高三数学一轮复习平面向量基本定理及坐标表示文档格式.docx
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2.若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.
3.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的.
基础自测
1.判断下列结论正误（在括号内打“√”或“×
”）
（1）平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.（ ）
（2）同一向量在不同基底下的表示是相同的.（ ）
（3）设a，b是平面内的一组基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.（ ）
（4）若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a∥b的充要条件可以表示成
＝
.（ ）
解析
（1）共线向量不可以作为基底.
（2）同一向量在不同基底下的表示不相同.
（4）若b＝（0，0），则
无意义.
答案
（1）×
（2）×
（3）√ （4）×
2.（必修4P118A2（6）改编）下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A.e1＝（0，0），e2＝（1，－2）
B.e1＝（－1，2），e2＝（5，7）
C.e1＝（3，5），e2＝（6，10）
D.e1＝（2，－3），e2＝
解析 两个不共线的非零向量构成一组基底，故选B.
答案 B
3.（必修4P99例8改编）设P是线段P1P2上的一点，若P1（1，3），P2（4，0）且P是线段P1P2的一个三等分点（靠近点P1），则点P的坐标为（ ）
A.（2，2）B.（3，－1）
C.（2，2）或（3，－1）D.（2，2）或（3，1）
解析 由题意得
且
＝（3，－3）.
设P（x，y），则（x－1，y－3）＝（1，－1），
∴x＝2，y＝2，则点P（2，2）.
答案 A
4.（2015·
全国Ⅰ卷）已知点A（0，1），B（3，2），向量
＝（－4，－3），则向量
＝（ ）
A.（－7，－4）B.（7，4）
C.（－1，4）D.（1，4）
解析 根据题意得
＝（3，1），∴
－
＝（－4，－3）－（3，1）＝（－7，－4），故选A.
5.（2017·
山东卷）已知向量a＝（2，6），b＝（－1，λ），若a∥b，则λ＝________.
解析 ∵a∥b，∴2λ＋6＝0，解得λ＝－3.
答案 －3
6.（2019·
苏州月考）已知▱ABCD的顶点A（－1，－2），B（3，－1），C（5，6），则顶点D的坐标为________.
解析 设D（x，y），则由
，得（4，1）＝（5－x，6－y），即
解得
答案 （1，5）
考点一 平面向量基本定理及其应用
【例1】
（1）（2019·
衡水中学调研）一直线l与平行四边形ABCD中的两边AB，AD分别交于点E，F，且交其对角线AC于点M，若
＝2
，
＝3
＝λ
－μ
（λ，μ∈R），则
μ－λ＝（ ）
A.－
B.1C.
D.－3
（2）（2019·
北京海淀区调研）在△ABC中，D为三角形所在平面内一点，且
＋
.延长AD交BC于E，若
＋μ
，则λ－μ的值是________.
解析
（1）
－μ（
）
＝（λ－μ）
＝2（λ－μ）
－3μ
因为E，M，F三点共线，所以2（λ－μ）＋（－3μ）＝1，
即2λ－5μ＝1，∴
μ－λ＝－
（2）设
＝x
，∵
∴
由于E，B，C三点共线，∴
＝1，x＝
根据平面向量基本定理，得λ＝
，μ＝
因此λ－μ＝
＝－
答案
（1）A
（2）－
规律方法 1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.
2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：
先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.
【训练1】
（1）（2019·
济南质检）在△ABC中，
，若P是直线BN上的一点，且满足
＝m
，则实数m的值为（ ）
A.－4B.－1C.1D.4
（2）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A，B，C三点满足
，则
＝________.
解析
（1）根据题意设
＝n
（n∈R），则
＋n
＋n（
）＝
＝（1－n）
又
，∴
（2）因为
，所以
（
），
所以
答案
（1）B
（2）
考点二 平面向量的坐标运算
【例2】
（1）设A（0，1），B（1，3），C（－1，5），D（0，－1），则
等于（ ）
A.－2
B.2
C.－3
D.3
（2）向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb（λ，μ∈R），则
A.1B.2C.3D.4
解析
（1）由题意得
＝（1，2），
＝（－1，4），
＝（0，－2），所以
＝（0，6）＝－3（0，－2）＝－3
（2）以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系（设每个小正方形边长为1），
则A（1，－1），B（6，2），C（5，－1），
∴a＝
＝（－1，1），b＝
＝（6，2），c＝
＝（－1，－3），
∵c＝λa＋μb，∴（－1，－3）＝λ（－1，1）＋μ（6，2），
则
解得λ＝－2，μ＝－
∴，
＝4.
答案
（1）C
（2）D
规律方法 1.巧借方程思想求坐标：
若已知向量两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中注意方程思想的应用.
2.向量问题坐标化：
向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可以用坐标来进行，实现了向量运算的代数化，将数与形结合起来，使几何问题转化为数量运算问题.
【训练2】
（1）已知O为坐标原点，点C是线段AB上一点，且A（1，1），C（2，3），|
|＝2|
|，则向量
的坐标是________.
天津和平区一模）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E为AD的中点，若
（λ，μ∈R），则λ＋μ的值为（ ）
A.
B.
C.2D.
解析
（1）由点C是线段AB上一点，|
|，得
＝－2
设点B为（x，y），则（2－x，3－y）＝－2（1，2）.
所以向量
的坐标是（4，7）.
（2）建立如图所示的平面直角坐标系，则D（0，0）.
不妨设AB＝1，则CD＝AD＝2，所以C（2，0），A（0，2），B（1，2），E（0，1），
＝（－2，2），
＝（－2，1），
∵
，∴（－2，2）＝λ（－2，1）＋μ（1，2），
则λ＋μ＝
答案
（1）（4，7）
（2）B
考点三 平面向量共线的坐标表示
多维探究
角度1 利用向量共线求向量或点的坐标
【例3－1】（一题多解）已知点A（4，0），B（4，4），C（2，6），则AC与OB的交点P的坐标为________.
解析 法一 由O，P，B三点共线，可设
＝（4λ，4λ），则
＝（4λ－4，4λ）.
＝（－2，6），
由
与
共线，得（4λ－4）×
6－4λ×
（－2）＝0，
解得λ＝
＝（3，3），
所以点P的坐标为（3，3）.
法二 设点P（x，y），则
＝（x，y），因为
＝（4，4），且
共线，所以
，即x＝y.
＝（x－4，y），
＝（－2，6），且
共线，
所以（x－4）×
6－y×
（－2）＝0，解得x＝y＝3，
答案 （3，3）
角度2 利用向量共线求参数
【例3－2】
（1）（2018·
全国Ⅲ卷）已知向量a＝（1，2），b＝（2，－2），c＝（1，λ）.若c∥（2a＋b），则λ＝________.
（2）已知向量a＝（2，3），b＝（－1，2），若ma＋nb与a－3b共线，则
解析
（1）由题意得2a＋b＝（4，2），因为c＝（1，λ），且c∥（2a＋b），所以4λ－2＝0，即λ＝
（2）由
≠
，所以a与b不共线，
又a－3b＝（2，3）－3（－1，2）＝（5，－3）≠0.
那么当ma＋nb与a－3b共线时，
有
，即得
答案
（1）
（2）－
规律方法 1.两平面向量共线的充要条件有两种形式：
（1）若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；
（2）若a∥b（b≠0），则a＝λb.
2.向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解.
【训练3】
（1）（2019·
北师大附中检测）已知向量a＝（1，1），点A（3，0），点B为直线y＝2x上的一个动点，若
∥a，则点B的坐标为________.
（2）设向量
＝（1，－2），
＝（2m，－1），
＝（－2n，0），m，n∈R，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则m＋n的最大值为（ ）
A.－3B.－2C.2D.3
解析
（1）由题意设B（x，2x），则
＝（x－3，2x），
∥a，∴x－3－2x＝0，解得x＝－3，∴B（－3，－6）.
（2）由题意易知，
∥
，其中
＝（2m－1，1），
＝（－2n－1，2），
所以（2m－1）×
2＝1×
（－2n－1），得：
2m＋1＋2n＝1.
2m＋1＋2n≥2
，所以2m＋n＋1≤2－2，即m＋n≤－3.
答案
（1）（－3，－6）
（2）A
[思维升华]
1.平面向量基本定理实际上是向量的分解定理
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