届一轮复习人教B版文 第3章 第1节 任意角和弧度制及任意角的三角函数学案Word文件下载.docx
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（x≠0）．
（2）几何表示：
三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是（1,0）．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线．
1．判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×
”）
（1）小于90°
的角是锐角．（ ）
（2）三角形的内角必是第一、第二象限角．（ ）
（3）不相等的角终边一定不相同．（ ）
（4）若点P（tanα，cosα）在第三象限，则角α的终边在第二象限．（ ）
答案：
（1）×
（2）×
（3）×
（4）√
2．已知角α的终边过点P（－1,2），则sinα＝（ ）
A.
B.
C．－
D．－
解析：
选B 因为|OP|＝
（O为坐标原点），所以sinα＝
.
3．若角θ同时满足sinθ<
0且tanθ<
0，则角θ的终边一定位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
选D 由sinθ<
0，可知θ的终边可能位于第三象限或第四象限，也可能与y轴的非正半轴重合．由tanθ<
0，可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限，故θ的终边只能位于第四象限．
4．已知角α的终边过点P（8m,3），且cosα＝－
，则m的值为（ ）
A．－
B.
D.
选A 由题意得
＝－
，且m<
0.
解得m＝－
5．已知扇形的圆心角为60°
，其弧长为2π，则此扇形的面积为________．
设此扇形的半径为r，由题意得
r＝2π，所以r＝6，
所以此扇形的面积为
×
2π×
6＝6π.
6π
6．在0到2π范围内，与角－
终边相同的角是________．
与角－
终边相同的角是2kπ＋
，k∈，令k＝1，可得与角－
终边相同的角是
[考什么·
怎么考]
高考对象限角及终边相同的角直接考查较少，多渗透到三角函数求值及性质中，属于基础题.
1．给出下列四个命题：
①－
是第二象限角；
②
是第三象限角；
③－400°
是第四象限角；
④－315°
是第一象限角．
其中正确命题的个数为（ ）
A．1 B．2
C．3D．4
选C －
是第三象限角，故①错误；
＝π＋
，从而
是第三象限角，故②正确；
－400°
＝－360°
－40°
，从而－400°
是第四象限角，故③正确；
－315°
＋45°
，从而－315°
是第一象限角，故④正确，故选C.
2．在－720°
～0°
范围内所有与45°
终边相同的角为________．
所有与45°
终边相同的角可表示为：
β＝45°
＋k×
360°
（k∈），
则令－720°
≤45°
<
0°
得－765°
≤k×
－45°
解得－
≤k<
－
从而k＝－2或k＝－1，
代入得β＝－675°
或β＝－315°
－675°
或－315°
3．终边在直线y＝
x上的角的集合为__________________．
在坐标系中画出直线y＝
x，可以发现它与x轴正半轴的夹角是
，终边在直线y＝
x上的角的集合为
4．若角α是第二象限角，则
是第________象限角．
∵α是第二象限角，∴
＋2kπ<
α<
π＋2kπ，k∈，
∴
＋kπ<
＋kπ，k∈.当k为偶数时，
是第一象限角；
当k为奇数时，
是第三象限角．
一或三
[怎样快解·
准解]
1．象限角的两种判断方法
（1）图象法：
在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角．
（2）转化法：
先将已知角化为k·
＋α（0°
≤α<
，k∈）的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角．
2．求
或nθ（n∈N*）所在象限的方法
（1）将θ的范围用不等式（含有k，且k∈）表示．
（2）两边同除以n或乘以n.
（3）对k进行讨论，得到
或nθ（n∈N*）所在的象限．
[注意]
（1）相等的角终边一定相同，但终边相同的角却不一定相等，终边相同的角有无数个，它们之间相差360°
的整数倍．
（2）终边在一条直线上的角之间相差180°
的整数倍；
终边在互相垂直的两条直线上的角之间相差90°
高考对扇形的弧长、面积公式很少直接考查，主要是理解弧度制下的公式的应用，属于基础题.
1．已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是（ ）
A．1 B．4
C．1或4 D．2或4
选C 设扇形的半径为r，弧长为l，
则
解得
或
从而α＝
＝4或α＝
＝1.
2．已知扇形弧长为20cm，圆心角为100°
，则该扇形的面积为________cm2.
由弧长公式l＝|α|r，得
r＝
，∴S扇形＝
20×
3．如果一个扇形的半径变为原来的一半，而弧长变为原来的
倍，则该弧所对的圆心角是原来的________倍．
设圆的半径为r，弧长为l，则其弧度数为
将半径变为原来的一半，弧长变为原来的
倍，
则弧度数变为
＝3·
，
即弧度数变为原来的3倍．
3
弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略
（1）明确弧度制下弧长及扇形面积公式，在使用公式时，要注意角的单位必须是弧度．
（2）分析题目已知哪些量、要求哪些量，然后灵活地运用弧长公式、扇形面积公式直接求解，或合理地利用圆心角所在三角形列方程（组）求解．
任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义属于理解内容.在高考中多以选择题、填空题的形式出现.,常见的命题角度有：
（1）利用三角函数定义求值；
（2）三角函数值符号的判定；
（3）三角函数线的应用.
[题点全练]
角度
（一） 利用三角函数定义求值
1．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝（ ）
B．－
C.
选B 设P（t,2t）（t≠0）为角θ终边上任意一点，则cosθ＝
当t>
0时，cosθ＝
；
当t<
0时，cosθ＝－
因此cos2θ＝2cos2θ－1＝
－1＝－
2．已知角α的终边经过点P（－x，－6），且cosα＝－
，则
＋
＝________.
∵角α的终边经过点P（－x，－6），且cosα＝－
∴cosα＝
，解得x＝
或x＝－
（舍去），
∴P
∴sinα＝－
，∴tanα＝
[题型技法] 利用三角函数定义求三角函数值的方法
（1）已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解．
（2）已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义求解．
角度
（二） 三角函数值符号的判定
3．（2014·
全国卷Ⅰ）若tanα>
0，则（ ）
A．sinα>
0B．cosα>
C．sin2α>
0D．cos2α>
选C 由tanα>
0，可得α的终边在第一象限或第三象限，此时sinα与cosα同号，故sin2α＝2sinacosα>
0，故选C.
4．若sinαtanα<
0，且
0，则角α是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角D．第四象限角
选C 由sinαtanα<
0可知sinα，tanα异号，
则α为第二象限角或第三象限角．
由
0可知cosα，tanα异号，
则α为第三象限角或第四象限角．
综上可知，α为第三象限角．
[题型技法] 三角函数值符号及角的位置判断
已知一角的三角函数值（sinα，cosα，tanα）中任意两个的符号，可分别确定出角终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置，注意终边在坐标轴上的特殊情况．
角度（三） 三角函数线的应用
5．函数y＝lg（3－4sin2x）的定义域为________．
∵3－4sin2x>
0，∴sin2x<
∴－
sinx<
利用三角函数线画出x满足条件的终边范围（如图阴影部分所示），
∴x∈
（k∈）．
（k∈）
[题型技法] 利用三角函数线求解三角不等式的方法
对于较为简单的三角不等式，在单位圆中，利用三角函数线先作出使其相等的角（称为临界状态，注意实线与虚线），再通过大小找到其所满足的角的区域，由此写出不等式的解集．
[题“根”探求]
1．思维趋向要明确
（1）看到角α终边上的点或终边所在的直线想到三角函数定义的应用．
（2）看到角α所在的象限想到三角函数值符号的判断．
（3）看到三角式比较大小、解三角不等式（方程）想到三角函数线的应用．
2．二级结论要谨记
（1）三角函数值符号的结论：
一全正、二正弦，三正切、四余弦．
（2）当α∈
时，①sinα<
tanα；
②sinα＋cosα>
1.
[冲关演练]
1.如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为
，则cosα的值为（ ）
A.
选D 因为点A的纵坐标yA＝
，且点A在第二象限，又因为圆O为单位圆，所以A点的横坐标xA＝－
，由三角函数的定义可得cosα＝－
2．已知点P（cosα，tanα）在第三象限，则角α的终边在（ ）
选B 由题意得
⇒
所以角α的终边在第二象限．
3．函数y＝
的定义域为________．
因为sinx≥
，作直线y＝
交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域（图中阴影部分）即为角x的终边的范围，故满足条件的角x的集合为
，k∈
（一）普通高中适用
A级——基础小题练熟练快
1．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为（ ）
A．2 B．4
C．6D．8
选C 设扇形的半径为r，弧
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