高考文科数学一轮总复习数列求和Word格式文档下载.docx
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判断正误（正确的打“√”，错误的打“×
”）
（1）当n≥2时，
＝
－
.（ ）
（2）利用倒序相加法可求得sin21°
＋sin22°
＋sin23°
＋…＋sin288°
＋sin289°
＝44.5.（ ）
（3）若Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan，当a≠0，且a≠1时，求Sn的值可用错位相减法求得．（ ）
答案：
（1）×
（2）√ （3）√
数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＝1－2＋3－4＋…＋（－1）n－1·
n，则S17＝（ ）
A．9B．8
C．17D．16
解析：
选A.S17＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋15－16＋17＝1＋（－2＋3）＋（－4＋5）＋（－6＋7）＋…＋（－14＋15）＋（－16＋17）＝1＋1＋1＋…＋1＝9.
（教材习题改编）数列{an}中，an＝
，若{an}的前n项和为
，则项数n为（ ）
A．2016B．2017
C．2018D．2019
选B.an＝
，
Sn＝1－
＋
＋…＋
＝1－
，所以n＝2017.
已知数列：
1
，2
，3
，…，
，…，则其前n项和关于n的表达式为________．
设所求的前n项和为Sn，则
Sn＝（1＋2＋3＋…＋n）＋
＋1－
已知数列{an}的前n项和为Sn且an＝n·
2n，则Sn＝________．
Sn＝1×
2＋2×
22＋3×
23＋…＋n×
2n，①
所以2Sn＝1×
22＋2×
23＋3×
24＋…＋n×
2n＋1，②
①－②得－Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n×
2n＋1＝
－n×
2n＋1，
所以Sn＝（n－1）2n＋1＋2.
（n－1）2n＋1＋2
分组转化法求和（师生共研）
已知数列{an}的前n项和Sn＝
，n∈N*.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn＝2an＋（－1）nan，求数列{bn}的前2n项和．
【解】
（1）当n＝1时，a1＝S1＝1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝
＝n.
a1也满足an＝n，故数列{an}的通项公式为an＝n.
（2）由
（1）知an＝n，
故bn＝2n＋（－1）nn.
记数列{bn}的前2n项和为T2n，
则T2n＝（21＋22＋…＋22n）＋（－1＋2－3＋4－…＋2n）．
记A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，
则A＝
＝22n＋1－2，
B＝（－1＋2）＋（－3＋4）＋…＋[－（2n－1）＋2n]＝n.
故数列{bn}的前2n项和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2.
分组转化法求和的常见类型
（1）若an＝bn±
cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{an}的前n项和．
（2）通项公式为an＝
的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组转化法求和．
1．（2019·
资阳诊断）已知数列{an}中，a1＝a2＝1，an＋2＝
则数列{an}的前20项和为（ ）
A．1121B．1122
C．1123D．1124
选C.由题意可知，数列{a2n}是首项为1，公比为2的等比数列，数列{a2n－1}是首项为1，公差为2的等差数列，故数列{an}的前20项和为
＋10×
1＋
×
2＝1123.选C.
2．已知{an}是等差数列，a1＋a5＝6，a2＋a8＝10，数列{bn}满足b1＝4，2an＋2＝log2bn＋1.
（1）求{an}和{bn}的通项公式；
（2）求数列{2an＋bn}的前n项和Sn.
解：
（1）因为{an}是等差数列，a1＋a5＝6，a2＋a8＝10，
所以a3＝3，a5＝5，所以公差d＝1，
所以a1＝1，所以an＝n.
因为2an＋2＝log2bn＋1，
所以bn＋1＝22an＋2，bn＝22an－1＋2（n≥2），
所以bn＝4n（n≥2）．又b1＝4也满足上式，所以bn＝4n.
（2）由
（1）知，an＝n，bn＝4n，
所以2an＋bn＝2n＋4n，
所以Sn＝2×
1＋41＋2×
2＋42＋2×
3＋43＋…＋2n＋4n＝2×
（1＋2＋3＋…＋n）＋（41＋42＋43＋…＋4n）＝n（n＋1）＋
错位相减法求和（师生共研）
（2019·
江西临川一中质检）已知等差数列{an}满足a3＝5，其前6项和为36，等比数列{bn}的前n项和Sn＝2－
（n∈N*）．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）求数列{anbn}的前n项和Tn.
【解】
（1）设等差数列{an}的公差为d，
由已知得
解得
所以an＝2n－1（n∈N*）．
对于数列{bn}，因为Sn＝2－
，所以当n＝1时，b1＝S1＝2－1＝1，
当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1＝
综上所述，bn＝
（2）由
（1）得anbn＝
所以Tn＝1＋
，①
Tn＝
，②
①－②得，
Tn＝1＋1＋
＝3－
所以Tn＝6－
＝6－
错位相减法求和的策略
（1）如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·
bn}的前n项和时，可采用错位相减法，一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比，然后作差求解．
（2）在写“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．
（3）在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．
（2019·
福建市第一学期高三期末考试）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－1.
（1）证明数列{an}是等比数列；
（2）设bn＝（2n－1）an，求数列{bn}的前n项和Tn.
（1）证明：
当n＝1时，a1＝S1＝2a1－1，
所以a1＝1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（2an－1）－（2an－1－1），
所以an＝2an－1，所以数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列．
（2）由
（1）知，an＝2n－1，
所以bn＝（2n－1）×
2n－1，
所以Tn＝1＋3×
2＋5×
22＋…＋（2n－3）×
2n－2＋（2n－1）×
2n－1①，
2Tn＝1×
2＋3×
2n－1＋（2n－1）×
2n②，
由①－②得
－Tn＝1＋2×
（21＋22＋…＋2n－1）－（2n－1）×
2n
＝1＋2×
－（2n－1）·
＝（3－2n）×
2n－3，
所以Tn＝（2n－3）×
2n＋3.
裂项相消法求和（多维探究）
角度一 形如an＝
型
（2017·
高考全国卷Ⅲ）设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋（2n－1）an＝2n.
（1）求{an}的通项公式；
（2）求数列
的前n项和．
【解】
（1）因为a1＋3a2＋…＋（2n－1）an＝2n，故当n≥2时，a1＋3a2＋…＋（2n－3）an－1＝2（n－1）．两式相减得（2n－1）an＝2，所以an＝
（n≥2）．
又由题设可得a1＝2，
从而{an}的通项公式为an＝
（2）记{
}的前n项和为Sn.
由
（1）知
则Sn＝
角度二 形如an＝
福州质检）已知函数f（x）＝xα的图象过点（4，2），令an＝
，n∈N*.记数列{an}的前n项和为Sn，则S2018＝（ ）
A.
－1 B.
－1
C.
－1D.
＋1
【解析】 由f（4）＝2可得4α＝2，解得α＝
则f（x）＝x
所以an＝
所以S2018＝a1＋a2＋a3＋…＋a2018＝（
）＋（
）＋…＋（
）＋（
）＝
－1.
【答案】 C
利用裂项相消法求和的注意事项
（1）抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项；
或者前面剩几项，后面也剩几项．
（2）将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等．如：
若{an}是等差数列，则
.
湖北八校联考）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a9＝
a12＋6，a2＝4，则数列
的前10项和为（ ）
B.
D.
选B.设等差数列{an}的公差为d，由a9＝
a12＋6及等差数列的通项公式得a1＋5d＝12，又a2＝4，
所以a1＝2，d＝2，
所以Sn＝n2＋n，所以
所以
2．（2019·
郑州市第一次质量测试）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＋a5＝25，S5＝55.
（2）设anbn＝
，求数列{bn}的前n项和Tn.
（1）设等差数列{an}的公差为d，由题意
所以数列{an}的通项公式为an＝3n＋2.
（2）由anbn＝
，得bn＝
Tn＝b1＋b2＋…＋bn
数学运算——数列的基本运算
已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，S3＝a4＋6，且a1，a4，a13成等比数列．
（2）设bn＝2an＋1，求数列{bn}的前n项和．
【解】
（1）设等差数列{an}的公差为d（d≠0）．
因为S3＝a4＋6，
所以3a1＋3d＝a1＋3d＋6，解得a1＝3.
又因为a1，a4，a13成等比数列，
所以a1（a1＋12d）＝（a1＋3d）2，
即3（3＋12d）＝（3＋3d）2，解得d＝2或d＝0（舍去）．
所以an＝3＋2（n－1）＝2n＋1.
（2）由题意，得bn＝22n＋1＋1.设数列{bn}的前n项和为Tn，
则Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝（2
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