高考数学题难题巧解思路与方法Word文件下载.doc
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（2009年高考福建卷，理13）过抛物线的焦点F作倾斜角为450的直线交抛物线于A、B两点，线段AB的长为8，则．
【巧解】依题意直线的方程为，由消去得：
，设，，∴，根据抛物线的定义。
，，∴，∴，
故本题应填2。
二、代入法求解
若动点依赖于另一动点而运动，而点的轨迹方程已知（也可能易于求得）且可建立关系式，，于是将这个点的坐标表达式代入已知（或求得）曲线的方程，化简后即得点的轨迹方程，这种方法称为代入法，又称转移法或相关点法。
（2009年高考广东卷）已知曲线：
与直线：
交于两点和，且，记曲线C在点A和点B之间那一段L与线段AB所围成的平面区域（含边界）为D.设点是L上的任一点，且点P与点A和点B均不重合.若点Q是线段AB的中点，试求线段PQ的中点M的轨迹方程；
【巧解】联立与得，则中点，
设线段的中点坐标为，则，
即，又点在曲线上，
∴化简可得，又点是上的任一点，
且不与点和点重合，则，即，
∴中点的轨迹方程为（）.
（2008年，江西卷）设在直线上，过点作双曲线的两条切线、，切点为、，定点M。
过点A作直线的垂线，垂足为N，试求的重心G所在的曲线方程。
【巧解】设，由已知得到，且，，
（1）垂线的方程为：
，
由得垂足，设重心
所以解得
由可得
即为重心所在曲线方程
（2005年，江西卷）如图，设抛物线的焦点为F，动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.，求△APB的重心G的轨迹方程.
（2006年，全国I卷）在平面直角坐标系中，有一个以和为焦点、离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与x、y轴的交点分别为A、B，且向量，求点M的轨迹方程
三、直接求解法
直接从题设的条件出发，利用已知条件、相关公式、公理、定理、法则通过准确的运算、严谨的推理、合理的验证得出正确的结论，从而确定选择支的方法叫直接法。
从近几年全国各地的高考数学试题来看，绝大大部分选择题的解答用的是此法。
但解题时也要“盯住选项特点”灵活做题，一边计算，一边对选项进行分析、验证，或在选项中取值带入题设计算，验证、筛选而迅速确定答案。
（2009年高考全国II卷）已知双曲线的右焦点为F，过F且斜率为的直线交C于A、B两点。
若，则C的离心率为（）
（A） （B） （C） （D）
【巧解】设，，，由，得
∴，设过点斜率为的直线方程为，
由消去得：
∴，将代入得化简得
，∴，
化简得：
，∴，，即。
故本题选（A）
（2008年，四川卷）设定义在上的函数满足，若
，则（）
（A）13 （B）2 （C） （D）
【巧解】∵，∴
∴函数为周期函数，且，∴
故选（C）
（2008年，湖北卷）若上是减函数，则b的取值范围是（）
（2008年，湖南卷）长方体ABCD—A1B1C1D1的8个顶点在同一个球面上，且AB=2，AD=AA1=1，则顶点A、B间的球面距离是（）
四、向量坐标法
向量坐标法是一种重要的数学思想方法，通过坐标化，把长度之间的关系转化成坐标之间的关系，使问题易于解决，并从一定程度上揭示了问题的数学本质。
在解题实践中若能做到多用、巧用和活用，则可源源不断地开发出自己的解题智慧，必能收到事半功倍的效果。
（2008年，广东卷）在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若=a，=b，则=（）
A
x
y
O
B
D
C
E
A．a+b B．a+b C．a+b D．a+b
【巧解】如图所示，选取边长为2的正方形
则，，，，，
∴直线的方程为，联立得
∴，设，则
∴解之得，，∴，故本题选B
【例2】已知点为内一点，且0，则、、的面积之比等于 （）
A．9：
4：
1 B．1：
9 C．3：
2：
1 D．1：
3
【巧解】不妨设为等腰三角形，
，建立如图所示的直角坐标系，则点
，，设，
∵0，即
∴解之得，，即，又直线的方程为，则点到直线的距离，∵，因此，，，故选C
（2008年，湖南卷）设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且（）
A．反向平行 B．同向平行 C．互相垂直 D．既不平行也不垂直
设是内部一点，且，则与面积之比是.
五、查字典法
查字典是大家比较熟悉的，我们用类似“查字典”的方法来解决数字排列问题中数字比较大小的问题，避免了用分类讨论法时容易犯的重复和遗漏的错误，给人以“神来之法”的味道。
利用“查字典法”解决数字比较大小的排列问题的思路是“按位逐步讨论法”（从最高位到个位），查首位时只考虑首位应满足题目条件的情况；
查前“2”位时只考虑前“２”位中第“2”个数应满足条件的情况；
依次逐步讨论，但解题中既要注意数字不能重复，又要有充分的理论准备，如奇、偶问题，3的倍数和5的倍数的特征，0的特性等等。
以免考虑不全而出错。
（2007年，四川卷）用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有（）
（A）288个 （B）240个 （C）144个 （D）126个
【巧解】本题只需查首位，可分3种情况，①个位为0，即型，首位是2，3，4，5中的任一个，此时个数为；
②个位为2，即，此种情况考虑到万位上不为0，则万位上只能排3，4，5，所以个数为；
③个位为4，型，此种特点考虑到万位上不为0，则万位上只能排2，3，5，所以个数为；
故共有个。
故选（B）
（2004年全国II卷）在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有（）
A．56个 B．57个 C．58个 D．60个
【巧解】
（1）查首位：
只考虑首位大于2小于4的数，仅有1种情况：
即型，此特点只需其它数进行全排列即可。
有种，
（2）查前２位：
只考虑前“２”位中比３既大又小的数，有4种情况：
，，，型，而每种情况均有种满足条件，故共有种。
（3）查前３位：
只考虑前“3”位中既比１大又小于5的数，有4种情况：
（3）查前4位：
只考虑前“4”位中既比4大又小于2的数，此种情况只有
23154和43512两种情况满足条件。
故共有个，故选C
用数字可以组成没有重复数字，并且不大于4310的四位偶数共有（）
A．110种 B．109种 C．108种 D．107种
（2007年，四川卷）用数字1,2,3,4,5可以组成没有重复数字,并且比20000大的五位偶数共有（）
（A）48个 （B）36个 （C）24个 （D）18个
六、挡板模型法
挡板模型法是在解决排列组合应用问题中，对一些不易理解且复杂的排列组合问题，当元素相同时，可以通过设计一个挡板模型巧妙解决，否则，如果分类讨论，往往费时费力，同时也难以解决问题。
【例1】体育老师把9个相同的足球放入编号为1，2，3的三个箱中，要求每个箱子放球的个数不少于其编号，则不同的放球方法有 （）
A．8种 B．10种 C．12种 D．16种
【巧解】先在2号盒子里放1个小球，在3号盒子里放2个小球，余下的6个小球排成一排为：
，只需在6个小球的5个空位之间插入2块挡板，如：
，每一种插法对应着一种放法，故共有不同的放法为种.故选B
【例2】两个实数集，，若从A到B的映射使得B中每个元素都有原象，且，则这样的映射共有（）个
A． B． C． D．
【巧解】不妨设两个集合中的数都是从小到大排列，将集合的50个数视为50个相同的小球排成一排为：
，然后在50个小球的49个空位中插入24块木板，每一种插法对应着一种满足条件对应方法，故共有不同映射共有种.故选 B
两个实数集合A={a1,a2,a3,…,a15}与B={b1,b2,b3,…,b10}，若从A到B的是映射f使B中的每一个元素都有原象，且f（a1）≤f（a2）≤…≤f（a10）<
f（a11）<
…<
f（a15）,则这样的映射共有 （）
A．个 B．个 C．1015个 D．
10个完全相同的小球放在标有1、2、3、4号的四个不同盒子里，使每个盒子都不空的放法有（）种
A．24 B．84 C．120 D．96
七、等差中项法
等差中项法是根据题目的题设条件（或隐含）的特征，联想到等差数列中的等差中项，构造等差中项，从而可使问题得到快速解决，从而使解题过程变得简捷流畅，令人赏心悦目。
（2008年，浙江卷）已知，则（）
【巧解】根据特征，可得成等差数列，为与的等差中项。
可设
，，其中；
则，，
又，故，，由选项知应选（C）
（2008年，重庆卷）已知函数的最大值为M,最小值为m,则的值为（）
（A） （B） （C） （D）
【巧解】由可得，为与的等差中项，
令，，其中，
则，即，又，则
，故，解之得，即，
∴，故选（C）
巧练：
（2008年，江苏卷）的最小值.
八、逆向化法
逆向化法是在解选择题时,四个选项以及四个选项中只有一个是符合题目要求的都是解题重要的信息。
逆向化策略是把四个选项作为首先考虑的信息，解题时，要“盯住选项”，着重通过对选项的分析，考查，验证，推断进行否定或肯定，或者根据选项之间的关系进行逻辑分析和筛选，找到所要选择的，符合题目要求的选项。
（2008年，湖北卷）函数的
定义域为（）
A． B．
C． D．
【巧解】观察四个选项取端点值代入计算即可，取，出现函数的真数为0，不满足，排含有1的答案C，取代入计算解析式有意义，排不含有的答案B，取出现二次根式被开方数为负，不满足，排含有2的答案A，故选D
评析：
求函数的定义域只需使函数解析式有意义，凡是考查具体函数的定义域问题都可用特值法代入验证快速确定选项。
（2008年，江西卷）已知函数，若对于任一实数与的值至少有一个为正数，则实数的取值范围是（
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