双曲线典型例题12例含实用标准问题详解docWord文件下载.docx

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（1）过点

且焦点在坐标轴上．

（2）

，经过点（－5，2），焦点在

轴上．

（3）与双曲线

有相同焦点，且经过点

（1）设双曲线方程为

∵

、

两点在双曲线上，

∴

解得

∴所求双曲线方程为

采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论，得“巧求”的目的．

（2）∵焦点在

轴上，

∴设所求双曲线方程为：

（其中

）

∵双曲线经过点（－5，2），∴

或

（舍去）

∴所求双曲线方程是

以上简单易行的方法给我们以明快、简捷的感觉．

（3）设所求双曲线方程为：

∵双曲线过点

，∴

（舍）

（1）注意到了与双曲线

有公共焦点的双曲线系方程为

后，便有了以上巧妙的设法．

（2）寻找一种简捷的方法，须有牢固的基础和一定的变通能力，这也是在我们教学中应该注重的一个重要方面．

典型例题三

例3已知双曲线

的右焦点分别为

，点

在双曲线上的左支上且

，求

的大小．

一般地，求一个角的大小，通常要解这个角所在的三角形．

∵点

在双曲线的左支上

∵

（1）巧妙地将双曲线的定义应用于解题当中，使问题得以简单化．

（2）题目的“点

在双曲线的左支上”这个条件非常关键，应引起我们的重视，若将这一条件改为“点

在双曲线上”结论如何改变呢？

请读者试探索．

典型例题四

例4已知

是双曲线

的两个焦点，点

在双曲线上且满足

的面积．

利用双曲线的定义及

中的勾股定理可求

为双曲线

上的一个点且

为焦点．

∴在

中，

双曲线定义的应用在解题中起了关键性的作用．

典型例题五

例5　已知两点

，求与它们的距离差的绝对值是6的点的轨迹．

问题的条件符合双曲线的定义，可利用双曲线定义直接求出动点轨迹．

根据双曲线定义，可知所求点的轨迹是双曲线．

∴所求方程

为动点的轨迹方程，且轨迹是双曲线．

（1）若清楚了轨迹类型，则用定义直接求出其轨迹方程可避免用坐标法所带来的繁琐运算．

（2）如遇到动点到两个定点距离之差的问题，一般可采用定义去解．

典型例题六

例6　在

，且

，求点

的轨迹．

要求点

的轨迹，需借助其轨迹方程，这就要涉及建立坐标系问题，如何建系呢？

以

所在直线为

轴，线段

的中垂线为

轴建立平面直角坐标系，则

．

设

，由

及正弦定理可得：

∴点

在以

为焦点的双曲线右支上设双曲线方程为：

的轨迹是双曲线的一支上挖去了顶点的部分

典型例题七

例7　求下列动圆圆心

的轨迹方程：

（1）与⊙

内切，且过点

（2）与⊙

和⊙

都外切．

（3）与⊙

外切，且与⊙

内切．

这是圆与圆相切的问题，解题时要抓住关键点，即圆心与切点和关键线段，即半径与圆心距离．如果相切的⊙

、⊙

的半径为

且

，则当它们外切时，

；

当它们内切时，

．解题中要注意灵活运用双曲线的定义求出轨迹方程．

设动圆

（1）∵⊙

与⊙

内切，点

在⊙

外

的轨迹是以

为焦点的双曲线的左支，且有：

∴双曲线方程为

（2）∵⊙

都外切

为焦点的双曲线的上支，且有：

∴所求的双曲线的方程为：

（3）∵⊙

内切

为焦点的双曲线的右支，且有：

∴所求双曲线方程为：

（1）“定义法”求动点轨迹是解析几何中解决点轨迹问题常用而重要的方法．

（2）巧妙地应用“定义法”可使运算量大大减小，提高了解题的速度与质量．

（3）通过以上题目的分析，我们体会到了，灵活准确地选择适当的方法解决问题是我们无休止的追求目标．

典型例题八

例8　在周长为48的直角三角形

，求以

为焦点，且过点

的双曲线方程．

首先应建立适当的坐标系．由于

为焦点，所以如图建立直角坐标系，可知双曲线方程为标准方程．由双曲线定义可知

，所以利用条件确定

的边长是关键．

的周长为48，且

∴设

由

，得

轴，以∴

的中点为原点建立直角坐标系，设所求双曲线方程为

，得所求双曲线方程为

坐标系的选取不同，则又曲线的方程不同，但双曲线的形状不会变．解题中，注意合理选取坐标系，这样能使求曲线的方程更简捷．

典型例题九

例9　

上一点，

是双曲线的两个焦点，且

的值．

利用双曲线的定义求解．

在双曲线

，故

是双曲线上一点，得

又

本题容易忽视

这一条件，而得出错误的结论

典型例题十

例10　若椭圆

和双曲线

有相同的焦点

和

，而

是这两条曲线的一个交点，则

的值是（　　）．

A．

　　B．

　　C．

　　D．

椭圆和双曲线有共同焦点，

在椭圆上又在双曲线上，可根据定义得到

的关系式，再变形得结果．

因为

在椭圆上，所以

在双曲线上，所以

两式平方相减，得

．选（A）．

（1）本题的方法是根据定义找

与

的关系．

（2）注意方程的形式，

是

典型例题十一

例11若一个动点

到两个定点

的距离之差的绝对值为定值

，讨论点

本题的关键在于讨论

．因

，讨论的依据是以0和2为分界点，应讨论以下四种情况：

时，轨迹是线段

的垂直平分线，即

轴，方程为

时，轨迹是以

为焦点的双曲线，其方程为

（3）当

时，轨迹是两条射线

（4）当

时无轨迹．

（1）本题容易出现的失误是对参变量

的取值范围划分不准确，而造成讨论不全面．

（2）轨迹和轨迹方程是不同的，轨迹是图形，因此应指出所求轨迹是何种曲线．

典型例题十二

例12　如图，圆

轴的两个交点分别为

，以

为焦点，坐标轴为对称轴的双曲线与圆在

轴左方的交点分别为

，当梯形

的周长最大时，求此双曲线的方程．

求双曲线的方程，即需确定

的值，而

，又

，所以只需确定其中的一个量．由双曲线定义

为直角三角形，故只需在梯形

的周长最大时，确定

的值即可．

设双曲线的方程为

（

），

）．

连结

作

于

，则有

，即

∴梯形

的周长

即

当

最大．

此时，

在双曲线的上支上，且

分别为上、下两焦点，

解答本题易忽视

的取值范围，应引起注意．