二次函数小结docWord文档格式.docx

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2.二次函数y=ax1+bx+c的结构特征：

⑴等号左边是函数，右边是关于自变量兀的二次式，兀的最高次数是2.

（2）a,b,c是常数，。

是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.

二、二次函数的平移。

1.平移步骤：

（1）将抛物线解析式转化成顶点式y=a（x-h^kf确定其顶点坐标

⑵保持抛物线y=av2的形状不变，将其顶点平移到（h,k）处，具体平移方法如下:

向右（/?

>

0）

【或左（/?

<

0）]半移閹个单位

2.平移规律

在原有函数的基础上“力值正右移，负左移；

£

值正上移，负下移【

概括成八个字“左加右减，上加下减”三、二次函数y=6f（x-/z）2+£

与y=a）r+bx+c的比较

请将y=2x2+4x+5利用配方的形式配成顶点式。

请将y=ajc+bx+c配成y=a（x-/?

）2+X：

。

总结:

从解析式上看，y=a（x-h）2+k与尸/+加+C是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前

^ac-b2

+

4a

四、二次函数『=cvC^bx+c图象的画法

五点绘图法：

利用配方法将二次函数y=cvc+bx+c化为顶点式y=a（x-h）2+k，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：

顶点、与y轴的交点（0,c）、以及（0,c）关于对称轴对称的点（2/2,c）、与兀轴的交点（占，0）,（“2，0）（若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.

画草图时应抓住以下儿点：

开口方向，对称轴，顶点，与兀轴的交点，与y轴的交点.

五、二次函数y=0¥

?

+加+。

的性质

当A-<

-±

时，），随兀的增大而增大；

当X>

~—时，y随兀的增大而减小;

2a2a

当时，y有最大值色耳.

2a4a

六、二次函数解析式的表示方法

1.一般式：

y=ax1-^-bx+c（a,b,c为常数，心0）；

2.顶点式：

y=a（x-h）2+k（a,h,k为常数,ghO）；

3.两根式：

y=a（x-x^x-x2）（心0,x,,勺是抛物线与x轴两交点的横坐标）.

注意：

任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与兀轴有交点，即4久空°

时，抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.

考点1：

二次函数的图象和性质

【考点分析】该考点主要考查运用二次两数的图彖和性质判断二次函数关系式中的系数及关于系数的代数式的符号、函数增减性的能力，这也是考查运用二次函数解决实际问题的基础，单独考查时，分值一般在3分至4之间，难度系数在0.85左右，通常以选择题、填空题的形式出现.

【中考典例】

例1：

（2009•甘肃兰州）二次函数）=曲+加的图象如图345所示，则下列关系式不正确的是（）A.a<

0B.abc>

C.a+b+c>

0D.b2-Aac>

解析：

•・•抛物线的开口向下，・・・a<

0正确；

由顶点在y轴的左侧，

且a<

0,可知b<

0,由抛物线与y轴交于正半轴可知c>

0,

故abc>

观察图象可知，当x=l时，y二d+b+c<

所以选项C不正确；

由抛物线与x轴有两个交点，

可知b2-4ac>

0正确.

答案：

C

规律小结：

根据二次函数图象确定有关代数式的符号，是二次函数屮的一类典型的数形结合问题，具有较强的推理性。

解题时应注意：

开口方向与a的关系，抛物线与y轴的交点与c的关系，对称轴与a,b的关系，抛物线与x轴的交点个数与b2-4ac的符号关系；

当x=-l时，决定a-b+c的符号。

在此基础上，还可推出其他代数式的符号，运用数形结和的思想更直观、更便捷。

【考点巩固】

1.（2009•广州）二次函数y=（无—1）2+2的最小值是（）

A.2B.lC.-lD.-2

2.（2009•黄石）已知二次函数y=ax2+bx+c（aHO）的图彖如图3-4-6所示，

下列结论：

①abc>

0②2a+b<

0③4a—2b+c<

0④a+c>

其屮正确结论的个数为（）

A、4个B、3个C、2个D、1个

1351

3.（2008•山东）若人（一亍，〉i），3（-[,旳），C（才，％）为二次函数y=x2+4x-5的图象上的

三点，则刃，％，%的大小关系是（）

a.Vj<

B.y2<

y.<

c.y3<

y}<

y2d.y,<

<

y2

考点2：

确定二次函数的表达式

【考点分析】该考点是屮考的常见题型，主要考查利用题目已知条件确定二次函数的表达式的能力，分值一般在3分至10之间，难度系数在0.85左右，各种题型均有出现.

例2：

如图3-4-7所示，己知抛物线y二一丄/+（5—乔7）x+m-3与x轴有两个交点A,B,点A在x2

轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上，且OA=OB.

（1）求m的值；

（2）求抛物线的解析式，并写111抛

物线的对称轴和顶点C的坐标；

（3）问在抛物线上是否存在一点M,AMAC竺△OAC,若存在，求出点

M的坐标；

若不存在，请说明理由.

抛物线与x轴交于A,B两点，OA二OB,故A,B两点关于y轴对称，就可求得m的值，由

抛物线交y轴的正半轴，得m的确定值.

解：

（1）・・・抛物线与y轴交于正半轴，且OA=OB.

J加-3d〉0

5->

/m^=0

■

由②得m二±

5,由①m>

3,故m=—5应舍去./.m=5.

（2）抛物线的解析式为y=-|x2+2,对称轴是y轴，顶点C的坐标为C（0,2）.

（3）令y=0得一*只2+2=0,/.x=±

2.

・・・A（2,0）,B（-2,0）,C（0,2）,AOAC是等腰直角三角形.

若存在一点M,使△MAC仝△OAC,VAC为公共边，OA=OC,

・••点M与O关于直线AC对称，・・・M点的坐标为（2,2）.

当x=2时，--x2+2=0#2.

2

AM（2,2）不在抛物线上，即不存在一点M,MAC^AOAC.

存在性问题，通常是先假定存在，若能找出具备某种条件或性质的对象，就说明存在，其

叙述过程就是理由；

若不存在，就需要进一步说明理由.

4.（2008•山东济宁）已知二次函数的图彖如图3-4-8所示，则这个二次函数的表达式为（）

A.y=j^—2x+3B.y=x2-2x-3

C.y=x2+2x-3D.y=x2+2x+3

5.（2009・湖北襄樊）抛物线y=-x2+bx+c的图象如图349所示，则此抛物线的解析式为

6.（2008•江苏徐州）已知二次函数的图彖以A（-1,4）为顶点，且过点3（2,-5）.

（1）求该函数的关系式；

（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；

（3）将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A、B，,求△O/T歹的面积.考点3：

二次函数与方程、不等式、一次函数、反比例函数、几何图形的综合题

【考点分析】这是综合性较强的一个考点，主要考查对二次函数、方程、不等式、一次函数、反比例函数、儿何图形等有关知识的综合应用能力，分值一般在3分至12Z间，难度系数在0.8左右，各种题型均有出现.

例3：

（2009•山东烟台）二次函数y=ax2+c的图象如图3-4-10所示，则一次函数y=hx+h2-4ac

与反比例函数y=a+b+c在同一坐标系内的图象大致为（）

X

根据二次函数y=ax2+bx^-c的图象可得a>

0,b<

0,b2-4ac>

0,因此一次函数y=bx+lr-^ac的图

象应过笫一、二、以象限，排除A、C.观察二次函数y=ax1+bx+c的图象可知，当x=l吋，尸a+b+cVO,

所以反比例函数y=a+b+C的图象应位于第二、四象限.故选D.兀

D

二次函数与方程、不等式、一次函数、反比例函数、儿何图形的综合应用涉及到二次函数的众多的知识点，应熟练掌握配方法、与x轴焦点的求法，重视从图象中获取信息。

7.（2009•浙江嘉兴）已知QH0,在同一直角坐标系中，函数y=ox与y=的图彖有可能是图3-4-11中的

图3-4-11

&

（2009・山东德城）如图3-4-12是抛物线歹=ajr+bx^c的一部分，

其对称轴为直线兀=1,若其与兀轴一交点为B（3,0）,则由图象可知,

不等式ax2+bx-\-c>

0的解集是

9.（2008•山东泰安）某市种植某种绿色蔬菜，全部用来出口.为了扩大11!

口规模，该市决定对这种蔬菜的种植实行政府补贴，规定每种植一亩这种蔬菜一次性补贴菜农若干元.经调查，种植亩数y（亩）与补贴数额X（元）之间大致满足如图3-4-13①所示的一次函数关系.随着补贴数额无的不断增大，出口量也不断增加，但每亩蔬菜的收益z（元）会相应降低，且z与xZ间也大致满足如图3-4-13②所示的一次函数关系.

（1）在政府未出台补贴措施前，该市种植这种蔬菜的总收益额为多少？

（2）分別求出政府补贴政策实施后，种植亩数y和每亩蔬菜的收益z与政府补贴数额xZ间的函数关系式；

（3）耍使全市这种蔬菜的总收益w（元）最大，政府应将每亩补贴数额兀定为多少？

并求出总收益W的最大值.

考点4：

二次函数的实际应用

【考点分析】该考点是屮考的热点之一，常与现实生活屮的热点问题相联系，解决最值问题.分值一般在6分至12之间，难度系数在0.8左右，多以解答题的形式出现.

【屮考典例

例4：

（2009・洛江）我区某工艺厂为迎接建国60周年，设计了一款成本为20元/件的工艺品投放市场进行试销.经过调查，其中工艺品的销售单价兀（元/件）与每天销售量y（件）之间满足如图3-4-14所示关系.

（1）请根据图象直接写出当销售单价定为30元和40元时相应的日销售量；

（2）①试求出y与兀之间的函数关系式；

②若物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过45元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？

最大利润是多少？

（利润二销售总价一成本总价）。

（1）观察图象可直接得出销售单价定为30元和40元时相应的日销售量分别为400件和500件.

（2）①因为图彖过（30,500）、（40,400）两点，所以利用待定系数法可求出y与兀之间的函数关系式；

②表示出利润与销售单价Z间的函数关系式，利用函数的增减性分析求解.

图3-4-14

（1）500件和400件;

（2）①设这个函数关系为y二kx+b

・・•这个一次函数