高二数学直线的倾斜角和斜率教案 人教版Word格式文档下载.docx

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三、活动设计

启发、思考、问答、讨论、练习．

四、教学过程

（一）复习一次函数及其图象

已知一次函数y=2x+1，试判断点A（1，2）和点B（2，1）是否在函数图象上．

初中我们是这样解答的：

∵A（1，2）的坐标满足函数式，

∴点A在函数图象上．

∵B（2，1）的坐标不满足函数式，

∴点B不在函数图象上．

现在我们问：

这样解答的理论依据是什么？

（这个问题是本课的难点，要给足够的时间让学生思考、体会．）

讨论作答：

判断点A在函数图象上的理论依据是：

满足函数关系式的点都在函数的图象上；

判断点B不在函数图象上的理论依据是：

函数图象上的点的坐标应满足函数关系式．简言之，就是函数图象上的点与满足函数式的有序数对具有一一对应关系．

（二）直线的方程

引导学生思考：

直角坐标平面内，一次函数的图象都是直线吗？

直线都是一次函数的图象吗？

一次函数的图象是直线，直线不一定是一次函数的图象，如直线x=a连函数都不是．

一次函数y=kx+b，x=a都可以看作二元一次方程，这个方程的解和它所表示的直线上的点一一对应．

以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；

反之，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解．这时，这个方程就叫做这条直线的方程；

这条直线就叫做这个方程的直线．

上面的定义可简言之：

（方程）有一个解（直线上）就有一个点；

（直线上）有一个点（方程）就有一个解，即方程的解与直线上的点是一一对应的．

显然，直线的方程是比一次函数包含对象更广泛的一个概念．

（三）进一步研究直线方程的必要性

通过研究一次函数，我们对直线的方程已有了一些了解，但有些问题还没有完全解决，如y=kx+b中k的几何含意、已知直线上一点和直线的方向怎样求直线的方程、怎样通过直线的方程来研究两条直线的位置关系等都有待于我们继续研究．

（四）直线的倾斜角

一条直线l向上的方向与x轴的正方向所成的最小正角，叫做这条直线的倾斜角，如图1-21中的α．特别地，当直线l和x轴平行时，我们规定它的倾斜角为0°

，因此，倾斜角的取值范围是0°

≤α＜180°

．

直线倾斜角角的定义有下面三个要点：

（1）以x轴正向作为参考方向（始边）；

（2）直线向上的方向作为终边；

（3）最小正角．

按照这个定义不难看出：

直线与倾角是多对一的映射关系．

（五）直线的斜率

倾斜角不是90°

的直线．它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率．直线的斜率常用k表示，即

直线与斜率之间的对应不是映射，因为垂直于x轴的直线没有斜率．

（六）过两点的直线的斜率公式

在坐标平面上，已知两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），由于两点可以确定一条直线，直线P1P2就是确定的．当x1≠x2时，直线的倾角不等于90°

时，这条直线的斜率也是确定的．怎样用P2和P1的坐标来表示这条直线的斜率？

P2分别向x轴作垂线P1M1、P2M2，再作P1Q⊥P2M，垂足分别是M1、M2、Q．那么：

α=∠QP1P2（图1-22甲）或α=π-∠P2P1Q（图1-22乙）

综上所述，我们得到经过点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）两点的直线的斜率公式：

对于上面的斜率公式要注意下面四点：

（1）当x1=x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°

；

（2）k与P1、P2的顺序无关；

（3）以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；

（4）求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到．

（七）例题

例1　如图1-23，直线l1的倾斜角α1=30°

，直线l2⊥l1，求l1、l2的斜率．

∵l2的倾斜角α2=90°

+30°

=120°

，

本例题是用来复习巩固直线的倾斜角和斜率以及它们之间的关系的，可由学生课堂练习，学生演板．

例2　求经过A（-2，0）、B（-5，3）两点的直线的斜率和倾斜角．

∴tgα=-1．∵0°

，∴α=135°

因此，这条直线的斜率是-1，倾斜角是135°

讲此例题时，要进一步强调k与P1P2的顺序无关，直线的斜率和倾斜角可通过直线上的两点的坐标求得．

（八）课后小结

（1）直线的方程的倾斜角的概念．

（2）直线的倾斜角和斜率的概念．（3）直线的斜率公式．

五、布置作业

1．（1.3练习第1题）在坐标平面上，画出下列方程的直线：

（1）y=x

（2）2x+3y=6（3）2x+3y+6=0（4）2x-3y+6=0

作图要点：

利用两点确定一条直线，找出方程的两个特解，以这两个特解为坐标描点连线即可．

2．（1.4练习第2题）求经过下列每两个点的直线的斜率和倾斜角：

（1）C（10，8），D（4，-4）；

解：

（1）k=2　α=arctg2．

（3）k=1，α=45°

3．（1.4练习第3题）已知：

a、b、c是两两不相等的实数，求经过下列每两个点的直线的倾斜角：

（1）A（a，c），（b，c）；

（2）C（a，b），D（a，c）；

（3）P（b，b+c），Q（a，c+a）．

（1）α=0°

（2）α=90°

（3）α=45°

4．已知三点A（a，2）、B（3，7）、C（-2，-9a）在一条直线上，求实数a的值．

∵A、B、C三点在一条直线上，

∴kAB=kAC．

六、板书设计

2019-2020年高二数学直线的斜率与倾斜角一教案上教版

【教学目标】

（一）学习目标

1．掌握倾斜角与斜率的概念。

2．掌握直线的点斜式方程。

3．理解斜率，倾斜角，方向向量之间的关系。

（二）能力目标

1．通过斜率，倾斜角，向量，三角之间关系的变换，培养学生提出问题，分析问题，解决问题的能力。

2．通过点斜式方程的推导，培养学生转化知识的能力，使学生了解数形结合思想。

（三）情感价值观

1．培养学生善于提出问题，分析问题的思维品质，理解事物之间相互关系，互相转化的辨证唯物主义思想。

2．直线的倾斜角，直线的斜率与直线的方向向量是数与行的完美的统一，体现了数学与大自然的和谐美。

【教学重点与难点】

1．直线斜率，倾斜角，方向向量之间的关系。

2．直线点斜式方程的推导。

【教具准备】

多媒演示课体，直尺，电脑

【教学过程】

一．倾斜角概念的引入。

请研究下图的两直线。

显然，L1较直线L2“平”，L2较直线L1“陡”

提出问题：

对比上述例子，想一想，我们可以用什么样的数学概念来刻画直线的“

陡”或“平”？

二．倾斜角与斜率的概念

对比引入例子，可知我们可以用直线与横轴夹角大小来刻画直线这一性质。

定义：

设直线L与X轴交于M，将X轴绕点M按逆时针方向旋转至与直线L重合时所成

的最小正角叫做直线L的倾斜角

特别地，我们规定直线L与X轴平行或重合时，倾斜角为=0

问：

由定义，你能判断倾斜角的范围吗？

（0≤<

）

为何不取？

大家都知道，光知道倾斜角是不适合进行直线的代数运算的，因为倾斜角是一

个“形”的概念，为了将其转化到“数”的运算当中，故我们引入斜率的概念。

定义：

当≠时，把а的正切值叫做直线斜率。

问：

为何≠？

是否所有直线都有倾斜角？

是否所有直线都存在斜率？

三．倾斜角，斜率，方向向量之间的关系。

加上前面所学的方向向量，倾斜角，斜率，方向向量都可以用来刻画直线方向，那它们之间有联系吗？

1探究倾斜角与斜率的关系

由定义知那么，知道k如何求倾斜角？

2

探究倾斜角与方向向量的关系。

I假设已知倾斜角，如何用倾斜来表示直线L的方向向量？

II假设已知直线L的方向向量=（u,v），那么直线的倾斜角又该为多少？

3探究斜率k与方向向量的关系。

I如果已知=（u,v），如何来求直线的斜率k?

这个当中有什么要注意的问题？

？

II如果已知直线的斜率为k，你能写出直线的的一个方向向量吗？

能找一个最简的方向向量吗？

例与练

1．已知直线L上两点A（1,2）,B（3,4），求直线L的斜率k及倾斜角。

2．已知直线L的倾斜角为（），且过点N，求直线L的方程。

（鼓励学生一题多解）、

四．点斜式方程

由上面练习题2，我们可以总结出直线的点斜式：

若直线L过点A，且直线L的斜率为k，则直线的方程可以表示为

即直线的点斜式方程。

（这个公式在使用时有什么局限性吗？

五．练习

课本P66练习11.2

1.

（1）（3）（5）

2.

3.

（1）

六．作业

课本P66习题11.2

1,3