个量大于第二个量,第二个量大于第三个量,
那么第一个量大于第三个量
b,b>
c⇒
变形
a≥b,b≥c⇒a≥c;
a<
b,b<
c⇒a<
c;
a≤b,b≤c⇒a≤c
比较大小或证明不等式
你能证明吗？
（3）加法法则
不等式的两边都加上同一个实数,所得的不等式
与原不等式.
b⇒a+c>
a<
b⇒a+c<
b+c；
a≤b⇒a+c≤b+c；
a≥b⇒a+c≥b+c
不等式的移项,等价变形
（4）乘法法则
不等式的两边都乘同一个正数时,不等号的方向不变;
都乘同一个负数时,不等号的方向一定要改变.
b,c>
0⇒；
b,c<
0⇒
a≥b,c>
0⇒ac≥bc；
a≥b,c<
0⇒ac≤bc；
0⇒ac<
bc；
0⇒ac>
bc
a≤b,c>
a≤b,c<
0⇒ac≥bc
不等式的同解变形
（5）加法单调性
两个同向不等式相加,所得不等式与原不等式.
d⇒a+c>
b+d
d⇒a+c<
b+d；
a≥b,c≥d⇒a+c≥b+d；
a≤b,c≤d⇒a+c≤b+d
由已知同向不等式推出其他不等式
（6）乘法单调性
两边都是正数的两个同向不等式相乘,所得的不等式与原不等式.
0,c>
d>
bd
两个不等式相乘的变形
（7）正值不等式可乘方
当不等式的两边都是时,不等式两边同时
乘方所得的不等式与原不等式.
0⇒（n∈N,且n≥1）
不等式两边的乘方变形
跟踪训练2.给出下列结论：
①若ac>
b
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